bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 × 2 kruistabel − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Portieprijs
Veel restaurants kopen niet-schoongemaakte vis in en maken deze vis
zelf schoon. Kop, ingewanden, huid en graten worden dan verwijderd.
Van vis die is ingekocht, komt dus in het restaurant maar een deel van het
oorspronkelijke gewicht op tafel.
Op een website voor koks staat de onderstaande tabel. In de kolom
vuilprijs kan de prijs van de niet-schoongemaakte vis (in euro per kg)
ingevuld worden. Daarna wordt automatisch de schoonprijs, de prijs van
de schoongemaakte vis (in euro per kg), uitgerekend door de vuilprijs te
vermenigvuldigen met het vaste getal dat in de kolom ‘factor’ staat.
tabel Berekening portieprijs vis
In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat schoongemaakte forel per kg
2,3 keer zo duur is als niet-schoongemaakte forel. In de kolom ‘portie’ kan
vervolgens de grootte per portie (in gram), die men op het bord aan de
gast wil uitserveren, aangepast worden, waarna automatisch de prijs per
portie verschijnt in de laatste kolom ‘portieprijs’. De portieprijs is dus de
schoonprijs per portie op het bord, zonder naar de overige kosten te
kijken.
Sven is kok in een restaurant. Hij koopt een hele niet-schoongemaakte
kabeljauw van 4 kg in voor € 55,00.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de portieprijs voor een portie kabeljauw van 200 gram.
Sven wil in zijn restaurant zalm serveren in porties van 250 gram met een
portieprijs van maximaal € 5,00. Hij heeft tijdens het inkopen bij de
vishandel een hele niet-schoongemaakte zalm van 6 kg op het oog.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken wat Sven maximaal voor deze vis wil betalen.
Sven zet als hoofdgerecht 300 gram tong op de menukaart voor € 23,00.
De getoonde prijzen op de menukaart zijn altijd inclusief € 2,00 voor de
bijgerechten, zoals groenten, rauwkost, aardappelvariaties en sauzen.
Het verschil tussen wat de gast betaalt per gram vis en de kosten voor
deze vis per gram voor het restaurant (de schoonprijs in euro per gram),
noemen we de verdiensten per gram. Hierbij laten we alle overige kosten
buiten beschouwing.
Gebruik in deze vraag de schoonprijzen voor tong en tonijn uit de tabel.
36pProcenten, verhoudingen en eenheden 6p
Onderzoek voor welke prijs Sven het hoofdgerecht 250 gram tonijn op de
menukaart moet zetten om per gram minstens evenveel te verdienen op
de tonijn als op de tong.
Bij de tabel passen de volgende formules:
S = a ⋅V en
.
Hierin is S de schoonprijs (in €/kg), a de factor, V de vuilprijs (in €/kg),
g de portiegrootte (in gram) en P de portieprijs (in €).
Neem aan dat in de volgende vraag a en g constant zijn.
43pEvenredigheden en machtsverbanden 3p
Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, met behulp van
bovenstaande formules of de portieprijs twee keer zo groot wordt als de
vuilprijs twee keer zo groot wordt.
Als een vis is schoongemaakt, wordt deze in porties verdeeld.
We noemen G het gewicht (in kg) van de niet-schoongemaakte vis. Dan
geldt voor het aantal porties A:
Hierin is a weer de factor en g weer de portiegrootte (in gram).
Sven wil per vissoort en per portiegrootte een formule van de vorm
G =.... ⋅ A, zodat hij snel bij een bepaald aantal porties kan uitrekenen
hoeveel kg niet-schoongemaakte vis hij moet inkopen.
53pFormules herleiden en omwerken 3p
Herleid voor porties schol van 150 gram de formule voor A tot de vorm
G =.... ⋅ A. Geef het getal dat op de puntjes staat in twee decimalen.
opgave 2Extreem hoogwater
Langs de Nederlandse kust wordt dagelijks op verschillende plaatsen en
op verschillende momenten de waterstand gemeten. Op het moment dat
de waterstand op een bepaalde plaats niet verder meer toeneemt, is er op
die plaats sprake van hoogwater. De waterstand die op dat moment
gemeten wordt, noemen we de hoogwaterstand. Extreme
hoogwaterstanden zijn een gevolg van bijvoorbeeld een zware storm.
