bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 × 2 kruistabel waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn. − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1De psychrometer
Lucht bevat waterdamp. Hoeveel waterdamp er in de lucht zit, varieert.
De (relatieve) luchtvochtigheid is een percentage dat aangeeft hoe
vochtig de lucht is. Dit ligt tussen 0% (zeer droge lucht) en 100%
(verzadigde lucht).
De luchtvochtigheid kan worden gemeten met een psychrometer. Dit is
een apparaatje met twee thermometers. De ene thermometer is een
gewone thermometer: deze meet de luchttemperatuur. De andere
thermometer heeft een natte kous om het vloeistofreservoir. Zie de foto.
foto
Door de psychrometer rond te draaien, verdampt water uit de natte kous.
Daardoor koelt de kous af en zal de thermometer met de natte kous een
lagere temperatuur aangeven dan de luchttemperatuur. We noemen deze
temperatuur de natte temperatuur.
Met de luchttemperatuur én het verschil tussen de luchttemperatuur en de
natte temperatuur kun je de luchtvochtigheid bepalen. Hiervoor gebruik je
de tabel die op de uitwerkbijlage staat.
Ahmed gebruikt op een bepaald moment een psychrometer. De
luchttemperatuur is volgens de gewone thermometer 22 °C, de natte
temperatuur is 17 °C.
13puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal met behulp van de tabel op de uitwerkbijlage de luchtvochtigheid
op dat moment.
Op de uitwerkbijlage is een figuur afgedrukt. In die figuur is voor diverse
verschillen tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur de grafiek
getekend van de luchtvochtigheid, afhankelijk van de luchttemperatuur.
Op een bepaalde dag daalde de luchttemperatuur van 31,5 °C naar 15 °C,
maar de luchtvochtigheid bleef de hele dag 60%.
24puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel de natte
temperatuur die dag daalde.
De waarden voor de luchtvochtigheid in de tabel op de uitwerkbijlage zijn
afgerond op hele procenten. De luchtvochtigheid kan nauwkeuriger
berekend worden met de volgende formule:
(formule 1)
Hierin is L de luchtvochtigheid in%, T de luchttemperatuur en Tnat de
natte temperatuur, beide in °C.
Op 4 november 2015 om 10.30 uur ’s ochtends was de luchttemperatuur
in Almelo 11 °C. Het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte
temperatuur was op dat moment 3 °C.
Mijke berekent de luchtvochtigheid met de formule. Jaap berekent de
luchtvochtigheid met de tabel. Dit geeft twee verschillende uitkomsten.
34pRekenen met een gegeven formule 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken hoe groot het verschil tussen deze twee uitkomsten is. Geef je
antwoord in twee decimalen.
Als de luchttemperatuur 27 °C is, dan is formule 1 te vereenvoudigen tot
(formule 2)
Er geldt: hoe lager de natte temperatuur is, des te lager is de
luchtvochtigheid. Dit kan beredeneerd worden aan de hand van formule 2.
opgave 2CO2 -concentratie in de atmosfeer
Vanaf 1959 heeft Charles David Keeling de CO2-concentratie in de
atmosfeer gemeten. Deze metingen laten zien dat de CO2-concentratie in
de atmosfeer in de loop van de jaren flink is toegenomen. In figuur 1 zijn
voor de periode 1959–2015 de jaargemiddelden van de CO2-concentratie
weergegeven. De gebruikte eenheid van de CO2-concentratie is ppm
(parts per million): het aantal CO2-deeltjes per miljoen luchtdeeltjes.
Figuur 1 staat vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Het blijkt dat de CO2-concentratie elk jaar volgens hetzelfde patroon om
het jaargemiddelde schommelt. In figuur 2 kun je aflezen hoeveel het
maandgemiddelde van de CO2-concentratie afwijkt van het
jaargemiddelde. Figuur 2 staat ook afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 2
53puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal het maandgemiddelde van de CO2-concentratie voor de maand
september 1990. Gebruik hierbij de figuren op de uitwerkbijlage. Geef je
antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Keeling schatte in 1970 op grond van zijn meetgegevens over de periode
1959–1970 dat het jaargemiddelde van de CO2-concentratie vanaf 1970
jaarlijks met 0,3% zou toenemen. Daarmee voorspelde hij hoe hoog het
jaargemiddelde van de CO2-concentratie in 1995 zou zijn. Die
voorspelling wijkt een beetje af van het werkelijke jaargemiddelde van het
jaar 1995.
65puitwerkbijlageExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken hoeveel procent de voorspelling afwijkt. Gebruik hierbij de figuur
op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord als geheel getal.
De CO2-concentratie blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde
369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.
Tibbe vermoedt op basis van figuur 1 dat het jaargemiddelde in de
periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de
groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële
verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen
in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
75pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Exponentiële functies en groei 2p
Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst
hoger dan 500 ppm zal zijn.
