bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2026, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Een punt en een lijn

Gegeven is het punt P(7,24) en de lijn k met vergelijking 3x − 4y = 0.
De cirkel c heeft middelpunt O en gaat door punt P. Cirkel c snijdt lijn k
rechts van de y-as in het punt S. In figuur 1 is deze situatie weergegeven.
figuur 1
figuur 1
14p

Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van S.
Het punt A ligt op lijn k met vergelijking 3x − 4y = 0. Het punt B is de
loodrechte projectie van punt A op de y-as. Punt A kan zo worden
gekozen dat de bissectrice (deellijn) van hoek OAB door punt P(7,24)
gaat. In figuur 2 is deze bissectrice gestippeld weergegeven.
figuur 2
figuur 2

opgave 3Twee snijpunten

De functie f wordt voor 0 < x ≤ 2 gegeven door:
f(x) = 2ln(x) + (3)/(2x) − 1
Op de grafiek van f ligt het punt P met x_P = (1)/(2). De lijn k raakt de grafiek
van f in P. De lijn m staat loodrecht op lijn k en raakt de grafiek van f in
het punt Q. Zie de figuur.
figuur
figuur
36p

Raaklijnen aan grafieken 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1exact

Bereken exact de x-coördinaat van Q.
De functie g wordt gegeven door:
g(x) = 2ln(2x) + (3)/(4x) − 1
Het is mogelijk de grafiek van g te laten ontstaan uit de grafiek van f door
middel van één transformatie.
42p

Transformaties van grafieken 2pGR mag

Geef deze transformatie.
De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt S.

opgave 4Perforatie en oppervlakte

De functie f p wordt gegeven door: x −/x 2/− 1 + p f p ( x ) = Voor één waarde van p heeft de grafiek van f p een perforatie.

Eigenschappen van functies en grafieken 4p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van deze perforatie. Het functievoorschrift van f 0 kan voor x > 1 worden geschreven als: In de figuur is de grafiek hiervan weergegeven. figuur Het punt (2, 0) is het snijpunt van de grafiek van f 0 met de x -as. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek…

Bereken exact de coördinaten van deze perforatie. Het functievoorschrift van f 0 kan voor x > 1 worden geschreven als: In de figuur is de grafiek hiervan weergegeven. figuur Het punt (2, 0) is het snijpunt van de grafiek van f 0 met de x -as. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f 0 , de x -as en de lijn met vergelijking x = 5 . Dit vlakdeel is in de figuur grijs gemaakt.

opgave 5Stuiterbal

In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd model van de situatie
waarin iemand een stuiterbal recht omlaag laat vallen.
Deze bal zal dan een aantal keer stuiteren. Het moment waarop de bal de
grond raakt noemen we stuit. Na elke stuit komt de stuiterbal minder
hoog dan na de voorgaande stuit.
De hoogte van de stuiterbal tussen twee opeenvolgende keren stuiten
wordt steeds beschreven door een kwadratische functie van de tijd t.
Vanaf het loslaten tot aan de eerste stuit heet de functie h0, tussen de
eerste en de tweede stuit heet de functie h1, vervolgens h2 enzovoorts.
De grafieken van deze functies zijn delen van parabolen.
In deze opgave bekijken we een stuiterbal die wordt losgelaten vanaf een
hoogte van 1 meter op tijdstip t = 0. De eerste stuit is na 0,45 seconden.
Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Er geldt (bij benadering) h0(t) = −4,9t2 + 1, met t in seconden en h0 de
hoogte in meters.
82p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Helling en snelheid met de afgeleide 1pexact

Bereken algebraïsch de snelheid in m/s waarmee de stuiterbal voor het
eerst de grond raakt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Tussen twee opeenvolgende stuiten bereikt de stuiterbal een hoogste
punt. Iedere keer is de hoogte van dat hoogste punt 64% van de hoogte
van het voorgaande hoogste punt.
figuur 2
figuur 2
In de figuur hierboven is te zien dat de tijdsduur tussen twee
opeenvolgende stuiten steeds korter wordt. Deze tijdsduur Tn is in
seconden. We geven deze tijdsduur in seconden aan met Tn. Zo is
T_1 = 0,72 de tijdsduur tussen de eerste en de tweede stuit, T2 de tijdsduur
tussen de tweede en derde stuit enzovoorts. T3 loopt van tijdstip K tot
tijdstip L.
Een formule voor Tn is:
Tn = 0,9 ⋅ 0,8n met n ≥ 1.
97p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Kwadratische functies en parabolen 2pGR mag

