bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Wereldbevolking
Veel wetenschappers waren het er tot voor kort over eens dat de groei
van de wereldbevolking na 2050 tot stilstand zou komen. Het aantal
mensen zou dan in 2050 ongeveer 9 miljard zijn.
Uit nieuwe wetenschappelijke voorspellingen blijkt echter dat er in 2100
mogelijk al 12 miljard mensen op aarde zullen leven.
De wereldbevolking bestond in 1990 uit 5,3 miljard mensen en in 2011 uit
7 miljard mensen. Neem aan dat de wereldbevolking in deze periode
exponentieel groeide.
14pExponentiële functies en groei 4p
Bereken het hierbij behorende jaarlijkse groeipercentage. Geef je
antwoord in één decimaal.
In 2011 bestond de wereldbevolking uit 7 miljard mensen. In 2012 waren
er 80 miljoen mensen bijgekomen. Er zijn verschillende scenario’s
denkbaar voor de groei van de wereldbevolking na 2012.
In een eerste scenario wordt aangenomen dat de groei vanaf 2011 lineair
zal zijn.
24pLineaire functies 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken in welk jaar de wereldbevolking volgens dit eerste scenario tot
9 miljard mensen zal zijn toegenomen.
Een tweede scenario gaat uit van groei, waarin het jaarlijkse
groeipercentage tot 2050 langzaam afneemt. In dit scenario wordt een
wereldbevolking van 8,9 miljard mensen in 2050 voorspeld. Zie de figuur.
figuur
Verder neemt men in dit scenario aan dat het jaarlijkse groeipercentage
dat in de figuur is af te lezen voor het jaar 2050, in de jaren na 2050 blijft
gelden.
34pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken of daarmee in het jaar 2100 een wereldbevolking van 12 miljard
mensen gehaald wordt.
Vrijwel alle scenario’s voorspellen een groei van de wereldbevolking.
Hierdoor zal de voedselproductie omhoog moeten. Niet alleen omdat er
meer mensen zullen zijn, maar ook omdat naar verwachting in snel
groeiende economieën de gemiddelde voedselconsumptie per persoon zal
toenemen. In de tabel zie je de gegevens van de totale wereldbevolking
uit 2006 en een voorspelling voor 2050.
tabel
43pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met bovenstaande gegevens met hoeveel kilocalorieën de
gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag naar verwachting zal
toenemen in de periode van 2006 tot 2050. Geef je antwoord in een
geheel aantal kilocalorieën.
opgave 2Hoe koud voelt het aan?
In de winter kan het, vooral als het hard waait, veel kouder aanvoelen dan
het in werkelijkheid is. We zeggen dan dat de gevoelstemperatuur lager
is dan de werkelijke temperatuur.
Tot aan het einde van de vorige eeuw gebruikte het KNMI (Koninklijk
Nederlands Meteorologisch Instituut) de tabel van Steadman om de
gevoelstemperatuur te bepalen. Zie de tabel.
tabel gevoelstemperatuur volgens Steadman afgerond op helen, in °C
windsnelheid werkelijke temperatuur in in m/s 0 °C –5 °C –10 °C –15 °C –20 °C –25 °C km/u (afgerond) 10 2,8 –2 –7 –12 –17 –22 –28 15 4,2 –3 –9 –14 –19 –24 –30 20 5,6 –5 –10 –15 –21 –26 –32 25 6,9 –6 –12 –17 –23 –28 –34 30 8,3 –7 –13 –19 –24 –30 –36 35 9,7 –9 –15 –20 –26 –32 –38 40 11,1 –10 –16 –22 –28 –34 –40 45 12,5 –11 –17 –23 –29 –35 –41 50 13,9 –12 –19 –25 –31 –37 –43 55 15,3 –13 –20 –26 –32 –39 –45 60 16,7 –15 –21 –27 –34 –40 –47 65 18,1 –16 –22 –29 –35 –42 –48 70 19,4 –16 –23 –30 –37 –43 –50 75 20,8 –17 –24 –31 –38 –45 –52 80 22,2 –18 –25 –32 –39 –46 –53
In deze tabel kan de (afgeronde) gevoelstemperatuur worden afgelezen
bij een gegeven windsnelheid en werkelijke temperatuur. Zo zie je
bijvoorbeeld dat bij een windsnelheid van 30 km/u en een werkelijke
temperatuur van –10 °C de gevoelstemperatuur –19 °C is.
