bronnen

Eindexamen wiskunde C vwo 2014, tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde en het gemiddelde X van de Binomiale Voor de…

OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde en het gemiddelde X van de Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log a − log b = log b   g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g  

opgave 1De Palio van Siena

De Palio is een paardenrace die sinds 1287 gehouden wordt in het
centrum van Siena, in de Italiaanse regio Toscane. De race vindt
tweemaal per jaar plaats: op 2 juli en op 16 augustus.
figuur bij de opgave
Het is een erg korte race. De drie rondjes om het centrale plein in Siena,
de Piazza del Campo, worden afgelegd in minder dan anderhalve minuut.
De Piazza Del Campo is schelpvormig. Een rondje om dit plein heeft een
lengte van 339 meter. De snelst gelopen tijd over de race van drie rondjes
is 1 minuut en 13 seconden.
13p
Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur van het snelste paard tijdens
deze race.
De race gaat tussen de 17 wijken die binnen de stadsmuren van Siena
liggen. Elk van deze wijken vaardigt een deelnemer af, maar de Palio
biedt slechts plaats aan 10 deelnemers. Er moet dus een selectie
gemaakt worden uit de 17 wijken.
23p
Bereken hoeveel verschillende combinaties van 10 wijken er mogelijk zijn.
Deelnemen aan de Palio is voor de wijken erg belangrijk.
Zeven wijken zijn verzekerd van een plaats omdat ze niet deelnamen aan
de vorige editie. De overige drie worden door middel van loting geplaatst;
de kans om op deze manier ingeloot te worden is (3)/(10).
Een wijk doet in een zeker jaar in juli mee aan de Palio. Op de
uitwerkbijlage staat het begin van een boomdiagram met de
mogelijkheden voor de volgende drie keer.
35puitwerkbijlage
Bereken de kans dat deze wijk van de volgende drie keer ten minste twee
keer mee mag doen. Hierbij kun je gebruikmaken van het boomdiagram
op de uitwerkbijlage.
Aan de vooravond van de Palio van juli 2003 verzuchtte de toen 92-jarige
Egidio Mecacci dat het onrechtvaardig was dat zijn wijk, Civetta, al zo
lang niet gewonnen had.
Neem aan dat de winstkans voor elke wijk steeds (1)/(17) is, aangezien de
paarden steeds door loting aan een wijk worden toegewezen.
Egidio Mecacci is in september 2009 overleden. Als de dag van zijn
overlijden in juni 2003 bekend was geweest, kunnen we berekenen hoe
groot de kans is dat hij nog mocht meemaken dat Civetta de Palio wint.
44p
Bereken de kans dat Egidio vanaf juni 2003 minstens één keer mocht
meemaken dat Civetta de Palio wint.

