bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen × a b 2 2-kruistabel c d , met waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Effectgrootte E = X 1 − X 2 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden ½ ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Huisartsenzorg
De uitgaven aan huisartsenzorg voor één persoon per jaar kan je volgens
een eenvoudig model berekenen met de volgende formule:
Hierin is U het bedrag in euro dat voor één persoon per jaar aan
huisartsenzorg wordt uitgegeven en A het aantal huisartsconsulten van
die persoon per jaar.
In 2018 was het gemiddelde aantal huisartsconsulten per persoon gelijk
aan 4,5.
Stel dat in 2020 het gemiddelde aantal huisartsconsulten per persoon
10% hoger was dan in 2018. Volgens formule 1 zouden in 2020 de
gemiddelde uitgaven aan huisartsenzorg dan ook hoger zijn geweest dan
in 2018.
14pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken hoeveel procent hoger. Geef je antwoord in hele procenten.
In de rest van de opgave bedoelen we met de uitdrukkingen ‘het aantal
huisartsconsulten’ en ‘de uitgaven aan huisartsenzorg’ steeds de
gemiddelde waarden.
Voor ouderen is het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar hoger
dan voor jongeren. Voor personen van 5 jaar tot en met 64 jaar geldt voor
het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar A de volgende formule:
Hierin is l de leeftijd van de persoon in jaren.
23pFormules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · Ongelijkheden oplossen 1p
Bereken bij welke leeftijden volgens formule 2 het aantal
huisartsconsulten per persoon per jaar lager is dan 4,5.
Door de formules 1 en 2 te combineren kan voor personen van 5 jaar tot
en met 64 jaar een formule worden afgeleid waarin de uitgaven aan
huisartsenzorg per persoon per jaar (U) worden uitgedrukt in de leeftijd (l)
van de persoon.
Deze formule kan worden geschreven in de vorm U =... ⋅ l +... waarbij op
de puntjes getallen staan.
33pFormules herleiden en omwerken 3p
Geef de afleiding van de formule in deze vorm.
We kijken nu naar personen van 65 jaar of ouder. Neem ook voor deze
leeftijdsgroep aan dat het verband tussen het aantal huisartsconsulten per
persoon per jaar (A) en de leeftijd in jaren (l) lineair is. Voor personen van
65 jaar is het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar gelijk aan 5.
Voor personen van 80 jaar is dit aantal gelijk aan 9.
43pLineaire functies 3p
Bereken met deze gegevens het aantal huisartsconsulten per persoon per
jaar voor personen die 92 jaar oud zijn. Geef je antwoord als geheel getal.
opgave 2Mobiel dataverbruik
Op de hele wereld gebruiken mensen hun
mobiele telefoon steeds meer. De
hoeveelheid verbruikte mobiele data neemt
daardoor elk jaar toe.
In Nederland was in 2017 het totale
mobiele dataverbruik
325 miljoen gigabyte (GB), een stijging van
1050% ten opzichte van 2013.
53pExponentiële functies en groei 3p
Bereken het totale mobiele dataverbruik in Nederland in 2013. Geef je
antwoord in hele miljoenen GB.
In figuur 1 is te zien dat het mobiele dataverbruik per simkaart1) in diverse
Europese landen in de periode 2008-2017 enorm is gestegen.
figuur 1 mobiel dataverbruik per simkaart per maand
Je kunt in figuur 1 aflezen dat in Finland in het jaar 2013 het mobiele
dataverbruik per simkaart 1,6 GB per maand was. Dit was in 2017
gegroeid naar 12,0 GB per maand. Neem aan dat er in deze periode
sprake was van exponentiële groei.
64pExponentiële functies en groei 4p
Bereken het jaarlijkse groeipercentage van het mobiele dataverbruik per
simkaart per maand in deze periode in Finland. Geef je antwoord in hele
procenten.
noot 1 Een simkaart is een chip die in een mobiel apparaat gedaan wordt. In deze opgave
wordt steeds het gemiddelde mobiele dataverbruik per simkaart bedoeld. SIM staat
voor Subscriber Identity Module.
