Eindexamen wiskunde B vwo 2025 tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie

sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)

sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)

cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)

cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)

sin(2t) = 2sin(t)cos(t)

cos(2t) = cos²(t) − sin²(t) = 2cos²(t) − 1 = 1 − 2sin²(t)

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 2Beweging over twee lijnen

Voor t ≥ 0 beweegt het punt P volgens de bewegingsvergelijkingen:

Voor t ≥ 0 beweegt tegelijkertijd het punt Q volgens de

bewegingsvergelijkingen:

Hierbij is t de tijd.

Zowel de baan van P als de baan van Q is een deel van een lijn.

In figuur 1 zijn deze banen weergegeven.

figuur 1

In figuur 1 is de positie van P en van Q voor een waarde van t

weergegeven. Er geldt:

− P ligt onder de x-as en Q ligt boven de x-as én

− P en Q hebben gelijke afstand tot de x-as.

13p

Parametervoorstellingen en bewegingen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de y-coördinaat van P in dit geval.

Punt Q beweegt met constante snelheid over zijn baan. De snelheid v(t)

waarmee P over zijn baan beweegt, is niet constant. Er geldt: op t = √(5)

de snelheid van P acht keer zo groot als de snelheid van Q.

24p

Parametervoorstellingen en bewegingen 3p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bewijs dat op t = √(5)

de snelheid van P inderdaad acht keer zo groot is

als de snelheid van Q.

In figuur 2 zijn opnieuw de banen van P en Q weergegeven. Ook is voor

en voor

het lijnstuk PQ weergegeven. De helling van lijnstuk

PQ is afhankelijk van t.

figuur 2

Op een tijdstip t is de helling van lijnstuk PQ gelijk aan

34p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van P in dit geval.

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 3Opbrengst van zonnepanelen

Op het platte dak van de uitbouw van foto een huis aan de Parallelweg 10A worden tien even grote zonnepanelen geïnstalleerd. De panelen worden op een stalen frame gemonteerd dat gekanteld is in de richting van het zuiden. Op het horizontale platte dak worden ze in twee rijen achter elkaar geplaatst. Zie de foto. Voorafgaand aan de installatie heeft de leverancier een tekening gemaakt van een zijaanzicht van de opstelling van de panelen. Zie figuur 1, die ook vergroot op de uitwerkbijlage staat. In die situatie verwacht de leverancier maximale energieopbrengst. figuur 1 Met behulp van deze tekening berekent de leverancier de lengte b (in cm) van de te gebruiken panelen. In de tekening geldt: − de punten P , Q , R en S zijn de hoekpunten van twee panelen; punt P ligt recht boven de linker dakrand en punt S recht boven de rechter dakrand; − de panelen maken een hoek van 30 o met het dakoppervlak; − de lengte van de dakrand is 172 cm; − de lengte van PQ en van RS is b cm; − b is zo gekozen dat een zonnestraal door Q , die een hoek van 28 o met de dakrand maakt, in R terecht komt; in dat geval ligt de achterste rij panelen niet in de schaduw van de voorste rij panelen. De rand en de dikte van de zonnepanelen worden in deze opgave buiten beschouwing gelaten.

Sinusregel en cosinusregel 2p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · +1exact

Bereken algebraïsch de waarde van b die de leverancier heeft berekend. Geef je eindantwoord in gehele centimeters. Je mag hierbij gebruikmaken van de uitwerkbijlage.

In figuur 2 is het door de zonnepanelen geleverde vermogen P A in kW op een zonnige 31 augustus uitgezet tegen de tijd t in uren. Uitgaande van de meetwaarden tussen zonsopkomst en zonsondergang is de zwarte vloeiende kromme getekend. figuur 2 De formule bij deze kromme is van de vorm: P A = p cos( qt ) + sin(2 qt ) met 0 < q < 0,4 Hierbij is t de tijd in uren met t = 7 om 7.00 uur. De kromme gaat onder andere door de punten (9 ;1,0) en (18; 2,9) .

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken met behulp van deze punten de waarde van p en van q . Geef je eindantwoorden in drie decimalen. De buren op huisnummer 10B hebben ook zonnepanelen. De energieopbrengst van deze panelen wordt direct gebruikt of direct teruggeleverd aan de energiemaatschappij. Eventueel energieverlies wordt in deze opgave buiten beschouwing gelaten. De energieopbrengst wordt onder andere gebruikt voor het opladen van een elektrische auto. Alle elektriciteit die tijdens het opladen wordt opgewekt, wordt direct in de accu van de auto opgeslagen. Zo wordt de accu met enkel zonne-energie opgeladen.