Stel met bovenstaande gegevens een functievoorschrift op van h3.
Geef de getallen in je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 6Lus

Het punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen
yx((tt)) = = t2^2t((22 − − tt)) met 0 ≤ t ≤ 2 en t in seconden.
De snelheidsvector op tijdstip t is v = 44t − − 34tt^2.
De baansnelheid van P is op één tijdstip t minimaal.
103p

Extremen en optimaliseren 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pGR mag

Bereken deze waarde van t. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
De baan die P doorloopt is in figuur 1
figuur 1
114p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pexact

weergegeven. De pijl geeft de richting aan waarin
het punt de baan doorloopt.
Het punt Q doorloopt dezelfde baan als punt P.
Q loopt steeds 1 seconde achter op punt P en
beweegt in dezelfde richting als P.
Er is één tijdstip t waarop de punten P en Q op
gelijke hoogte liggen. In figuur 1 is deze situatie
weergegeven.
Bereken exact de lengte van lijnstuk PQ in deze
situatie.
figuur 1
De bewegingsvergelijkingen van een ander punt
figuur 2
zijn gegeven door:
yx((tt)) = = ta^2t((22 − − tt))
Hierin is a een constante, waarbij a ≠ 0.
Punt A is het punt van de baan waarbij de
x-coördinaat maximaal is; punt B is het punt van de
baan waarbij de y-coördinaat maximaal is.
Er is een waarde van a waarvoor de
figuur 2
richtingscoëfficiënt van de lijn door A en B gelijk is
aan −1. In figuur 2 is deze situatie weergegeven.

opgave 7Gebroken gonio

De functie f wordt gegeven door:
f(x) = (1 + 2sin(x))/(1 + cos(x)) voor 0 ≤ x < π en π < x < 3π
De lijn met vergelijking y = 1 snijdt de grafiek van f in de punten A, B en
C, met xA < xB < xC. Zie de figuur. Hierin zijn de twee verticale
asymptoten gestippeld weergegeven.
figuur
figuur
133p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3pexact

Toon op algebraïsche wijze aan dat AB = BC.
De grafiek van f heeft een top T. Deze ligt onder de x-as. Zie de figuur.
Voor de x-coördinaat van T geldt: 5cos2(x) + 8cos(x) + 3 = 0
155p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Goniometrische formules en herleidingen 1p · +1exact

Bereken algebraïsch de y-coördinaat van T.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Begrensde inhoud

figuur 1
De functie f wordt gegeven door
f(x) = e−x − e−2x.
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
De grafiek snijdt de x-as in de oorsprong.
Ook is voor een waarde van p > 0 de lijn met
vergelijking x = p weergegeven.
We bekijken het gebied dat wordt begrensd
figuur 1
door de lijn met vergelijking x = p, de x-as en
de grafiek van f.
Dit gebied is in figuur 1 met grijs weergegeven.
Het grijze gebied wordt gewenteld om de x-as.
Zo ontstaat een omwentelingslichaam.
Zie figuur 2.
figuur 2
166p

Inhoud van omwentelingslichamen 2p · Primitiveren 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

De inhoud van het omwentelingslichaam
is Lp. Hiervoor geldt:
^L_p^ = (1)/(12)^π(^1^ −^6^e^ −^2^p^ +^8^e^ −^3^p^ −^3^e^ −^4^p)
Bewijs dat bovenstaande formule voor Lp
juist is.
Als p onbegrensd toeneemt, nadert Lp tot
een limietwaarde L. Er is een waarde van p
waarvoor Lp gelijk is aan de helft van de
limietwaarde L.
figuur 2 Zie figuur 2.
174p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken deze waarde van p.
Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.