In 2017 was het mobiele dataverbruik per simkaart per maand in Finland
12 keer zo groot als in Nederland. Dit is deels te verklaren door het feit
dat het dataverbruik in Finland een stuk goedkoper was. De providers in
Nederland brachten in 2017 gemiddeld ongeveer 14 keer zoveel in
rekening als de providers in Finland voor het verbruik van dezelfde
hoeveelheid mobiele data.
74pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken hoeveel procent de inwoners van Finland in 2017 in totaal minder
uitgaven aan mobiele data dan de inwoners van Nederland. Geef je
antwoord in hele procenten.
In figuur 2 is voor het jaar 2017 het verband tussen de
gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per
simkaart per maand weergegeven.
figuur 2
In figuur 2 is te zien: hoe hoger de prijs in een bepaald land is, hoe lager
het dataverbruik. Bij de trendlijn hoort een omgekeerd evenredig verband.
83pEvenredigheden en machtsverbanden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Stel een formule op van dit verband.
In figuur 1 zie je bij de vier Europese landen dat het mobiele dataverbruik
toenemend stijgt. In Zuid-Korea en Japan, die niet zijn opgenomen in
figuur 1, is de sterke groei al wat afgenomen. In de tabel staan de
gegevens van deze landen van de jaren 2014 en 2015.
tabel mobiel dataverbruik per simkaart per maand
Neem aan dat de toename van het mobiele dataverbruik per simkaart per
maand in beide landen vanaf 2014 lineair is. Dan zal men in Zuid-Korea
eerder gemiddeld 10 GB per simkaart per maand verbruiken dan in Japan.
95pLineaire functies 5p
Bereken hoeveel jaar eerder dit zal gebeuren. Geef je antwoord in hele
jaren.
opgave 3Bewegen jongeren genoeg?
Het lijkt erop dat een aanzienlijk deel van de jongeren in Nederland te
weinig beweegt. Het onderzoek ‘Health Behaviour in School-aged
Children’ dat sinds 1985 uitgevoerd wordt, bevat informatie over het
beweeggedrag van jongeren in Nederland. Deze opgave gaat over het
deel van dit onderzoek dat betrekking heeft op jongeren in het reguliere
voortgezet onderwijs in de eerste vier leerjaren. Deze groep beschouwen
we in deze opgave als de onderzoekspopulatie. Aan het onderzoek deden
67 scholen mee. We nemen aan dat deze groep scholen een aselecte en
representatieve steekproef vormt uit alle scholen voor regulier voortgezet
onderwijs.
Onder de deelnemende scholen waren er scholen met een groot aantal
klassen en scholen met een klein aantal klassen. De onderzoekers kregen
van deze scholen een lijst van alle klassen van de eerste vier leerjaren.
Uit elke lijst trokken de onderzoekers vervolgens aselect uit elk leerjaar
één klas. Alle leerlingen uit die getrokken klassen deden mee aan het
onderzoek.
De leerlingen die op deze manier in de steekproef terecht zouden komen,
vormen geen aselecte steekproef uit de onderzoekspopulatie.
102pData presenteren en beoordelen 2p
Leg dit uit.
De onderzoekers hebben het bovengenoemde probleem uiteindelijk
opgelost. In de rest van de opgave nemen we aan dat de steekproef
aselect en representatief is.
Aan de leerlingen zijn onder andere de volgende vragen over bewegen
gesteld:
− Doe je minstens twee keer per week aan sport of speel je minstens
twee keer per week buiten?
− Ben je lid van een sportclub?
− Op hoeveel dagen van de afgelopen zeven dagen was je ten minste
één uur per dag bezig met lichaamsbeweging?
Van de leerlingen waren een aantal kenmerken bekend, zoals:
− geslacht (meisje, jongen)
− schoolniveau (vmbo, havo, vwo)
− gezinswelvaart (laag, midden, hoog)
De drie genoemde kenmerken zijn kwalitatieve variabelen.
