bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Lichaamslengte
We bekijken een wiskundig model dat het verband geeft tussen de leeftijd
van Nederlandse jongens en hun (gemiddelde) lengte op die leeftijd.
Dit model gaat uit van drie fases: de kleutertijd (0-3 jaar), de kindertijd
(3-10 jaar) en de puberteit (vanaf 10 jaar). Zie de figuur.
figuur lengte jongens
Tijdens de kindertijd neemt de lengte nagenoeg lineair toe. Je kunt dus
voor de kindertijd een formule geven waarbij je de lengte L (in centimeter)
uitdrukt in de leeftijd t (in jaren).
14pLineaire functies 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Stel deze formule op. Geef de getallen in je formule in één decimaal.
In de puberteit verloopt de groei niet meer lineair. De lengte van
Nederlandse jongens in de puberteit kan worden beschreven met de
formule:
Hierin is t de leeftijd in jaren en Lj de lengte in centimeters.
Rond het negentiende levensjaar, aan het eind van de puberteit, is een
jongen bijna uitgegroeid. De formule is echter ook te gebruiken voor de
jaren na de puberteit.
24pRekenen met een gegeven formule 4p
Bereken hoeveel centimeter jongens volgens de formule nog groeien
vanaf de dag dat ze 19 jaar worden. Geef je antwoord in één decimaal.
Er is ook een wiskundig model voor de lengte van Nederlandse meisjes in
de puberteit:
Hierin is t de leeftijd in jaren en Lm de lengte in centimeters.
Het is bekend dat meisjes in de eerste jaren van de puberteit gemiddeld
genomen langer zijn dan jongens. Ergens tussen de tiende en dertiende
verjaardag is het verschil in lengte tussen jongens en meisjes maximaal.
opgave 2Veiligheidsmonitor
Hoe ervaren Nederlanders de leefbaarheid van hun woonomgeving?
Voelen zij zich er veilig? Hoe vaak zijn ze slachtoffer van criminaliteit en
wat vinden ze van het functioneren van de politie? Op dit soort vragen
geeft de Veiligheidsmonitor antwoord. De Veiligheidsmonitor is een
enquête onder de Nederlandse bevolking, die jaarlijks wordt afgenomen
door middel van een representatieve steekproef. In 2015 waren er
111 000 respondenten.
In tabel 1 staat welk percentage in de steekproef het (helemaal) eens was
met bepaalde stellingen.
tabel 1
(helemaal) eens In de buurt is het buiten goed verlicht. 76% In de buurt zijn wegen, paden en pleintjes goed onderhouden. 69% In de buurt zijn perken, plantsoenen en parken goed onderhouden. 67% In de buurt zijn goede speelplekken voor kinderen. 62% In de buurt zijn goede voorzieningen voor jongeren. 26%
Met bovenstaande gegevens kun je het 95%-betrouwbaarheidsinterval
berekenen voor de proportie van de populatie die het (helemaal) eens is
met de stelling dat er in de buurt goede voorzieningen zijn voor jongeren.
43pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Bereken dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Geef je antwoord in drie
decimalen.
De respondenten hebben een rapportcijfer gegeven voor de leefbaarheid
van hun woonomgeving. De resultaten staan in tabel 2, uitgesplitst naar
geslacht en naar herkomst. Hierin staan het gemiddelde rapportcijfer dat
elke groep heeft gegeven en de bijbehorende marge. Deze marge is gelijk
aan
, waarin
S de standaardafwijking van de gegeven rapportcijfers
binnen de betreffende groep is en n de omvang van die groep in de
steekproef.
tabel 2
Doordat alle groepen behoorlijk groot zijn, is de bijbehorende marge
telkens heel klein. In tabel 2 zie je dat voor elke groep de marge, afgerond
op één decimaal, gelijk is aan 0,0.
Neem aan dat de helft van de respondenten man was.
62pCentrum, spreiding en verdelingen 2p
Geef hiervan de oorzaak.