Marrit is het niet eens met Tibbe: zij vermoedt dat er vanaf het jaar 2000
geen sprake is van exponentiële groei, maar van lineaire groei. Je kunt
dan, uitgaande van de jaargemiddelden van 2000 en 2015 en met behulp
van lineair extrapoleren, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor
het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
84pLineaire functies 4p
Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst
hoger dan 500 ppm zal zijn.
Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de
CO2-concentratie omlaag te brengen.
Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO2-concentratie na 2015
zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm
is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
− een lineair verband of
− een exponentieel verband.
In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het
jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO2-concentratie van
bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment
bereikt dan in het andere geval.
opgave 3Snelheidsovertredingen
In veel dorpen geldt een snelheidslimiet van 30 of 50 km/uur. Niet elke
automobilist houdt zich hieraan en dit kan onveilige situaties opleveren.
Daarom kan iedereen onveilige verkeerssituaties melden bij Veilig
Verkeer Nederland (VVN). Als men bij VVN het vermoeden heeft dat het
om een gegronde melding gaat, dan gaan vrijwilligers op pad om de
snelheid van passerende automobilisten te meten.
Vanuit het dorp Borssele is zo’n melding binnengekomen over de
Monsterweg. Vervolgens is op een dinsdagochtend tussen 7 en 9 uur op
deze weg de snelheid van 250 passerende automobilisten gemeten.
Aan de hand van de resultaten van deze steekproef wil men een uitspraak
doen over het percentage automobilisten dat in een willekeurige week op
deze weg te hard rijdt.
102pData presenteren en beoordelen 2p
Leg uit waarom deze steekproef waarschijnlijk niet representatief is en
geef aan hoe dat verbeterd kan worden.
Er wordt een nieuwe steekproef op de Monsterweg gehouden die wel
representatief is. Op deze weg, waar de snelheidslimiet 50 km/uur is, is
de snelheid van 169 auto’s gemeten.
Ook wordt er een representatieve steekproef gehouden op de Noordsingel
in Borssele. Op deze weg, waar de snelheidslimiet 30 km/uur is, is de
snelheid van 100 auto’s gemeten.
De resultaten van de twee steekproeven zijn weergegeven in de figuur.
figuur
112pCentrum, spreiding en verdelingen 2p
Ligt de snelheidslimiet op de Noordsingel in de modale klasse? Licht je
antwoord toe.
De situatie op de Noordsingel is zorgwekkend: er waren maar weinig
automobilisten die zich aan de snelheidslimiet hielden. Men wil het
95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen van het percentage
automobilisten op de Noordsingel dat te hard rijdt.
124pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Bereken dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Rond de percentages in je
antwoord af op gehele getallen.
Piet wil een diagram maken met de gegevens van de Monsterweg uit de
figuur. Hij overweegt de volgende drie diagrammen:
− een boxplot
− een spreidingsdiagram (puntenwolk)
− een cumulatieve relatieve frequentiepolygoon
Hij wil dat uit het diagram af te lezen is hoe groot het percentage van de
automobilisten is dat zich aan de snelheidslimiet houdt.
133pData presenteren en beoordelen 3p
Geef voor elk van deze drie diagrammen aan of dat hiervoor geschikt is.
Licht je antwoord telkens toe.
Voor de Monsterweg wordt onderzocht of een groter deel van de
automobilisten zich aan de snelheidslimiet houdt als er matrixborden
langs de weg worden geplaatst die de maximumsnelheid aangeven. Zie
de foto.
foto
In het eerdere onderzoek (situatie zonder matrixborden) van VVN hielden
111 van de 169 automobilisten op de Monsterweg zich aan de
snelheidslimiet. In het vervolgonderzoek, waarin er matrixborden
geplaatst waren, hielden 183 van de 213 automobilisten zich aan de
snelheidslimiet.
In de twee onderzoeken is het deel van de automobilisten dat zich aan de
snelheidslimiet houdt dus verschillend.
opgave 4Motorblokken bestellen
Een fabrikant produceert jaarlijks
27 000 auto’s van een bepaald type.
De fabrikant bestelt de 27 000
motorblokken die hiervoor nodig zijn bij een
leverancier. De fabrikant kan deze 27 000
motorblokken in één keer bestellen of over
meerdere bestellingen verdelen. Het aantal
motorblokken is bij elke bestelling even
groot. Zo kan de fabrikant bijvoorbeeld
5 keer 5400 motorblokken bestellen of
20 keer 1350.
De fabrikant betaalt een prijs van 2000 euro per motorblok. Daarnaast
betaalt de fabrikant voor iedere bestelling bestelkosten. Na levering
worden de motorblokken door de fabrikant in een opslagruimte geplaatst
totdat ze nodig zijn. Het lijkt misschien handig om elk jaar alle
motorblokken in één keer te bestellen, omdat de fabrikant dan maar één
keer bestelkosten hoeft te betalen. De fabrikant heeft dan echter wel een
grotere opslagruimte nodig en dat kost geld. Bestelt hij meerdere keren
per jaar een kleinere hoeveelheid, dan kan hij een kleinere opslagruimte
gebruiken en is hij dus minder geld kwijt aan opslag.