113pData presenteren en beoordelen 3p
Geef van elk van de drie kenmerken aan of het wel of geen ordinale
variabele is. Licht bij elk kenmerk je antwoord toe.
In tabel 1 is te zien hoeveel meisjes en hoeveel jongens aan het
onderzoek deelnamen. Ook is te zien hoeveel procent van de meisjes en
hoeveel procent van de jongens minstens twee keer per week sport of
buiten speelt.
tabel 1
Je kunt nu het 95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen voor de
populatieproportie van het aantal meisjes dat minstens twee keer per
week sport of buiten speelt. Hetzelfde kun je doen voor de jongens.
125pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 5p
Onderzoek of deze twee 95%-betrouwbaarheidsintervallen elkaar
overlappen.
In tabel 2 zie je het aantal leerlingen dat aan het onderzoek deelnam
uitgesplitst naar schoolniveau, met daarbij het aantal leerlingen dat lid is
van een sportclub.
tabel 2
Op basis van tabel 2 kun je een uitspraak doen over het verschil tussen
het aantal havo-leerlingen en het aantal vwo-leerlingen in Nederland dat
lid is van een sportclub.
134pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dat verschil groot,
middelmatig of gering is.
In tabel 3 staat het aantal deelnemende leerlingen en het gemiddelde
aantal dagen dat zij in de afgelopen zeven dagen minstens één uur per
dag bezig waren met lichaamsbeweging, uitgesplitst naar gezinswelvaart.
tabel 3
Op basis van tabel 3 wil Yarah het gemiddelde aantal dagen (met
minstens één uur lichaamsbeweging) van de groepen laag en hoog met
elkaar vergelijken. Hierbij wil Yarah gebruikmaken van de effectgrootte
zoals die op het formuleblad is weergegeven.
Veronderstel dat de standaardafwijking S1 voor de groep met lage
gezinswelvaart even groot is als de standaardafwijking S2 voor de groep
met hoge gezinswelvaart, dus S1 = S2 = S.
opgave 4Formules in de F1
Formule 1 (F1) is de hoogste klasse in de
autosport. Gedurende het jaar worden er
races gehouden op circuits in
verschillende landen.
In deze opgave kijken we naar enkele
formules in de F1 die het verschil kunnen
bepalen tussen winnen en verliezen.
In een F1-race moet de coureur steeds inschatten met welke snelheid hij
een bocht kan nemen. Voor de scherpte van de bocht geldt: hoe kleiner
de straal r van de bocht, hoe scherper de bocht. Zie de figuur.
figuur
Als de coureur sneller rijdt dan de maximale bochtensnelheid v, vliegt hij
uit de bocht.
Onder bepaalde omstandigheden geldt voor een bepaald type F1-auto het
volgende verband tussen v en r:
Hierin is r de straal van de bocht in meter en v de maximale
bochtensnelheid in km per uur.
Een coureur nadert een bocht met een straal van 80 meter.
162puitwerkbijlageRedeneren en uitleggen in de context 1p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Geef in de grafiek op de uitwerkbijlage het gebied aan waar de coureur uit
de bocht vliegt. Licht je antwoord toe.
Omdat de banden gedurende de race slijten, verliezen ze grip op het
wegdek en lopen de rondetijden op. Daarom worden tijdens zogeheten
pitstops de banden te verwisseld voor nieuwe, maar dat wisselen kost
wel tijd (pitstraat inrijden, banden wisselen, pitstraat uitrijden).
Voor een bepaald type F1-auto kan het totale tijdverlies T in een race als
gevolg van slijtage van de banden en het aantal pitstops, worden gegeven
door de formule:
Hierin is:
− T het totale tijdverlies in seconden
− b de bandenslijtage, een getal dat onder andere afhangt van het circuit
− L het aantal ronden van de race
− n het aantal pitstops in de race
− P het gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop
Als we bij een race van 60 ronden uitgaan van een bandenslijtage van
0,1 en een gemiddeld tijdverlies van 20 seconden per pitstop, dan kunnen
we formule 2 herleiden tot de formule:
183pRekenen met een gegeven formule 2p · Redeneren en uitleggen in de context 1p
Bereken met behulp van formule 3 het optimale aantal pitstops voor de
bovenstaande race van 60 ronden.