De respondenten gaven ook aan of zij wel of geen sociale overlast
ervaren. Denk hierbij bijvoorbeeld aan overlast door dronken mensen op
straat, drugsgebruik of rondhangende jongeren. De resultaten zijn in
tabel 3 in vijf groepen uitgesplitst naar de mate van stedelijkheid van de
woonplaats van de respondenten.
tabel 3
We bekijken nu de groep respondenten van wie de woonplaats zeer sterk
stedelijk is en de groep respondenten van wie de woonplaats niet stedelijk
is.
Tussen deze twee groepen is er verschil in het wel of niet ervaren van
sociale overlast.
opgave 3Verdubbelingstijd van geld
In plaats van geld sparen, kun je ook geld beleggen. Dit brengt wel een
risico met zich mee: het kan niet alleen winst opleveren, maar ook verlies.
Iemand stort eenmalig een bedrag in een beleggingsfonds. We gaan er in
deze opgave van uit dat dit bedrag exponentieel groeit. Het percentage
waarmee het bedrag jaarlijks groeit is het rendement.
83pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de verdubbelingstijd in jaren als het rendement gelijk is
aan 1,5%. Geef je antwoord in twee decimalen.
In de tabel staat de verdubbelingstijd V in jaren voor enkele
rendementen P in procenten.
tabel
Het lukt Jan niet om de verdubbelingstijd bij een rendement van 2,9%
precies te berekenen. Hij besluit gebruik te maken van lineair interpoleren
en de waarden in de tabel. Zo zal hij een benadering van de
verdubbelingstijd vinden.
94pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Bereken de benadering van de verdubbelingstijd in jaren die hij op deze
manier vindt. Geef je antwoord in twee decimalen.
Jans benadering van de verdubbelingstijd bij een rendement van 2,9%
komt hoger uit dan de precieze verdubbelingstijd. Ook bij elk ander
rendement kom je met lineaire interpolatie hoger uit.
112pEvenredigheden en machtsverbanden 2p
Toon aan dat er inderdaad niet precies sprake is van een omgekeerd
evenredig verband.
In het boek Mijn vermogen van de Consumentenbond staat een
eenvoudige vuistregel om de verdubbelingstijd bij een gegeven
rendement te schatten:
Het verschil tussen de verdubbelingstijd uit de tabel en de
verdubbelingstijd volgens de vuistregel blijkt niet zo heel groot te zijn.
123pRekenen met een gegeven formule 1p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken bij een rendement van 3,0% het verschil tussen de
verdubbelingstijd uit de tabel en die volgens de vuistregel. Geef je
antwoord in gehele maanden.
Met de vuistregel in het kader boven vraag 12 kun je de verdubbelingstijd
schatten bij een gegeven rendement. Sommige mensen willen een
vuistregel hebben om het omgekeerde te doen: zij willen weten welk
rendement nodig is bij een gegeven verdubbelingstijd.
opgave 4Online dating met wiskunde
Sommige mensen proberen een nieuwe relatie te vinden door gebruik te
maken van een datingsite. Veel datingsites gebruiken wiskundige
technieken om te bepalen in hoeverre twee personen bij elkaar passen.
Daarvoor moeten de deelnemers vragenlijsten invullen. Hierin geven zij
hun wensen aan, verdeeld over verschillende onderwerpen zoals
opleidingsniveau, leeftijd en rookgedrag van de partner.
Voor elk van de verschillende onderwerpen wordt een score berekend. De
score op een onderwerp noemt men de aantrekkingskracht op dit
onderwerp. Deze score is minimaal 0 (geen aantrekkingskracht) en
maximaal 10 (maximale aantrekkingskracht); het hoeft geen geheel getal
te zijn.
Om de aantrekkingskracht op het onderwerp ‘leeftijd’ te berekenen wordt
formule 1 gebruikt voor personen die het liefst een even oude partner
hebben:
Hierin is A de aantrekkingskracht op het onderwerp ‘leeftijd’, L het
leeftijdsverschil in jaren en c een positief getal dat afhangt van hoe
vervelend iemand het vindt als de partner toch wat in leeftijd verschilt.