opgave 2Spiraalvormen

Op de foto zie je de binnenkant foto
figuur 1
van een Nautilusschelp. In deze
schelp is een bijzondere
spiraalvorm te zien. Er is een
horizontale lijn getekend vanuit het
midden van de schelp M. Die lijn
snijdt de schelpwanden in de
punten A, B en C. De afstand van
het midden tot zo’n snijpunt neemt
bij benadering steeds toe met
dezelfde groeifactor. Er geldt:
MB ≈ 3 ⋅ MA en MC ≈ 3 ⋅ MB. Deze
eigenschap geldt ook als je in een
willekeurige andere richting een lijn
vanuit het midden trekt, bijvoorbeeld de lijn waarop P, Q en R liggen. Een
spiraal met deze eigenschap heet een groeispiraal.
In figuur 1 is de groeispiraal die hoort bij de Nautilusschelp getekend in
een cirkelvormig rooster1). MC = 9, MB = 3 en MA = 1.
figuur 1
6 5 7 MM 4 A B C 8 0 3 1 2
noot 1 Wiskundig gezien loopt de spiraal in het midden steeds door, maar op den duur wordt
hij te klein om te tekenen.
We bekijken de spiraal nu van buiten naar binnen. Te beginnen bij punt C
zijn er op de spiraal punten getekend met de nummers 0 tot en met 8.
Voor het volgende punt moet je steeds een hoek van 45º verder draaien.
De afstanden van het midden M tot de punten 0, 1, 2, 3 en 4 staan in de
tabel.
tabel
punt 0 1 2 3 4 afstand tot middelpunt M 9,00 7,85 6,84 5,96 5,20
De afstanden in de tabel nemen af met een vaste groeifactor.
54p
Toon dit aan voor alle in de tabel genoemde punten en geef deze
groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
Bij een andere groeifactor hoort een andere spiraal. Op de uitwerkbijlage
zie je de punten M, T en S getekend. MS = 8 cm en MT = 4 cm. Een
groeispiraal begint in punt S en is na één winding (één keer rondgaan) in
punt T aangekomen.
66puitwerkbijlage
Teken het gedeelte van de groeispiraal tussen punt S en punt T in de
figuur op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord toe met berekeningen.
Een groeispiraal heet ook wel logaritmische spiraal. Als we de punten
uit de tabel uitzetten op roosterpapier waarvan de verticale as een
logaritmische schaal heeft, liggen deze punten op een rechte lijn. Zie lijn 1
in figuur 2.
figuur 2
10 afstand tot 9 M (in cm) 8 7 6 5 4 lijn 1 3 2 lijn 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 nummer
Lijn 1 hoort bij de spiraal van figuur 1. Bij deze lijn hoort de formule
A = 9 ⋅ 0,87n. Hierin is n het nummer van het punt en A de afstand van het
punt tot het middelpunt M. Lijn 2 (gestippeld) in figuur 2 hoort bij een
andere spiraal. Ook bij lijn 2 hoort een exponentiële groeiformule.
figuur 3
In figuur 3 zijn twee mogelijke
situaties I en II geschetst. De
volledig getekende spiraal hoort bij
lijn 1 uit figuur 2. Het gestippelde
deel is het begin van de spiraal die
hoort bij lijn 2 uit figuur 2.
I
II
73p
Leg uit met behulp van figuur 2 welke van beide situaties I of II de juiste
is en geef aan of de groeifactor in de formule die bij lijn 2 hoort groter of
kleiner dan 0,87 zal zijn.
De formule A = 9 ⋅ 0,87n van de spiraal van figuur 1 kunnen we met de
rekenregels voor logaritmen herleiden tot een formule van de vorm
log(A) = a ⋅ n + b. De eerste twee regels van deze herleiding staan
hieronder:
A = 9 ⋅ 0,87n
log(A) = log(9 ⋅ 0,87n)
84p
Maak de herleiding af en geef de waarden van a en b in twee decimalen
nauwkeurig.

opgave 3Uitslagen voorspellen

In de tijd voor Tweede Kamerverkiezingen worden allerlei onderzoeken
gedaan naar kiezersgedrag.
Media publiceren vrijwel elke dag voorspellingen gebaseerd op
onderzoek. Zo ging het ook voor de verkiezingen in juni 2010. Op 3 juni
publiceerde de krant Tubantia de persoonlijke voorspellingen van
elf lijsttrekkers over de te verwachten zetelverdeling voor de elf partijen.
Zie tabel 1. Deze tabel staat vergroot op de uitwerkbijlage.
tabel 1
  PVV SP GroenLinks Trots op NL PvdA CDA D66 VVD P.v.d.Dieren SGP ChristenUnie   s r e/d li W . G r e m e o/R . E a m es l a/H . F k nod r e V . R n/e ho C . J - n ek l e a/B dn . e P . J d l o t h ce P . A e tt u/R . M e m e i hT . M ji aa t S . d . v . K t e o/v uo R . A CDA 29 27 29 28 27 34 26 2

  PVV SP GroenLinks Trots op NL PvdA CDA D66 VVD P.v.d.Dieren SGP ChristenUnie   s r e/d li W . G r e m e o/R . E a m es l a/H . F k nod r e V . R n/e ho C . J - n ek l e a/B dn . e P . J d l o t h ce P . A e tt u/R . M e m e i hT . M ji aa t S . d . v . K t e o/v uo R . A CDA 29 27 29 28 27 34 26 29 24 28 28 PvdA 29 30 33 26 35 28 28 29 29 27 32 SP 10 18 11 14 9 17 13 11 21 12 10 VVD 29 29 31 27 34 32 30 34 31 34 32 PVV 25 15 11 14 16 12 15 17 12 17 14 GroenLinks 8 10 13 9 9 9 12 10 9 10 10 ChristenUnie 8 7 6 6 7 5 6 6 6 7 10 D66 8 10 12 10 9 10 15 10 12 10 10 P.v.d.Dieren 1 2 2 3 2 1 3 2 4 2 2 SGP 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 Trots op NL 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Totaal 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150