Als het gemiddelde tijdverlies per pitstop zou kunnen afnemen, dan kan
het optimale aantal pitstops misschien toenemen om het totale tijdverlies
in de race zo klein mogelijk te houden.
Op een ander circuit, waar de race 45 ronden duurt, geldt voor een
bepaalde F1-auto een bandenslijtage van 0,3. Je kunt dan met de
volgende formule het optimale aantal pitstops bepalen:
Hierin is N het (onafgeronde) optimale aantal pitstops en P het
gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop.
Op dit circuit geldt voor deze F1-auto dat het gemiddelde tijdverlies van
een pitstop 24,8 seconden is. Uit de formule volgt dan dat N ongeveer
2,5 is. Er moet een keuze gemaakt worden of er nu 2 of 3 pitstops moeten
plaatsvinden. Deze keuze zou makkelijker zijn als N precies 3 was
geweest.
203pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer met formule 4, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken of
een schets/tekening van de grafiek van N te maken, dat N toeneemt als
het gemiddelde tijdverlies per pitstop afneemt.
opgave 5Wel het huis, maar niet de grond
Als je een huis koopt, word je normaal
gesproken niet alleen eigenaar van het huis,
maar ook van de grond waar het huis op
staat.
Voor de betaling sluit de koper meestal een
hypotheek af. Dit is een lening die in
maandelijkse termijnen met rente moet
worden terugbetaald binnen een afgesproken
termijn, de zogenoemde looptijd.
Soms wil een koper een huis kopen waarvoor
de bank geen hypotheek wil geven omdat het
huis eigenlijk te duur is voor de koper. In zo’n
geval kan de koper besluiten tot duo-koop. Je
koopt dan wel het huis, maar niet de grond.
De maandelijkse hypotheekkosten zijn dan
lager, maar er moet dan ook een maandelijks bedrag voor het huren van
de grond worden betaald.
Bij duo-koop wordt de huurprijs van de grond bepaald aan de hand van
twee percentages:
− G: het grondpercentage, dat is de procentuele waarde van de grond
ten opzichte van de prijs van huis en grond samen.
− H: het huurpercentage, dat is het percentage van de waarde van de
grond dat jaarlijks aan huur voor de grond betaald moet worden.
Bijvoorbeeld: voor een huis dat inclusief de grond € 200 000 kost en
waarvoor geldt dat G = 25 en H = 6, is de waarde van de grond € 50 000
en zal bij duo-koop de huur van de grond € 3000 per jaar, dus € 250 per
maand zijn.
Nicolette en Fouad willen een huis kopen in Den Haag. Het huis kost
inclusief de grond € 240 000. Ze willen hiervoor een hypotheek afsluiten
met een looptijd van 30 jaar. In de tabel staat een aanbieding van een
bank voor beide manieren van kopen.
tabel Kosten voor een huis (inclusief grond) van € 240 000
De hypotheekkosten en de huurprijs van de grond veranderen niet tijdens
de looptijd. We nemen aan dat de percentages G en H ook niet
veranderen tijdens de looptijd.
Het huis en de grond worden in de loop van de 30 jaar meer waard. We
nemen aan dat de waarde van zowel het huis als de grond jaarlijks met
2% toeneemt.
Nicolette en Fouad overwegen het huis met duo-koop te kopen. Daarmee
zijn de maandelijkse kosten lager dan bij de gewone koop.
Na de looptijd van 30 jaar verwachten ze voldoende geld te hebben om de
grond alsnog te kopen, uiteraard voor de prijs die de grond op dat
moment waard is. Dit zal betekenen dat de totale kosten over de looptijd
van 30 jaar bij duo-koop hoger zullen zijn dan bij gewone koop.
Nicolette en Fouad willen het huis met duo-koop kopen als de totale
kosten daarbij minder dan € 100 000 hoger zijn dan bij gewone koop. Als
dat niet zo is, gaat de koop niet door.