Elsemieke van 35 jaar heeft het liefst een even oude partner. Voor haar
geldt c = 0,02. Elsemieke heeft de keuze uit twee mogelijke partners: een
partner van 32 jaar en een partner van 37 jaar. Je kunt nu voor Elsemieke
het verschil berekenen in aantrekkingskracht op het onderwerp ‘leeftijd’
tussen deze twee mogelijke partners.
143pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken dit verschil. Geef je antwoord in één decimaal.
Voor Madeleine, die ook het liefst een partner heeft die even oud is, geldt
c = 0,03, dus
Naarmate het leeftijdsverschil groter wordt, wordt voor Madeleine de
aantrekkingskracht op het onderwerp ‘leeftijd’ kleiner. Je kunt
beredeneren dat formule 2 daarmee in overeenstemming is.
153pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Geef deze redenering zonder getallen in te vullen of een schets/tekening
van de grafiek van A te maken.
Voor Madeleine is het verband tussen L en A niet exponentieel.
163pExponentiële functies en groei 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Laat dit met berekeningen zien.
Harry heeft zich ingeschreven bij datingsite MatchingMe. Deze site
gebruikt de aantrekkingskracht op tien onderwerpen (zoals ‘leeftijd’ en
‘rookgedrag’) om voor elke mogelijke partner één eindscore te berekenen.
Hoe hoger de eindscore, hoe aantrekkelijker de persoon in zijn geheel
wordt gevonden.
MatchingMe twijfelt tussen twee formules om de eindscore E te
berekenen:
(formule 3)
Hierin zijn
tot en met
de aantrekkingskrachten op de tien
onderwerpen.
Harry ziet Bianca op MatchingMe. Haar leeftijd vindt hij perfect, omdat zij
even oud is als hij. Maar Bianca rookt en dat vindt hij erg onaantrekkelijk.
De aantrekkingskracht op het onderwerp ‘rookgedrag’ is daarom 0.
Bij het gebruik van een van de twee formules zal blijken dat Bianca zeker
geen geschikte partner voor Harry is.
173pRekenen met een gegeven formule 3p
Bij welke van de twee formules is dat het geval? Licht je antwoord toe met
een berekening.
In de tabel zie je hoe voor Harry de aantrekkingskracht van twee andere
vrouwen, Lizette en Sarah, op elk van de tien onderwerpen is. Ook zie je
de standaardafwijking van de scores van Lizette.
tabel
Neem aan dat MatchingMe formule 4 gebruikt om de eindscore E te
bepalen.
opgave 5Bevolkingsgroei
De afgelopen eeuwen is het aantal mensen op aarde sterk toegenomen.
Sinds enkele decennia is deze toename aan het afnemen.
Een mogelijke verklaring voor het afnemen van de toename is het feit dat
het gemiddelde aantal kinderen per vrouw in de loop der tijd kleiner is
geworden. Zo kregen vrouwen in 1965 gedurende hun leven gemiddeld
5,0 kinderen, in 2018 was dat aantal afgenomen tot 2,4 kinderen.
Neem aan dat in de periode 1965-2018 het gemiddelde aantal kinderen
per vrouw afnam volgens een exponentieel verband en dat die afname
zich daarna op dezelfde wijze voortzet.
194pExponentiële functies en groei 4p
Bereken het gemiddelde aantal kinderen per vrouw in 2035. Geef je
antwoord in één decimaal.
In figuur 1 zie je de groei van de wereldbevolking sinds 1950 en een
voorspelling voor de rest van de eenentwintigste eeuw.
figuur 1
In figuur 2 zie je het jaarlijkse aantal geboorten wereldwijd, inclusief een
voorspelling tot 2050.
figuur 2
Hoewel de wereldbevolking toeneemt, is het jaarlijks aantal geboorten de
afgelopen jaren redelijk stabiel. Het geboortecijfer, het aantal geboorten
per jaar per 1000 mensen, neemt dus af.