Op 16 februari 1956 werd in het Groningse Uithuizermeeden een
kouderecord gemeten. Het werd toen –26,8 °C bij een windsnelheid van
25 km/u. Met behulp van de tabel van Steadman kun je berekenen wat de
bijbehorende gevoelstemperatuur was. Ga ervan uit dat voor elke
windsnelheid het verband tussen de gevoelstemperatuur en de werkelijke
temperatuur lineair is
54pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Bereken deze gevoelstemperatuur. Gebruik hierbij de
gevoelstemperaturen die horen bij een werkelijke temperatuur van
0 °C en –25 °C. Geef je antwoord in gehele graden.
Sinds het begin van deze eeuw wordt bij het KNMI de gevoelstemperatuur
berekend met een formule die in Canada ontwikkeld is. Deze formule
luidt:
G = 13,12 + 0,62 ⋅ T −13,96 ⋅ w0,16 + 0,49 ⋅ T ⋅ w0,16 (Canadese formule)
In deze formule is T de werkelijke temperatuur in °C, w de windsnelheid
in m/s en G de gevoelstemperatuur in °C.
De tabel van Steadman geeft iets andere gevoelstemperaturen dan de
Canadese formule. Vooral bij een hoge windsnelheid en een lage
werkelijke temperatuur is er een behoorlijk groot verschil tussen de
gevoelstemperatuur volgens de tabel en die volgens de formule.
opgave 3Kajak
Kanovaren is een Olympische sport. Een van de onderdelen is de
vlakwatersprint kajakvaren. Een kajak is een soort kano. Zie de foto.
foto
Tijdens de Olympische Spelen in Peking in 2008 was de winnende tijd
met een eenpersoonskajak op de 500 meter vlakwatersprint voor mannen
1 minuut en 37,252 seconden.
83pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de gemiddelde snelheid van de winnende kajak op deze afstand
in km/u. Geef je antwoord in één decimaal.
Er zijn ook races voor kajaks met 2 of 4 personen. In de tabel staan nog
enkele winnende tijden (in seconden) die op de Olympische Spelen van
2008 in Peking met kajaks zijn behaald. Het aantal personen in de boot
wordt aangeduid met N.
tabel
Monique vraagt zich af of er een lineair verband bestaat tussen de
winnende tijd van de vrouwen op de 500 m en het aantal personen in de
kajak.
94pLineaire functies 4p
Onderzoek met gegevens uit de tabel of dat verband lineair kan zijn.
Meer personen leveren een grotere gezamenlijke kracht, maar maken de
kajak ook zwaarder. Toch wordt er door meer personen sneller gevaren.
Natuurkundig is te beredeneren dat er bij benadering het volgende
verband bestaat:
Hierin is V de gemiddelde snelheid in m/s, c een constant getal dat
afhangt van het type kajak en de omstandigheden waarin gevaren wordt
en N het aantal personen in de boot.
Ook is bekend dat:
(met
afstand in m en
tijd in s)
We gaan ervan uit dat V tijdens een wedstrijd constant is. Je kunt dan met
de drie winnende tijden in de tabel nagaan dat dit verband tussen V en N
bij benadering klopt.
104pEvenredigheden en machtsverbanden 4p
Ga dit voor de mannen op de 1000 meter met berekeningen na.
In de rest van deze opgave gaan we uit van een bepaald type kajak en
bepaalde omstandigheden zodat geldt c = 4,4, dus:
Deze formule is te herleiden tot een formule van de vorm N = a ⋅Vb.
114pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding.
Wanneer één persoon vaart met dit type kajak, geeft dat een bepaalde
gemiddelde snelheid. Er zouden heel wat personen in ditzelfde type kajak
nodig zijn om die gemiddelde snelheid met minstens 25% te verhogen.
opgave 4Onderwijs in vroeger tijden
Hoe zag het basisonderwijs er vroeger uit? Dat heeft de heer Uil
onderzocht. In zijn proefschrift bespreekt hij het onderwijs in Zeeland en
Staats-Vlaanderen1) in de periode 1578 – 1801.
