bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2026, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)
Ga verder op de volgende pagina.

opgave 2Rondom een top

Voor x ≥ 0 wordt de functie f gegeven door f ( x ) = − x 3 + 1 ½ x . is de top van de grafiek van f . vergelijking y = x snijdt de grafiek van f in de oorsprong O De lijn l is de verticale lijn door A . Het gebied V is de driehoek die wordt ingesloten door k , l en de positieve x -as. Het gebied W…

Voor x ≥ 0 wordt de functie f gegeven door f ( x ) = − x 3 + 1 ½ x . is de top van de grafiek van f . vergelijking y = x snijdt de grafiek van f in de oorsprong O De lijn l is de verticale lijn door A . Het gebied V is de driehoek die wordt ingesloten door k , l en de positieve x -as. Het gebied W ligt rechts van l en wordt ingesloten door l , de grafiek van f en de positieve x -as. In figuur 1 zijn beide gebieden grijs weergegeven. figuur 1

opgave 4Thermosflessen

Een thermosfles heeft een dubbele wand. Hierdoor
blijft een vloeistof die in een thermosfles wordt
bewaard langere tijd warm of juist koud.
De vloeistoftemperatuur T in een volledig gevulde
en afgesloten thermosfles kan worden berekend
met de formule:
T(t) = A + (T0 − A) ⋅ e−ct
figuur bij de opgave
Hierbij geldt:
− t is de tijd in uren nadat de thermosfles werd afgesloten.
− T(t) is de vloeistoftemperatuur in oC na t uur.
− T0 is de vloeistoftemperatuur in oC bij t = 0.
− A is de constante omgevingstemperatuur in oC.
− c is een constante die afhangt van de kwaliteit van de thermosfles.
Om 9.00 uur ’s ochtends wordt een volledig met vloeistof gevulde
thermosfles afgesloten en in een ruimte geplaatst.
De vloeistoftemperatuur in de fles is op dat moment 87 oC.
De omgevingstemperatuur in de ruimte is constant.
De vloeistoftemperatuur in de fles is om 11.30 uur 67 oC en om 14.00 uur
53 oC.
Met bovenstaande gegevens kan een stelsel vergelijkingen worden
opgesteld. Dit stelsel kan vervolgens worden herleid tot een vergelijking
met één variabele.
46p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Stel deze vergelijking op en bereken vervolgens met behulp van deze
vergelijking de temperatuur in oC van de vloeistof om 15.00 uur. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
Bij een test worden twee thermosflessen van verschillende merken gevuld
met een vloeistof met een temperatuur van 95 oC en in een ruimte
geplaatst. Na verloop van tijd is de vloeistof in beide thermosflessen
afgekoeld tot de constante omgevingstemperatuur van 20 oC.
De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk
Isomax is:
TI(t) = 20 + 75 ⋅ e−0,2t
De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk
Therm is:
TTh(t) = 20 + 75 ⋅ e−0,15t
In de figuur zijn de grafieken van TI en TTh weergegeven.
figuur
figuur
De leverancier beweert dat het maximale temperatuurverschil van de
vloeistoffen in beide flessen vrijwel niet merkbaar is.
56p

Extremen en optimaliseren 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p · +1exact

Bereken algebraïsch dit maximale temperatuurverschil in oC. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

opgave 5Evenwijdige vectoren en zwaartepunt

Gegeven zijn de punten A (5 − p ,2 p ) , B (2 p , p ) en C (5,5) . uuur In figuur 1 zijn voor drie waarden van p de vectoren CA en CB weergegeven. figuur 1 Legenda: positie 1 positie 2 positie 3 uuur uuur Voor positie 2 zijn CA en CB evenwijdig en hebben ze een tegengestelde richting. Er is een…

Gegeven zijn de punten A (5 − p ,2 p ) , B (2 p , p ) en C (5,5) . uuur In figuur 1 zijn voor drie waarden van p de vectoren CA en CB weergegeven. figuur 1 Legenda: positie 1 positie 2 positie 3 uuur uuur Voor positie 2 zijn CA en CB evenwijdig en hebben ze een tegengestelde richting. Er is een vierde positie, waarvoor de vectoren CA en CB ook evenwijdig zijn. In dat geval hebben de vectoren gelijke richting.