In tabel 1 valt onder andere op dat de voorspellingen van Wilders en
Thieme behoorlijk van elkaar verschillen, terwijl de voorspellingen van
Rutte en Van der Staaij tamelijk dicht bij elkaar liggen.
Om voorspellingen met elkaar te kunnen vergelijken, gebruiken we het
begrip afstand. Om de afstand tussen twee voorspellingen te berekenen,
tellen we alle verschillen tussen de voorspelde zetelaantallen bij elkaar
op. Zo is de afstand tussen de voorspellingen van Roemer (lijsttrekker
SP) en Halsema (lijsttrekker GroenLinks) 24, want de som van de
positieve verschillen tussen hun voorspellingen is:
(29 − 27) + (33 − 30) + (18 − 11) + (31 − 29) + (15 − 11) +
(13 − 10) + (7 − 6) + (12 − 10) + (2 − 2) + (2 − 2) + (0 − 0) = 24
93p
Onderzoek of de afstand tussen de voorspellingen van Wilders en Thieme
meer dan tweemaal zo groot is als de afstand tussen de voorspellingen
van Roemer en Halsema.
Je kunt een overzicht maken van alle onderlinge afstanden tussen de
voorspellingen van de lijsttrekkers. Een klein stukje van dat overzicht zie
je in tabel 2. Zo lees je bijvoorbeeld af dat de afstand tussen de
voorspellingen van Roemer en Halsema 24 is.
tabel 2
afstanden Wild. Roem. Hals. Verd. Coh. Balk. Pecht. Rut. Thie. Sta. Rou. Roemer 28 0 24 26 22 20 18 18 18 18 18 Halsema 34 24 0 36 22 26 20 18 26 24 16
Als je dat hele overzicht zou bekijken, dan zou opvallen dat alle afstanden
even getallen zijn. Dat is geen toeval, dit geldt altijd bij twee
voorspellingen. Je kunt beredeneren dat de afstand tussen twee
voorspellingen altijd een even getal is. Het begin van zo’n redenering zou
er als volgt uit kunnen zien:
We gaan eerst uit van twee voorspellingen die precies hetzelfde zijn. Dan
is hun afstand gelijk aan 0. We gaan nu een verschil aanbrengen en
maken daarna dat verschil steeds groter. We beginnen door in de eerste
voorspelling ergens één zetel weg te halen.
103p
Maak de redenering af en laat daarmee zien dat de afstand tussen twee
voorspellingen altijd een even getal is.
Na afloop van de verkiezingen kun je de voorspellingen van ieder van de
lijsttrekkers met de werkelijke uitslag vergelijken. Dat doen we hier op
twee verschillende manieren. Bij de eerste methode berekenen we de
afstand tussen de voorspelling en de werkelijke uitslag. Die werkelijke
uitslag van de verkiezingen op 9 juni 2010 staat in tabel 3.
tabel 3
partij CDA PvdA SP VVD PVV GL CU D66 PvdD SGP TON werkelijk aantal zetels 21 30 15 31 24 10 5 10 2 2 0
De voorspelling van Roemer blijkt de kleinste afstand, namelijk 22, tot de
werkelijke uitslag op te leveren.
De afstand tussen de voorspelling van Wilders en de werkelijke uitslag
blijkt exact gelijk te zijn aan de afstand tussen de voorspelling van
Van der Staaij en de werkelijke uitslag.
112p
Bereken deze afstand.
Een andere methode om voorspellingen te vergelijken met de werkelijke
uitslag is om te kijken naar het totaal aantal juist voorspelde zetels. Als
een partij bijvoorbeeld 8 zetels haalt terwijl er 5 voorspeld zijn, dan krijgt
de voorspeller daar 5 punten voor. En als er 8 zetels behaald worden
terwijl er 10 voorspeld zijn, dan krijgt de voorspeller 8 punten.
Op deze manier is het aantal juist voorspelde zetels van Roemer:
21 + 30 + 15 + 29 + 15 + 10 + 5 + 10 + 2 + 2 = 139
Als je het aantal juist voorspelde zetels van Wilders vergelijkt met het
aantal juist voorspelde zetels van Van der Staaij, blijkt ook nu weer dat
deze aantallen aan elkaar gelijk zijn.
122p
Bereken het aantal juist voorspelde zetels bij deze twee lijsttrekkers.
Dat deze aantallen aan elkaar gelijk zijn, is niet toevallig als je kijkt naar
het aantal juist voorspelde zetels en de afstand tussen de voorspelling en
de werkelijke uitslag. Tussen deze afstand (de eerste methode) en het
aantal juist voorspelde zetels (de tweede methode) bestaat een verband.
Bij de afstand let je op de verschillen (altijd positief) en bij de tweede
methode tel je het aantal goed voorspelde zetels. Het verband heeft de
volgende vorm:
aantal juist voorspelde zetels = a ⋅ afstand + b
134p
Bereken de waarden van a en b in bovenstaand verband.

