opgave 1Oplopende korting
Grote winkelketens organiseren soms spectaculaire acties met flinke
kortingen. Hiermee hoopt men onder andere klanten te winnen en een
grotere naamsbekendheid te krijgen.
Maffe marathon
Een warenhuisketen organiseerde in het voorjaar van 2009 een
kortingsactie. Door aankopen van minstens € 25 te doen op meerdere
dagen konden klanten een behoorlijke korting krijgen.
In de folder stond hierover:
aankoopbedrag korting korting korting per dag eerste dag tweede dag derde dag € 25 tot € 75 € 2,50 € 5,00 € 7,50 € 75 tot € 150 € 7,50 € 15,00 € 22,50 € 150 tot € 300 € 15,00 € 30,00 € 45,00 € 300 of meer € 30,00 € 60,00 € 90,00
Een voorbeeld: een klant koopt tijdens de actieperiode bij deze keten op
drie dagen artikelen voor de volgende bedragen.
In het voorbeeld bedraagt de uiteindelijke korting 23,6% van het totale
aankoopbedrag.
Als deze klant de aankopen van de eerste twee dagen verwisselt, krijgt de
klant meer korting.
14pBereken hoeveel procent korting de klant in dat geval krijgt. Geef je
antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Door de aankoopbedragen slim te kiezen, kan een klant het uiteindelijke
percentage van de korting groter maken. Zo kan de klant uit het voorbeeld
dit percentage bijvoorbeeld groter maken door de aankoopbedragen van
de eerste en tweede dag te verwisselen, maar ook door op de derde dag
niet voor € 319 aan te kopen, maar voor € 300.
Het is met deze actie mogelijk om een kortingspercentage op het totale
aankoopbedrag te halen van meer dan 27%.
24pGeef voor de eerste, tweede en derde dag een aankoopbedrag waarbij
een korting op het totale aankoopbedrag van meer dan 27% behaald
wordt. Licht je antwoord met een berekening toe.
Stapelweken
Een grote boekhandelketen organiseerde in het voorjaar van 2010 een
andere kortingsactie. Klanten kregen een korting op de gekochte boeken
die opliep naarmate ze meer boeken kochten. Bij 2 of 3 boeken was de
korting 20%, bij 4 of 5 boeken 40% en bij 6 of meer boeken 60%.
Van een detectiveserie, waarvan de prijs € 5,50 per boek is, wil Fred
1 deel kopen, Floortje 2 delen en Ruud 4 delen.
34pBereken hoeveel geld zij besparen als ze deze boeken niet afzonderlijk
maar samen kopen.
Jitske wil meerdere exemplaren van een kleurboek kopen voor een
verjaardagsfeestje van haar buurmeisje. Zonder korting kost zo’n
kleurboek € 3,00.
De regelmaat in de aanbieding brengt Jitske op het idee om hierbij een
wiskundig model te ontwerpen. In dit model verandert zij iets aan de
stapelkorting: zij gaat ervan uit dat er bij n boek(en) een korting geldt van
n ⋅10%. De korting geldt voor maximaal 9 boeken.
Als Jitske 6 boeken zou kopen, zou ze zonder korting € 18,00 moeten
betalen. De prijs met korting kan ze berekenen door 60% van de € 18,00
af te halen.
Jitske wil een formule opstellen waarmee ze de totale prijs P van
n exemplaren van het kleurboek kan berekenen.
44pStel een dergelijke formule op. Licht je antwoord toe.
opgave 2Kaartspel
Kakkerlakkensalade is een kaartspel uit
Duitsland. Een variant van het spel wordt
gespeeld met 112 groentekaarten met
daarop de groenten paprika, bloemkool, sla
en tomaat. Van elk van deze vier soorten
groente zijn er evenveel kaarten.
Aan het begin van het spel worden de
kaarten geschud en krijgen alle spelers evenveel kaarten.
Annet, Beyza, Carin en Dick spelen dit spel.