Op 31 augustus wordt het geleverde vermogen P B in kW tussen zonsopkomst en zonsondergang van de zonnepanelen op dit adres in een model benaderd met de formule: P B = − 4,8cos(0,23 t ) Hierbij is t de tijd in uren met t = 7 om 7.00 uur. De grafiek van P B is in figuur 3 weergegeven. figuur 3 De energieopbrengst E in kWh tussen twee tijdstippen t 1 en t 2 is te berekenen met de integraal: t 2 E = P B d t met t 1 < t 2 t 1 Om 11.00 uur wordt de elektrische auto aan de laadpaal gekoppeld. De accu, met opslagcapaciteit 72 kWh, is op dat tijdstip voor de helft opgeladen. t 2 Met behulp van de integraal P B d t kan worden berekend hoe lang 11 het duurt tot de accu voor driekwart is opgeladen met de elektriciteit die door de panelen is opgewekt.

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken met behulp van primitiveren hoeveel minuten dat duurt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 4Vierkant en driehoek

De functie f wordt gegeven door f(x) = ln(3x).

In figuur 1 zijn de grafiek van f en het vierkant PQRS weergegeven.

figuur 1

Voor vierkant PQRS geldt:

− elke zijde is evenwijdig met de x-as of de y-as;

− de hoekpunten P en R liggen op de grafiek van f;

− de x-coördinaat van R is drie keer zo groot als de x-coördinaat p

van P.

74p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch de coördinaten van P. Geef je eindantwoorden in

twee decimalen.

De lijn met vergelijking y = a snijdt de y-as in punt A en de grafiek van

f in punt B. De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in

punt C. Zie figuur 2.

figuur 2

Er geldt: voor elke waarde van a heeft lijnstuk AC lengte 1.

84p

Raaklijnen aan grafieken 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.

De lijn door A loodrecht op de raaklijn BC snijdt deze raaklijn in punt D.

In figuur 3 is voor een waarde van a de rechthoekige driehoek ACD grijs

weergegeven.

figuur 3

Als a varieert, varieert de lengte van zijde CD.

Als L de lengte van zijde CD is, dan geldt voor de oppervlakte van de

drieho

93p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dit.

105p

Extremen en optimaliseren 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.

opgave 5Twee lijnstukken met eindpunt P

Gegeven zijn de punten A (5,4) en B (8,5) . Verder is een punt P ( p , q ) gegeven dat niet samenvalt met A of B . In figuur 1 en 2 zijn voor twee posities van P de lijnstukken AP en BP getekend. figuur 1 figuur 2 Punt P kan zo worden gekozen, dat P op de x -as ligt en AP en BP even lang zijn.

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 1pexact

uuur Vector AP wordt 90 ° tegen de klok in om A gedraaid. Het resultaat is uuuur vector AC . uuur Vector BP wordt 90 ° met de klok mee om B gedraaid. Het resultaat is uuur vector BD . Punt M is het midden van lijnstuk CD . uuur uuuur uuur In figuur 3 en 4 zijn voor twee posities van P de vectoren AP , AC , BP uuur en BD weergegeven. Ook zijn het lijnstuk CD en punt M weergegeven. figuur 3 figuur 4 De coördinaten van M zijn onafhankelijk van de positie van punt P .

Vectoren en inproduct 6pexact

opgave 6Wortel en sinus

De functies f en g worden gegeven door In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. figuur 1 De oorsprong O is een gemeenschappelijk punt van de twee grafieken. Verder snijden de grafieken elkaar achtereenvolgens in de punten S 1 , S 2 , S 3 , K . figuur 2 In figuur 2 is een deel van figuur 1 rondom snijpunt S 2 vergroot weergegeven. In deze figuur zijn de raaklijnen in S 2 aan de grafiek van f en de grafiek van g gestippeld weergegeven. De helling van de grafiek van f in S 2 is gelijk de grafiek van dus twee keer zo groot. Als n een even getal is, geldt: In de snijpunten S n is de helling van de grafiek van g twee keer zo groot als de helling van de grafiek van f .

Helling en snelheid met de afgeleide 2p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +2exact

opgave 7Drie keer over de lijn

Voor x ≥ 0 en a > 1 ½ wordt de functie f a gegeven door: f a ( x ) = a − x 2 ⋅ x + 3 x De grafiek van f a heeft een knik met x -coördinaat a . Deze knik verdeelt de grafiek van f a in twee delen. Links van deze knik bevindt zich een top van de grafiek van f a . De is te schrijven als:

Formules herleiden en omwerken 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact

Bewijs dit. In de figuur zijn de grafieken van f 8 , f 20 en f 32 en de lijn l met vergelijking y = 16 weergegeven. figuur Als a toeneemt, neemt de Ook de y -coördinaat f a ( a ) van de knik neemt dan toe. Het aantal gemeenschappelijke punten van de grafiek van f a en lijn l hangt af van deze y -coördinaten. Zo snijden de grafiek van f 8 en lijn l elkaar in één punt. De grafiek van f 20 snijdt lijn l in drie punten en de grafiek van f 32 snijdt lijn l in één punt. De waarden van a waarvoor de grafiek van f a en lijn l drie snijpunten hebben, vormen een interval.

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Formules herleiden en omwerken 1p · Ongelijkheden oplossen 1pexact