Men heeft gedurende een lange periode de hoogwaterstanden
geregistreerd en daarbij onder andere gekeken naar het aantal keer dat
de hoogwaterstand hoger is dan een bepaalde waterhoogte W (in meter
boven NAP1)). Dit wordt de overschrijdingsfrequentie f genoemd; deze
frequentie wordt uitgedrukt in aantal keer per 10 000 jaar. Er blijkt een
exponentieel verband te bestaan tussen de overschrijdingsfrequentie f en
de waterhoogte W.
figuur
In de figuur is voor de plaatsen Hoek van Holland (HvH) en
Vlissingen (VL) de zogenaamde overschrijdingsfrequentielijn getekend.
De overschrijdingsfrequentie f is uitgezet tegen de waterhoogte W. De
verticale as heeft een logaritmische schaalverdeling. De figuur staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
Je kunt in de figuur aflezen dat in Hoek van Holland de hoogwaterstand
gemiddeld 600 keer per 10 000 jaar hoger is dan 3 meter boven NAP en
gemiddeld 1 keer per 10 000 jaar hoger is dan 5 meter boven NAP.
Met behulp van de overschrijdingsfrequentie kun je schatten hoeveel keer
een bepaalde hoogwaterstand in de toekomst zal worden overschreden.
62pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Geef op deze wijze een schatting van het aantal keer per 100 jaar dat de
hoogwaterstand in Vlissingen hoger zal zijn dan 4 meter boven NAP. Licht
je antwoord toe.
noot 1 NAP = Normaal Amsterdams Peil
Bij de rechte lijnen in de figuur horen formules van de vorm f = b ⋅ gW.
De grafiek van Hoek van Holland gaat door de punten
en
.
Hieruit volgt voor Hoek van Holland het volgende verband tussen de
waterhoogte W en de overschrijdingsfrequentie f:
f = 8,8 ⋅106 ⋅ 0,041W
Hierin is de groeifactor in drie decimalen gegeven.
73pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met behulp van beide gegeven punten de groeifactor in vier
decimalen.
In de figuur kun je zien: hoe hoger de waterhoogte W, hoe lager de
overschrijdingsfrequentie f. Om de overschrijdingsfrequentie te halveren,
moet de waterhoogte dus hoger worden.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Onderzoek voor Hoek van Holland hoeveel hoger de waterhoogte moet
worden om de overschrijdingsfrequentie te halveren. Geef je antwoord in
meter en in één decimaal.
In de figuur is de overschrijdingsfrequentie van Vlissingen bij elke
waterhoogte groter dan die van Hoek van Holland.
Er is een waterhoogte waarbij de overschrijdingsfrequentie in Vlissingen
10 keer zo groot is als die in Hoek van Holland.
93puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welke
waterhoogte dit het geval is. Licht je werkwijze toe en geef je antwoord in
meter en in één decimaal.
opgave 3Schooltevredenheidsonderzoeken
Veel scholen doen mee met jaarlijkse schooltevredenheidsonderzoeken.
De tevredenheid ten aanzien van verschillende onderwerpen wordt
gemeten door per onderwerp aan de hand van een vragenlijst een aantal
vragen te stellen. De antwoorden worden per onderwerp omgezet in een
score waarbij geldt: hoe hoger de score, hoe groter de tevredenheid.
Er zijn 265 scholen die zowel in 2017 als in 2018 aan een bepaald
schooltevredenheidsonderzoek hebben meegedaan. Een van deze
scholen is Het Gelder.
In 2018 hebben op Het Gelder 674 leerlingen de vragenlijst ingevuld. Zij
vormden een aselecte en representatieve steekproef uit de gehele
leerlingenpopulatie van Het Gelder. De school kreeg van deze leerlingen
een gemiddelde score van 7,24 op het onderwerp ‘begeleiding’.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde score van alle
leerlingen van Het Gelder op het onderwerp ‘begeleiding’ was [7,13; 7,35].
104pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Statistische uitspraken en groepen vergelijken 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de standaardafwijking die bij deze steekproef hoort op dit
onderwerp. Geef je antwoord in drie decimalen.