Dick schudt de kaarten en geeft als eerste Annet vier kaarten uit het
volledige spel kaarten.
53pBereken de kans dat Annet bij haar eerste vier kaarten precies twee
bloemkoolkaarten krijgt.
Tijdens een vakantie gaan deze vier vrienden het spel 150 keer spelen.
Annet is benieuwd hoe vaak de eerste kaart die uit een volledig spel
gedeeld wordt een tomaatkaart zal zijn.
63pBereken de kans dat dit precies 37 keer gebeurt.
Op de doos waar het spel in is verpakt, staat vermeld dat de gemiddelde
speelduur van een spelletje 20 minuten is. Tijdens de vakantie houden ze
bij hoelang elk spel duurt.
In de tabel staan hun gegevens.
tabel
Ze willen onderzoeken of de speelduur van een spelletje normaal
verdeeld is.
76puitwerkbijlageLaat met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage zien dat de gegevens in de tabel bij benadering normaal
verdeeld zijn en bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de
speelduur.
Bij een andere variant van kakkerlakkensalade wordt met meer kaarten
gespeeld. Dit heeft invloed op de speelduur van het spel. De speelduur is
dan bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 25 minuten
en een standaardafwijking van 9 minuten.
De vier spelers spelen op deze manier 2 spellen.
85pBereken de kans dat één spel langer dan 20 minuten en één spel korter
dan 20 minuten duurt.
opgave 3Octopus Paul
In 2010 werd octopus Paul wereldberoemd omdat zijn ‘voorspellingen’
over de afloop van de wedstrijden van Duitsland tijdens het
wereldkampioenschap voetbal in dat jaar allemaal bleken uit te komen.
Bij deze voorspellingen moest Paul telkens kiezen uit twee bakken met
een mossel.
Op de ene bak stond de vlag van Duitsland, op de andere bak de vlag van
de tegenstander. Het land van de bak waaruit Paul de mossel opat, zou
de wedstrijd gaan winnen. We gaan ervan uit dat er geen wedstrijden in
een gelijkspel eindigen.
Later heeft Paul ook een correcte voorspelling gedaan voor de finale,
waarin Spanje Nederland versloeg.
We gaan ervan uit dat Paul willekeurig een bak kiest. Daarmee is de kans
dat hij een uitslag correct voorspelt natuurlijk 0,5.
Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen
van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes
keer een correcte voorspelling te geven.
94pBereken de kans dat Paul bij zes willekeurige voorspellingen minstens
vier keer een correcte voorspelling geeft.
Naast Paul waren er in 2010 nog meer dieren die voorspellingen deden,
zoals de parkiet Mani uit Singapore. Als er maar genoeg dieren
voorspellingen doen, dan is de kans dat er één tussen zit die alles goed
voorspelt helemaal niet zo klein.
Stel dat 20 dieren een voorspelling doen voor 8 wedstrijden waarbij ze per
wedstrijd allemaal een kans van 0,5 hebben dat hun voorspelling juist
blijkt te zijn.
106pBereken de kans dat ten minste één dier alle wedstrijden juist voorspelt.
Engelse sportstatistici hebben zich voor het toernooi van 2010 ook aan
voorspellingen gewaagd. Zij keken voor de deelnemende landen naar het
bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking (bbp), de
bevolkingsomvang (pop) en de wedstrijdervaring (erv). Dat leverde de
volgende formule op:
GD(A,B) = 0,316 ⋅ 
Hierbij is GD(A,B) het aantal doelpunten dat land A naar verwachting
meer zal scoren dan land B als zij tegen elkaar spelen. Dat aantal hoeft
geen geheel getal te zijn en kan ook negatief zijn. Voor wedstrijdervaring
koos men het aantal deelnames aan wereldkampioenschappen vóór dat
van 2010.
Voor Italië en Engeland zijn bbp en pop nagenoeg even groot, zodat
alleen de wedstrijdervaring het verschil bepaalt. Vóór 2010 deed Italië
16 keer mee aan een wereldkampioenschap, Engeland 12 keer.