Vectoren en inproduct 3p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch de waarde van p bij deze vierde positie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
In A en in B bevinden zich puntmassa’s met massa 2 en in C bevindt zich een puntmassa met massa 1. Bij elke waarde van p hoort een positie van het zwaartepunt Z van de drie puntmassa’s. Deze zwaartepunten liggen op de lijn l . In figuur 2 zijn voor een zekere waarde van p de posities van de…

In A en in B bevinden zich puntmassa’s met massa 2 en in C bevindt zich een puntmassa met massa 1. Bij elke waarde van p hoort een positie van het zwaartepunt Z van de drie puntmassa’s. Deze zwaartepunten liggen op de lijn l . In figuur 2 zijn voor een zekere waarde van p de posities van de puntmassa’s A , B en C en het bijbehorende zwaartepunt uuur Z uuur weergegeven. uuur Ook zijn voor deze waarde van p de plaatsvectoren OA , OB en OC en de lijn l weergegeven. figuur 2 Er is een waarde van p waarvoor de x -coördinaat van het zwaartepunt gelijk is aan de y -coördinaat van het zwaartepunt.

opgave 6Draaierig

Punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = scions((tt)) − + csoins((33tt)) voor 0 ≤ t ≤ 2π
Hierbij is t de tijd in seconden. De baan van P is weergegeven in figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Op zes tijdstippen bevindt P zich op de y-as.
84p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bereken exact deze tijdstippen.
Op de tijdstippen t = (1)/(2)π en t = π gaat P door het punt (1, –1).
In (1, –1) snijdt de baan zichzelf onder een bepaalde hoek.
95p

Kettingregel 2p · Vectoren en inproduct 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pexact

Bereken op algebraïsche wijze deze hoek in graden. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

opgave 7Minimale lengte en grenswaarde

De functie f wordt gegeven door f(x) = x^2 ⋅ ln((1)/(2)x) en de functie g door
g(x) = x2 ⋅ ln(x).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur
figuur
Punt A((2)/(e), − (2)/(e)) is de top van de grafiek van f. Punt B is de top van de
grafiek van g.
Door A en B worden vierkanten getekend waarvan de zijden evenwijdig
zijn met de x-as en y-as. In de figuur zijn twee voorbeelden getekend van
zo’n vierkant.
De lengtes van de zijde van alle mogelijke vierkanten zijn niet even groot.
107p

Extremen en optimaliseren 2p · Afstanden met coördinaten 2p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p · +2exact

Bereken algebraïsch de lengte van de zijde van het kleinst mogelijke
vierkant. Geef je eindantwoord in vier decimalen.
De functie h is gegeven door h(x) = (g(x))/(f (x)).
Voor toenemende waarden van x nadert h(x) tot een grenswaarde.
113p

Formules herleiden en omwerken 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact deze grenswaarde.

opgave 8Een gebroken wortelfunctie

De functie f wordt gegeven door f(x) = (3)/(x).
Op de grafiek van f liggen de punten A(1,3) en B(9,1).
In figuur 1 zijn de grafiek van f en het lijnstuk AB weergegeven.
figuur 1
figuur 1
Er is een punt tussen A en B op de grafiek van f waarin de helling van de
grafiek van f gelijk is aan de helling van lijnstuk AB. De x-coördinaat van
dat punt kan worden geschreven als , met en gehele getallen.
124p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bereken exact een mogelijke waarde van p en van q.
V is het gebied dat wordt begrensd door de horizontale lijn door A, de
verticale lijn door B en de grafiek van f. In figuur 2 is V grijs weergegeven.
figuur 2
figuur 2
Als V wordt gewenteld om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam.
134p

Inhoud van omwentelingslichamen 2p · Primitiveren 1pexact

Bereken algebraïsch de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je
eindantwoord als een geheel getal.
Op de grafiek van f worden twee transformaties toegepast (dat kan op
verschillende manieren). Het resultaat van deze twee transformaties is de
grafiek van de functie g die door de punten A en C gaat, waarbij C de
loodrechte projectie van B op de x-as is. In figuur 3 is deze situatie
weergegeven.
figuur 3
figuur 3
143p

Transformaties van grafieken 3pGR mag

Geef deze twee transformaties in de juiste volgorde.

opgave 9Twee cirkels

Gegeven is een cirkel c1 met straal r1 en middelpunt O.
Lijn k raakt c1 in een punt A met positieve coördinaten en snijdt de
positieve x-as in punt M zo dat AMO = 30°.
M is het middelpunt van een cirkel c2 met straal r2, waarbij r2 < r1.
Lijn l gaat door O en raakt c2 in punt B met positieve y-coördinaat.
Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Lijn l snijdt c1 in punt C en lijn k snijdt c2 in punt D.
Punt E is de loodrechte projectie van C op de x-as.
Punt F is de loodrechte projectie van D op de x-as.
De driehoeken OBM en OEC zijn gelijkvormig.
Er geldt: CE = DF = (1)/(2)r_2.
154p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Gelijkvormigheid 2pexact

Bewijs dat inderdaad CE = DF = (1)/(2)r_2.
Neem in het vervolg van deze opgave r1 = 4 en M(8,0).
Omdat CE en DF even lang zijn, is EFDC een rechthoek. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
De oppervlakte van rechthoek EFDC hangt af van r2. Voor één waarde
van r2 is deze oppervlakte maximaal.
165p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Extremen en optimaliseren 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek EFDC. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.