In die tijd gingen veel kinderen naar de Nederduitse school. Daar leerden
ze eerst lezen. Pas wanneer een kind kon lezen, mocht het gaan leren
schrijven. Als het kind ook dat kon, mocht het gaan leren rekenen. Voor
elk vak apart moest lesgeld worden betaald door de ouders: één of
meerdere stuivers. Het lesgeld was niet op alle scholen even hoog. Op
geen enkele school bedroeg het lesgeld voor een vak meer dan
22 stuivers per maand.
In de figuur zie je van 64 scholen in Zeeland en Staats-Vlaanderen de
cumulatieve frequentiepolygonen van het lesgeld dat per maand betaald
moest worden voor de drie vakken. Zo lees je bijvoorbeeld af dat op
60 scholen het lesgeld per maand voor lezen 6 stuivers of minder
bedroeg. De figuur staat vergroot afgebeeld op de uitwerkbijlage.
figuur lesgeld per maand per vak
132pData presenteren en beoordelen 2p
Bepaal voor welk vak het lesgeld per maand op deze scholen over het
algemeen het laagst was. Licht je antwoord toe.
Er waren scholen bij waar niet alle drie de vakken werden gegeven.
142pData presenteren en beoordelen 2p
Leg uit hoe je dit in de figuur kan zien.
noot 1 Zeeland en Staats-Vlaanderen waren delen van Nederland toen het nog een republiek
was.
Het lesgeld per vak bedroeg op elke school een geheel aantal stuivers per
maand. Niet alle mogelijke aantallen stuivers kwamen voor.
153pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Geef alle verschillende aantallen stuivers die voor het vak schrijven als
lesgeld per maand betaald werden.
Helaas gingen niet alle kinderen naar school. In het jaar 1796 bleken in
de stad Veere 221 van de 323 kinderen naar school te gaan. Als deze
gegevens representatief zijn voor alle steden in Zeeland en Staats-
Vlaanderen, dan kan hiermee het 95%-betrouwbaarheidsinterval bepaald
worden van het percentage kinderen dat in 1796 in de steden van
Zeeland en Staats-Vlaanderen naar school ging.
164pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Bereken met behulp van het formuleblad dit
95%-betrouwbaarheidsinterval. Geef de getallen in je antwoord in één
decimaal.
De heer Uil heeft ook een schatting gemaakt van het aantal
volwassenen dat kon schrijven. Daartoe heeft hij verzoekschriften
bekeken die in die tijd bij de Zeeuwse en Staats-Vlaamse overheden
ingediend zijn. De indieners ervan ondertekenden die met een
handtekening of met een merk, bijvoorbeeld een kruisje of een
zelfbedacht teken. Wie een handtekening zette kon waarschijnlijk
schrijven. Wie een merk zette, kon waarschijnlijk niet schrijven. In de tabel
is te zien hoeveel handtekeningen en hoeveel merken er gezet zijn.
tabel
Je kunt uit de gegevens afleiden dat er verschil is tussen mannen en
vrouwen wat betreft het gebruik van een handtekening of een merk.
opgave 5Waterdiepte meten
Waterdiepte werd vroeger vanaf een schip
gemeten met behulp van een lang touw met
een stuk lood aan het uiteinde. Het lood werd
aan het touw het water ingelaten. Lood is
zwaar, dus het zinkt. Wanneer het lood de
bodem raakte, werd het touw uit het water
gehaald. Daarna werd het deel gemeten dat
onder water was geweest. Dit deed de
schipper door telkens een deel van het touw
tussen uitgestrekte handen te pakken. Zie
figuur 1. Het aantal keer dat dat kon, was de
diepte in vadem. Deze oude lengtemaat geeft
dus de spanwijdte aan van de armen van een
volwassen man. Omdat het een
onnauwkeurige manier van meten is, is deze
lengte later precies vastgelegd: 1 vadem is
gelijk aan 6 voet. Een voet is even lang als
12 inch en een inch is 25,4 mm.