opgave 4Gezichten herkennen

Europeanen en Aziaten uiten hun emoties op verschillende manieren. Naast de gesproken taal blijkt ook de non-verbale taal te verschillen. Dit blijkt uit een onderzoek van de universiteit van Glasgow uit 2008. De onderzoekers hebben een aantal proefpersonen, waarvan de helft Europeanen en de helft…

Europeanen en Aziaten uiten hun emoties op verschillende manieren. Naast de gesproken taal blijkt ook de non-verbale taal te verschillen. Dit blijkt uit een onderzoek van de universiteit van Glasgow uit 2008. De onderzoekers hebben een aantal proefpersonen, waarvan de helft Europeanen en de helft Aziaten, laten kijken naar foto’s met Europese en Aziatische gezichten. foto Elke foto wordt op een computerscherm gepresenteerd. Om te voorkomen dat de proefpersoon aldoor op hetzelfde punt van het scherm gefocust blijft, wordt het scherm verdeeld in vier kwadranten. Een foto van een gezicht wordt steeds maar in één, volstrekt willekeurig gekozen kwadrant getoond. Zie de foto. Een proefpersoon krijgt 6 foto’s voorgelegd.

Bereken de kans dat deze 6 foto’s toch allemaal in eenzelfde kwadrant verschijnen. In het begin krijgen de aselect gekozen proefpersonen diverse gezichten te zien. De proefpersonen moeten deze gezichten proberen te onthouden. Daarna krijgen de proefpersonen opnieuw gezichten te zien en moeten ze…

Bereken de kans dat deze 6 foto’s toch allemaal in eenzelfde kwadrant verschijnen. In het begin krijgen de aselect gekozen proefpersonen diverse gezichten te zien. De proefpersonen moeten deze gezichten proberen te onthouden. Daarna krijgen de proefpersonen opnieuw gezichten te zien en moeten ze aangeven of ze deze gezichten in het begin ook hebben gezien. De onderzoekers meten nu de zogeheten responstijd . Dat is de tijd die de proefpersoon nodig heeft om een gezicht te herkennen. In onderstaande tabel staan de resultaten van deze proef. tabel proefpersoon Europeaan   Aziaat   gezicht Europeaan Aziaat Europeaan Aziaat gemiddelde responstijd 1567 1723 1478 1486 standaardafwijking 122 134 112 100 In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat een Europese proefpersoon een Aziatisch gezicht in gemiddeld 1723 milliseconden (ms) herkent met een standaardafwijking van 134 ms. We nemen aan dat de waarden die in de tabel vermeld zijn voor alle Europeanen respectievelijk Aziaten gelden. We nemen verder aan dat de responstijd normaal verdeeld is. Hiermee kunnen we bijvoorbeeld de kans berekenen dat een willekeurige Europeaan een Europees gezicht binnen 1500 ms herkent.

Bereken deze kans.
Bij bestudering van de tabel kun je concluderen dat de Aziaten sneller zijn in het herkennen van Europese gezichten dan de Europeanen zelf. In een vergelijkbaar experiment laat men 14 willekeurige Aziaten Europese gezichten herkennen. De gemiddelde responstijd van deze 14 Aziaten is nu ook normaal…

Bij bestudering van de tabel kun je concluderen dat de Aziaten sneller zijn in het herkennen van Europese gezichten dan de Europeanen zelf. In een vergelijkbaar experiment laat men 14 willekeurige Aziaten Europese gezichten herkennen. De gemiddelde responstijd van deze 14 Aziaten is nu ook normaal verdeeld.

Bereken de kans dat de gemiddelde responstijd van deze 14 Aziaten groter is dan 1567 ms. Uit het onderzoek kwam ook naar voren dat Europeanen als herkenningspunt vaker de mond gebruiken, terwijl Aziaten zich juist op de ogen richten. Dat zien we ook terug in het gebruik van emoticons in Europa en…

Bereken de kans dat de gemiddelde responstijd van deze 14 Aziaten groter is dan 1567 ms. Uit het onderzoek kwam ook naar voren dat Europeanen als herkenningspunt vaker de mond gebruiken, terwijl Aziaten zich juist op de ogen richten. Dat zien we ook terug in het gebruik van emoticons in Europa en Azië. Emoticons zijn symbolen die emoties weergeven door middel van een combinatie van lees- en lettertekens. Om aan te geven dat je heel blij bent, gebruik je bijvoorbeeld het emoticon :-D. In Japan gebruikt men meer emoticons dan in Europese landen. Ook zijn ze anders dan de in Europa bekende emoticons. Zo hoef je je hoofd geen kwartslag te draaien. Een bekend Japans voorbeeld is (^_^), een glimlachende smiley. Japanners gebruiken 26 verschillende lees- en lettertekens. Die kunnen ook vaker voorkomen in een emoticon (zie het voorbeeld).