De figuren 1 en 2 staan vergroot op de uitwerkbijlage.
203puitwerkbijlageProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van de figuren op de uitwerkbijlage hoe groot het
geboortecijfer in het jaar 2020 was. Geef je antwoord als een geheel
getal.
Het sterftecijfer is het aantal overledenen per jaar per 1000 mensen.
De sterke bevolkingsgroei van de afgelopen 100 jaar kan verklaard
worden door het feit dat mensen langer zijn gaan leven door verbeterde
levensomstandigheden. Hierdoor is het sterftecijfer gedaald, waardoor er
minder mensen stierven dan er geboren werden.
Men verwacht echter over een aantal jaren wel weer een lichte toename
van het sterftecijfer. In de tabel zie je voor de jaren 2060 en 2080 de
verwachte geboortecijfers en sterftecijfers.
tabel
Neem aan dat het geboortecijfer vanaf 2060 lineair afneemt en het
sterftecijfer vanaf 2060 lineair toeneemt.
opgave 6Regenpijpen: dunne of dikke?
Regenwater dat op een dak valt, komt in de dakgoot terecht en daarna in
verticale regenpijpen. Zie figuur 1.
figuur 1
Ook bij hevige regenval moet het water goed afgevoerd kunnen worden.
Je kunt daarvoor bijvoorbeeld meerdere regenpijpen plaatsen en/of kiezen
voor dikkere regenpijpen.
Om te berekenen hoe groot de hoeveelheid regen is die de regenpijpen
per dakdeel moeten kunnen afvoeren, gebruikt men de volgende formule:
Hierin is H de hoeveelheid af te voeren regen in liters/minuut,
A de oppervlakte van het dakdeel in m2 en f een factor die afhangt van de
hellingshoek van het dakdeel.
In de tabel staat de factor f voor verschillende hellingshoeken.
tabel
Boer Pietersma heeft een schuur gebouwd met afmetingen zoals
aangegeven in figuur 2. De twee dakdelen, met hellingshoeken van 70°
en 30°, zijn rechthoekig van vorm. De dikke verticale lijnstukken stellen
regenpijpen voor, maar het ligt nog niet vast hoeveel regenpijpen er
moeten komen. De grijze lijnstukken zijn de dakgoten.
figuur 2 voorbeeld met 2 regenpijpen links en 3 regenpijpen rechts
Pietersma moet kiezen voor ofwel allemaal dunne regenpijpen ofwel
allemaal dikke regenpijpen. De dunne pijpen hebben een diameter van
70 mm, de dikke hebben een diameter van 100 mm. Een dunne pijp kost
€ 9 per meter, een dikke kost € 13 per meter.
Je kunt uitrekenen hoeveel water één regenpijp per minuut kan afvoeren.
Deze hoeveelheid water heet de capaciteit van de regenpijp. De dikke
pijpen hebben uiteraard een grotere capaciteit dan de dunne. Je kunt de
capaciteit van een pijp berekenen met de volgende formule:
C = 0,02 ⋅ D2
Hierin is D de diameter (in mm) en C de capaciteit (in liters/minuut).
Er is nog een voorschrift waarmee rekening gehouden moet worden. Om
het regenwater via de dakgoot snel genoeg af te kunnen voeren, zijn er
eisen aan het minimale aantal regenpijpen:
− Bij gebruik van dunne pijpen geldt: voor elke 10 m dakgoot moet
minimaal één pijp worden aangesloten.
− Bij gebruik van dikke pijpen geldt: voor elke 20 m dakgoot moet
minimaal één pijp worden aangesloten.
Pietersma houdt zich aan de genoemde voorschriften en wil regenpijpen
kiezen die zorgen voor de laagste kosten: ofwel allemaal dunne ofwel
allemaal dikke.
229pProcenten, verhoudingen en eenheden 5p · Rekenen met een gegeven formule 4p
Onderzoek welk type pijp Pietersma dan moet kiezen: het dunne type of
het dikke type.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