114pBereken met behulp van de formule het voorspelde aantal doelpunten dat
Italië méér maakt als het tegen Engeland zou spelen. Rond het antwoord
af op twee decimalen.
Volgens de formule wint Nederland niet van Brazilië omdat
GD(Ned,Bra) = −0,67.
De waarde –0,67 valt eigenlijk nog wel mee. Brazilië heeft veel meer
inwoners dan Nederland: 185,7 miljoen tegenover 16,6 miljoen. Ook nam
Brazilië vóór 2010 vaker deel: 18 keer en Nederland maar 8 keer.
Blijkbaar is het bbp van Nederland veel groter dan dat van Brazilië.
125pBereken hoeveel keer zo groot het bbp van Nederland is als het bbp van
Brazilië.
opgave 4Archeologie
In de archeologie gebruikt men de C14-methode bij het vaststellen van de
historische leeftijd (ouderdom) van bepaalde vondsten. Deze methode
werd in 1949 ontwikkeld door de Amerikaanse scheikundige Libby, die
hiervoor de Nobelprijs gekregen heeft. Volgens de theorie neemt de
radioactiviteit van dood organisch materiaal exponentieel af en daarom
kun je door de radioactiviteit te meten bepalen hoe oud een voorwerp is.
De figuur hieronder komt uit een artikel van Libby uit 1949. Libby testte de
C14-methode door deze te gebruiken op zes verschillende voorwerpen
waarvan de historische leeftijd op een andere manier bekend was.
figuur
Langs de verticale as staat de gemeten radioactiviteit in cpm (counts per
minute) per gram materiaal. Dit is een maat voor de hoeveelheid C14.
Langs de horizontale as staat de historische leeftijd van het voorwerp in
jaren.
Volgens de theorie neemt de gemeten radioactiviteit exponentieel af.
De grafiek gaat door de punten (0; 12,5) en (6000; 6). Hiermee kan men
de groeifactor berekenen.
133pBereken met deze punten de groeifactor per jaar in 7 decimalen
nauwkeurig.
Voor het vervolg van de opgave gaan we uit van de formule:
N = 12,5 ⋅ 0,999878t
Hierin is N de gemeten radioactiviteit van het voorwerp in cpm per gram
en t is de historische leeftijd volgens de C14-methode van het voorwerp in
jaren.
De punten in de figuur stellen de metingen aan de voorwerpen voor. Het
punt ‘Ptolemy’ hoort bij een stuk hout van een doodskist van een
Egyptische mummie. Deskundigen schatten dat deze doodskist uit
ongeveer 200 voor Chr. dateert. Voor dit hout werd in 1949 een
radioactiviteit van 9,5 cpm per gram gemeten.
144pBereken het verschil tussen de historische leeftijd volgens de
C14-methode en de schatting van de deskundigen.
Het punt ‘Sesostris’ in de figuur betreft een meting aan een plank van een
begrafenisboot uit het oude Egypte, daterend uit 1843 voor Chr. Toen de
meting werd gedaan was de plank dus 3792 jaar oud.
De metingen van Libby waren niet nauwkeurig, daarom deed hij meerdere
metingen aan de plank. Hierdoor kreeg Libby verschillende bijbehorende
historische leeftijden van de plank.
We nemen aan dat historische leeftijden onafhankelijk zijn en normaal
verdeeld zijn met een gemiddelde van 3792 jaar en een
standaardafwijking van 310 jaar.
Als er meerdere metingen worden gedaan en van de bijbehorende
historische leeftijden het gemiddelde wordt genomen, zal de kans dat het
gemiddelde van deze historische leeftijden minder dan 100 jaar van de
werkelijke historische leeftijd afwijkt, groter worden.
Aan de begrafenisboot worden vijf metingen gedaan en van de
bijbehorende historische leeftijden wordt het gemiddelde berekend.
154pBereken de kans dat deze berekende historische leeftijd minder dan
100 jaar afwijkt van de werkelijke historische leeftijd.