In tabel 1 vind je de schoolscore van Het Gelder, de gemiddelde
score van de 265 scholen en de ranking van Het Gelder op een aantal
onderwerpen voor zowel 2017 als 2018. De ranking van Het Gelder is de
plaats van deze school in de complete lijst van alle 265 scholen, waarbij
de scholen van hoge naar lage score zijn gerangschikt.
tabel 1
2017 2018 onderwerp Het Gelder alle 265 scholen ranking Het Gelder alle 265 scholen ranking begeleiding 7,25 7,11 59 7,24 7,04 50 didactisch handelen 6,72 6,60 97 6,65 6,54 90 pedagogisch klimaat 6,50 6,36 9 6,40 6,19 7 huiswerk 6,37 6,01 4 6,10 5,79 3 activiteiten 7,71 7,79 109 7,68 7,75 105
In tabel 1 kun je zien dat Het Gelder in 2018 op het onderwerp ‘huiswerk’
een schoolscore heeft van 6,10, terwijl de gemiddelde score van de
265 scholen slechts 5,79 is. Daarmee staat Het Gelder op plaats 3 bij het
onderwerp ‘huiswerk’. Er zijn dus slechts 2 scholen met een nog grotere
tevredenheid over het onderwerp ‘huiswerk’ dan Het Gelder.
De leerlingenraad van Het Gelder beweert op basis van tabel 1 dat de
tevredenheid op alle in tabel 1 genoemde onderwerpen in 2018 kleiner is
dan in 2017. De schoolleiding van Het Gelder beweert op basis van
tabel 1 dat ze in 2018 juist op alle in tabel 1 genoemde onderwerpen een
grotere schooltevredenheid ziet in vergelijking met 2017.
112pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Geef voor beide beweringen een argument.
Als we van alle 265 schoolscores in 2018 op het onderwerp ‘activiteiten’
een verdeling zouden maken, dan zou dit geen normale verdeling
opleveren. Dit kun je beredeneren aan de hand van de waarden van de
schoolscore van Het Gelder, de gemiddelde score van de 265 scholen en
de ranking van Het Gelder uit tabel 1.
123pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Geef deze redenering.
Niet alleen bij leerlingen wordt de schooltevredenheid gemeten, maar ook
bij de ouders. Zij krijgen een andere vragenlijst, maar deze lijst bevat ook
een aantal stellingen die aan de leerlingen zijn voorgelegd.
Een van deze stellingen is de stelling “Ik zou weer voor deze school
kiezen”. In tabel 2 zie je voor deze stelling de resultaten uit 2018 van de
674 leerlingen en de 450 ouders van Het Gelder die de vragenlijst hebben
ingevuld.
tabel 2
133pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of bij deze stelling het verschil
tussen de leerlingen en de ouders groot, middelmatig of gering is.
In tabel 3 staat een andere stelling. Je ziet in tabel 3 de resultaten van
een andere school, Het Drentsch College. Deze stelling is in 2018 op die
school door 700 leerlingen en 500 ouders beantwoord.
tabel 3
stelling: “De schoolregels zijn duidelijk”
Met behulp van het formuleblad kun je nagaan dat het verschil tussen de
leerlingen en de ouders bij deze stelling gering is.
Als er meer ouders hadden gekozen voor ‘zowel eens als oneens’ in
plaats van ‘eens’, dan zou het verschil tussen de leerlingen en de ouders
groter zijn.
opgave 4Museumcijfers
Ieder jaar worden er cijfers gepubliceerd over de museumsector in
Nederland. In deze opgave bekijken we een aantal van deze
museumcijfers.
In tabel 1 staan voor 1 januari 2016 per provincie het aantal musea en het
aantal inwoners.
tabel 1
aantal musea aantal inwoners museumdichtheid Groningen 17 583 721 Friesland 26 646 040 4,02 Drenthe 12 488 629 2,46 Overijssel 26 1 144 280 2,27 Flevoland 4 404 068 0,99 Gelderland 52 2 035 351 2,55 Utrecht 28 1 273 613 2,20 Noord-Holland 91 2 784 854 3,27 Zuid-Holland 78 3 622 303 2,15 Zeeland 16 381 252 4,20 Noord-Brabant 41 2 498 749 1,64 Limburg 29 1 116 260 2,60 Nederland 420 16 979 120 2,47
In de laatste kolom van deze tabel staat de zogenoemde
museumdichtheid per provincie. Dit is het aantal musea per 100 000
inwoners.
De museumdichtheid van de provincie Groningen ontbreekt in de tabel.
153pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Onderzoek of de museumdichtheid van Groningen hoger of lager is dan
de museumdichtheid van heel Nederland.
De provincie Flevoland heeft de laagste museumdichtheid van alle
provincies.
163pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Onderzoek hoeveel musea Flevoland er minstens bij zou moeten hebben
om een museumdichtheid in deze provincie te hebben die hoger is
dan 2,47.
De Museumkaart is een persoonsgebonden kaart die een jaar lang
onbeperkt toegang geeft tot ongeveer 400 musea in heel Nederland. Het
aantal Museumkaarthouders is in de periode 2011-2016 sterk gegroeid. In
tabel 2 staan de aantallen Museumkaarthouders op 1 januari 2011 en op
1 januari 2016. Neem aan dat de groei in deze periode lineair was.
tabel 2
174pLineaire functies 4p
Bereken, uitgaande van dezelfde lineaire groei in de daaropvolgende
jaren, in welk jaar er voor het eerst meer dan 2 miljoen
Museumkaarthouders zullen zijn.
In het jaar 2011 was de Museumkaart goed voor 4,2 miljoen
museumbezoeken. Dat was 20% van het totaal aantal museumbezoeken
in 2011. In het jaar 2016 was de Museumkaart goed voor 8,5 miljoen
museumbezoeken. Dat was toen 26% van het totaal aantal
museumbezoeken.
184pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken met hoeveel procent het totaal aantal museumbezoeken is
gestegen in de periode 2011-2016. Geef je antwoord in hele procenten.
De totale inkomsten van de Nederlandse musea bestaan uit eigen
inkomsten en inkomsten uit subsidies.
De inkomsten uit subsidies daalden in de periode 2011-2016 tot een
bedrag van 508 miljoen euro. Twee mogelijke manieren waarop deze
daling zou kunnen zijn verlopen, zijn:
1 elk jaar met een vast bedrag
2 elk jaar met een vast percentage
194pRedeneren en uitleggen in de context 2p · Lineaire functies 1p · Exponentiële functies en groei 1p
Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, bij welke van de
twee bovenstaande manieren de musea in het jaar 2014 het grootste
bedrag aan subsidies hebben ontvangen.
In 2016 zijn de inkomsten uit subsidies S (508 miljoen euro) bijna gelijk
aan de eigen inkomsten E (516 miljoen euro).
Voor de periode na 2016 wordt voorspeld dat de inkomsten uit subsidies
jaarlijks met 1% zullen afnemen. Ook wordt voorspeld dat de eigen
inkomsten na 2016 jaarlijks met 40 miljoen euro zullen stijgen. Hierbij
kunnen de volgende formules worden opgesteld:
S = 508 ⋅ 0,99t
E = 516 + 40 ⋅ t
Hierin zijn S en E in miljoenen euro en is t het aantal jaren na 2016.
Er komt een moment waarop de inkomsten uit subsidies minder dan 25%
van de totale inkomsten zullen vormen.
opgave 5Harderwijk-Roosendaal
Iedere twee weken rijdt Aimee op zaterdag met haar auto van Harderwijk
naar Roosendaal om haar ouders te bezoeken. Ze kent de 144 km lange
route van Harderwijk naar Roosendaal goed, maar toch gebruikt ze een
navigatiesysteem voor onder andere de file-informatie en de verwachte
aankomsttijd.
Je ziet een foto van haar navigatiesysteem. De foto is genomen om
12:24 uur. Op dat moment is de verwachte aankomsttijd 13:41 uur en de
te verwachten reistijd 1:17 uur. Ze moet nog 138 km rijden.
foto
Op de uitwerkbijlage zie je van vijf ritten van Harderwijk naar Roosendaal
de gegevens van haar navigatiesysteem op vijf verschillende tijdstippen
met hierin het tijdstip van vertrek (V), het tijdstip van aankomst (A) en drie
tussenliggende tijdstippen.
Elke keer als Aimee bij haar ouders aankomt, vertelt ze kort over haar
autorit naar Roosendaal. Hieronder zie je vijf zinnen uit de vijf verhalen
die ze heeft verteld bij aankomst.
A: Ik heb even stilgestaan.
B: Ik heb een tijdje harder dan 120 km/uur gereden.
C: Ik heb de tweede helft van de route in minder tijd afgelegd dan de
eerste helft.
D: Ik heb gemiddeld 90 km/uur gereden van Harderwijk naar Roosendaal.
E: Ik heb omgereden.
Veronderstel dat bij elke rit precies één zin hoort en bij elke zin precies
één rit. Dan kun je op basis van de gegevens elke zin met zekerheid
koppelen aan een specifieke rit.