Het aantal motorblokken is dus bij elke bestelling even groot. Dit aantal
heet de bestelhoeveelheid q. Ongeacht de bestelhoeveelheid worden er
per bestelling steeds dezelfde bestelkosten B (in euro’s) gerekend.
De totale jaarlijkse kosten (in euro’s) voor de fabrikant bestaan uit:
− de kosten van alle motorblokken (ofwel 27000 ⋅ 2000 = 54000000);
− de totale bestelkosten (
);
− de kosten voor opslag: bij deze fabrikant 60q.
Hierin is q de bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per bestelling (in
euro’s).
152pFormules en vergelijkingen opstellen 2p
Leg uit, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, waarom de totale
bestelkosten gelijk zijn aan
.
De fabrikant berekent de totale jaarlijkse kosten TK in euro’s dus met de
volgende formule:
(formule 1)
In plaats van alle 27 000 motorblokken voor een heel jaar in 1 keer te
bestellen kan de fabrikant er ook voor kiezen om ze in 10 keer te
bestellen.
164pRekenen met een gegeven formule 4p
Bereken het verschil in totale jaarlijkse kosten tussen deze twee
mogelijkheden als de bestelkosten per bestelling 1800 euro zijn.
Er is een bepaalde bestelhoeveelheid waarbij de totale jaarlijkse kosten
minimaal zijn: dit is de zogenaamde optimale bestelhoeveelheid. Deze
kan berekend worden met de volgende formule:
Hierin is q de optimale bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per
bestelling in euro’s.
De fabrikant wil de totale jaarlijkse kosten minimaliseren en bestelt dus de
optimale bestelhoeveelheid.
opgave 5Sprinten met rugwind
Op 16 augustus 2009 verbrak Usain Bolt op de wereldkampioenschappen
atletiek in Berlijn het wereldrecord op de 100 meter sprint door een tijd te
lopen van 9,58 seconden. Het wereldrecord van de vorige
wereldrecordhouder, Asafa Powell, was 9,74 seconden.
Stel dat Bolt en Powell bovengenoemde tijden met constante snelheid in
dezelfde race hadden gelopen.
193pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel meter Powell dan nog te gaan had op het moment dat
Bolt finishte. Geef je antwoord in twee decimalen.
De tijd die een sprinter loopt, hangt ook af van de wind die tijdens de
sprint waait. Bij rugwind krijgt de sprinter als het ware een duwtje in de
rug en zal hij een snellere tijd lopen. De Engelse wiskundige Barrow heeft
voor het geval van rugwind de volgende formule afgeleid:
Hierin is M de tijd (in seconden) die gelopen wordt met
rugwindsnelheid W (in meters per seconde) en Z de tijd (in seconden) die
gelopen wordt zonder wind.
Een geregistreerde tijd mag alleen als record tellen als de
rugwindsnelheid niet groter is dan 2,0 meter per seconde. Toen Bolt in
Berlijn zijn wereldrecord van 9,58 seconden liep, was de rugwindsnelheid
0,9 meter per seconde.
opgave 6AOW-uitkering1)
Alle inwoners van Nederland ontvangen op basis van de Algemene
Ouderdomswet (AOW) vanaf een bepaalde leeftijd (de AOW-leeftijd) een
uitkering van de overheid: de AOW-uitkering. Tot en met 2012 was de
AOW-leeftijd 65 jaar. Wanneer iemand de AOW-leeftijd heeft bereikt,
noemt men hem of haar AOW-gerechtigd. In deze opgave nemen we aan
dat iedere AOW-gerechtigde dezelfde AOW-uitkering ontvangt. In 2012
was deze uitkering 10 980 euro per persoon per jaar.
Het aantal ouderen in Nederland neemt toe. Als de Algemene
Ouderdomswet niet verandert, zal het jaarlijkse totaalbedrag aan
AOW-uitkeringen toenemen. Daarom wordt de AOW-leeftijd sinds 2013
met stappen verhoogd. Iemand stelt voor om bovendien de AOW-uitkering
per persoon te verlagen, zodat het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in
2023 hetzelfde is als het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2012. Om
de hoogte van deze nieuwe AOW-uitkering te berekenen, nemen we het
volgende aan:
− Het aantal inwoners is gedurende elk jaar constant.
− In 2012 was dit aantal inwoners 16,7 miljoen.
− Sinds 2012 neemt het aantal inwoners elk jaar toe met 0,44%.
Verder nemen we aan:
− Het aantal AOW-gerechtigden is gedurende elk jaar een constant
percentage van het aantal inwoners van Nederland.
− In 2012 was dit percentage 16,2%.
− In 2023 is dit percentage 17,7%.
216pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p · Exponentiële functies en groei 2p
Onderzoek hoe hoog de AOW-uitkering per persoon in 2023 moet zijn,
zodat het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2023 hetzelfde is als het
totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2012.
noot 1 Deze gehele opgave is gebaseerd op gegevens zoals die in 2016 bekend waren.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