Bereken hoeveel verschillende Japanse emoticons met vijf of zes lees- en lettertekens in dit geval in theorie totaal mogelijk zijn.

opgave 5Keramiek

Op de foto zie je een stad van keramiek, foto
figuur bij de opgave
gemaakt door de kunstenares Elly van
de Merwe.
De huisjes zijn in 3 rijen geplaatst. Er zijn
13 huisjes in het kunstwerk zelf en er is
nog 1 reservehuisje.
De voorste rij heeft 4 posities om huisjes
te plaatsen, de middelste rij heeft
5 posities en de achterste rij weer
4 posities.
De opstelling van de huisjes kan
veranderd worden. Je kunt daarbij de
huisjes op de voorste rij en de huisjes op
de middelste rij willekeurig verwisselen.
De huisjes op de achterste rij kunnen
alleen onderling verwisseld worden. Het
reservehuisje past alleen op de voorste
twee rijen.
184p
Bereken hoeveel opstellingen er mogelijk zijn met de 14 verschillende
huisjes.
De huisjes zijn gemaakt van kleiplaten en worden twee keer gebakken.
Om kapot springen van het werk te voorkomen, moet de temperatuur bij
de eerste keer bakken heel precies geregeld worden. Dit is goed mogelijk
in een elektrische oven die met een computer bestuurd wordt. In
onderstaande figuur zie je een grafiek van de temperatuur tijdens het
bakproces.
figuur
1200 temperatuur 1100 in graden Celsius 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 tijd
Het bakproces bestaat uit vier fasen:
− fase 1: de oven gaat aan en men laat de temperatuur stijgen van
20 ºC naar 600 ºC met een constante stijging van 60 ºC per uur;
− fase 2: van 600 ºC tot de maximale temperatuur 1100 ºC houdt men
een constante stijging aan van 100 ºC per uur;
− fase 3: men laat nu de oven afkoelen tot 650 ºC met een constante
daling van 150 ºC per uur (de oven is nog aan);
− fase 4: bij 650 ºC zet men de oven uit en de temperatuur daalt nu
volgens een afnemend dalende grafiek.
194p
Bereken hoeveel minuten de oven in totaal bij dit bakproces aan heeft
gestaan.
Bij het begin van fase 4 wordt de oven uitgezet. Vanaf dat moment neemt
het verschil tussen de oventemperatuur en omgevingstemperatuur bij
benadering exponentieel af. Zie de tabel. Hierbij is uitgegaan van een
constante omgevingstemperatuur van 20 ºC.
tabel
tijdstip t na het uitzetten van de oven 0 uur 4 uur 8 uur oventemperatuur (in ºC) 650 225 90 verschil V tussen oventemperatuur en omgevingstemperatuur (in ºC) 630 205 70
Omdat het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur, dus V, bij
benadering exponentieel afneemt, kan dit verschil tijdens fase 4 worden
beschreven met de formule:
V = b ⋅ gt
Hierin is V het verschil tussen oven- en omgevingstemperatuur in ºC en t
de tijd in uren na het uitzetten van de oven.
206p
Bereken met behulp van deze formule hoeveel minuten na het uitzetten
van de oven deze is afgekoeld tot 30 ºC.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
Nadat de huisjes uit de oven zijn gehaald wordt er een laagje glazuur op
aangebracht. Hierna worden ze een tweede keer gebakken in een
speciale oven die buiten staat, een zogenoemde Raku oven. Na het
opwarmen tot 1000 ºC worden de huisjes met een tang uit de oven
gehaald. Doordat ze in de buitenlucht snel afkoelen, ontstaan er barstjes
in het glazuur. Zie de foto bij het begin van de opgave.
Voor een bepaald huisje geldt tijdens het afkoelingsproces de volgende
formule:
T = 20 + 980 ⋅ 0,93t
Hierin is T de temperatuur van het huisje in ºC en t de tijd in minuten
nadat het uit de oven is gehaald.
Bij de tweede keer bakken is de snelheid waarmee de temperatuur van
het huisje daalt op het moment dat het uit de oven gehaald wordt,
behoorlijk groot.
214p
Bereken deze snelheid met behulp van je grafische rekenmachine of met
een differentiequotiënt.