Noemen we de waterdiepte in meter M en de waterdiepte in vadem V, dan
kunnen we V omrekenen naar M.
183pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Geef een formule waarbij M uitgedrukt is in V.
Tegenwoordig meet men waterdiepte met
een echolood. Dit apparaat bestaat uit een
zender en een ontvanger die onder het
wateroppervlak bevestigd zijn aan een boot. Het
echolood zendt een geluidsgolf naar de bodem
en even later wordt de door de bodem
teruggekaatste geluidsgolf, de echo, weer door
het echolood ontvangen.
Er geldt:
D = h + 750t
Hierin is:
− D de waterdiepte in meter, dus de afstand
tussen het wateroppervlak en de bodem;
− t de echotijd tussen het zenden van de
geluidsgolf en het ontvangen van de echo in seconden;
− h de afstand tussen de onderkant van het echolood en het
wateroppervlak in meter.
Zie figuur 2.
193pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p
Bereken de echotijd als de bodem zich op 10 meter onder het echolood
bevindt. Geef je antwoord in seconden en in drie decimalen.
De snelheid waarmee geluid zich verplaatst in water kun je uit de formule
afleiden.
Yvonne zegt: “Die snelheid is de helft van 750, dus 375 meter per
seconde.”
Josje zegt: “Die snelheid is het dubbele van 750, dus 1500 meter per
seconde.”
Eén van beiden heeft gelijk.
203pRedeneren en uitleggen in de context 2p · Lineaire functies 1p
Wie heeft gelijk? Leg je antwoord uit met behulp van de formule.
Een groep duikers vaart de zee op en zoekt een zo diep mogelijke plek
om veilig voor anker te gaan. De ankerketting is 78 m lang en voor de
veiligheid moet deze lengte minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn.
De waterdiepte die het echolood op deze boot aangeeft, kan door een
onnauwkeurige meting 3% afwijken van de werkelijke waterdiepte.
213pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de maximale waarde die het echolood als waterdiepte mag
aangeven om veilig voor anker te kunnen gaan. Geef je antwoord in meter
en in één decimaal.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
opgave 6Glas
Voor ramen in woningen kunnen verschillende soorten glas gebruikt
worden. Zo bestaan er ramen van enkel glas, van dubbelglas en van
hoogrendementsglas. Enkel glas isoleert het minst goed. Dat wil zeggen:
de warmte blijft minder goed binnenshuis. Dubbelglas isoleert beter.
Hoogrendementsglas isoleert het best.
Om verschillende glassoorten te vergelijken gebruikt men de
warmtedoorgangscoëfficiënt U. Er geldt: hoe lager U, des te beter is de
isolatie. Om te berekenen hoeveel warmte er door het glas verloren gaat,
kan de volgende formule worden gebruikt:
W = U ⋅ G ⋅ ΔT
Hierin is W het warmteverlies in watt, G de glasoppervlakte in m2 en ΔT
het verschil tussen de binnentemperatuur en de buitentemperatuur in °C.
Er wordt tegenwoordig ook isolatiefolie verkocht. Dit doorzichtige folie
wordt op het glas geplakt. De warmtedoorgangscoëfficient U van het glas
wordt daardoor lager. Zie de tabel.
tabel
Peter is eigenaar van een woning met 10,65 m2 enkel glas en 24,85 m2
dubbelglas. Hij wil het warmteverlies verminderen.
Peter zou al het bestaande glas met folie kunnen beplakken. Hij vindt folie
niet mooi en besluit daarom het warmteverlies in zijn woning te
verminderen door een gedeelte van het glas in zijn woning te vervangen
door hoogrendementsglas. Om te bepalen hoeveel enkel glas en hoeveel
dubbelglas hij zal vervangen, kiest hij de volgende uitgangspunten:
− De gemiddelde binnentemperatuur is 19 °C en de gemiddelde
buitentemperatuur is 9 °C.
− Het warmteverlies moet evenveel verminderd worden als wanneer
al het bestaande glas met folie beplakt zou worden.
− Hij wil zo weinig mogelijk glasoppervlak vervangen.
− Hij laat alle kosten buiten beschouwing.
