bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2012, tijdvak 2

naslagFormules

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige middelloodlijn,…

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige middelloodlijn, plaatsen: bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin( t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin( t − u ) = sin t cos u − cos t sin u cos( t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos( t − u ) = cos t cos u + sin t sin u

opgave 2Een regenton

Op het domein [0, 1] is de functie r gegeven door W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de de lijn x = h , met 0 < h ≤ 1 . Zie de onderstaande figuur. figuur Voor het volume V van het omwentelingslichaam dat ontstaat door vlakdeel W om de x -as te wentelen, geldt: V = 40 π ( 2 h + 3 h 2 − 2 h…

Op het domein [0, 1] is de functie r gegeven door W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de de lijn x = h , met 0 < h ≤ 1 . Zie de onderstaande figuur. figuur Voor het volume V van het omwentelingslichaam dat ontstaat door vlakdeel W om de x -as te wentelen, geldt: V = 40 π ( 2 h + 3 h 2 − 2 h 3 )

Toon aan dat deze formule voor V juist is. foto Als de grafiek van r om de x -as gewenteld wordt, ontstaat een figuur die lijkt op een regenton. Voor x , h en r nemen we de meter als eenheid, zodat de ton 1 meter hoog is. V is dus het volume van het water in de ton als het water h meter hoog staat.
Bereken de waterhoogte in de ton als deze voor drie vierde deel is gevuld. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.

opgave 3Een ellipsvormige baan

Punt P doorloopt in het Oxy -vlak een ellipsvormige baan volgens de Hierin is t de tijd. De baan van P is weergegeven in figuur 1. figuur 1 Gedurende de beweging verandert de afstand van P tot de oorsprong.
Bereken de maximale afstand van P tot de oorsprong. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. De snelheid van P op tijdstip
Bereken exact de snelheid van P als t = 0 . figuur 2 De baan van P snijdt de lijn met vergelijking y = 2 x in de punten A en B . Zie figuur 2.
Bereken exact de coördinaten van A en B .

opgave 4Bissectrices en omgeschreven cirkel

Gegeven is een driehoek ABC met
figuur 1
zijn omgeschreven cirkel.
De bissectrice van hoek A snijdt de
omgeschreven cirkel in punt P en
de bissectrice van hoek B snijdt
deze cirkel in punt Q. Het snijpunt
van de bissectrices is S.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.
Er geldt: driehoek CPQ is
congruent met driehoek SPQ.
P C Q S A B
63puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik
maken van de uitwerkbijlage.
In figuur 2 is in driehoek ABC ook
figuur 2
de bissectrice van hoek C
getekend. Deze gaat door S en
snijdt de omgeschreven cirkel van
driehoek ABC in punt R.
Met behulp van de congruentie van
de driehoeken CPQ en SPQ volgt:
de lijnen PQ en CR staan loodrecht
op elkaar.
In figuur 3 zie je alleen een cirkel
waarop drie punten P, Q en R
liggen. Deze figuur staat ook op de
P C Q S A B R
uitwerkbijlage.
Bij deze punten P, Q en R is er een
figuur 3
73puitwerkbijlage
driehoek ABC waarvoor geldt: A, B
en C liggen op de gegeven cirkel
zó dat de lijnen AP, BQ en CR de
bissectrices zijn van de hoeken
van driehoek ABC.
Teken in de figuur op de
uitwerkbijlage deze driehoek ABC.
Licht je werkwijze toe.
R P

opgave 5Medicijn in actieve vorm

Sommige medicijnen kennen een passieve en een actieve vorm. Ze worden in
passieve vorm ingespoten en door het lichaam omgezet in actieve vorm.
De hoeveelheid medicijn in passieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten
nog niet is omgezet in actieve vorm, noemen we p(t). Als 25 mg wordt
ingespoten, geldt de volgende formule:
p(t) = 25 ⋅ e−k⋅t
Hierbij is k een positieve constante waarvan de waarde afhangt van het type
medicijn. Hoe groter k, hoe sneller het medicijn in passieve vorm wordt omgezet
in actieve vorm.
Om de werkzaamheid van het medicijn te onderzoeken, meet men hoe lang het
duurt tot 99% van de hoeveelheid medicijn in passieve vorm is omgezet naar
medicijn in actieve vorm. Deze tijdsduur t99 hangt af van k.
83p
Druk t99 uit in k.
Het medicijn in actieve vorm wordt door de lever afgebroken. De omzetting van
medicijn in passieve vorm naar medicijn in actieve vorm en de afbraak van
medicijn in actieve vorm vinden gelijktijdig plaats.
Een patiënt krijgt een injectie met een dergelijk medicijn. De hoeveelheid
medicijn in actieve vorm, in milligram, die t uur na inspuiten in het lichaam zit,
noemen we a(t). Voor a(t) geldt:
a(t) = 25(e^ −^0^,^1^ ⋅^t − e^ −^0^,^4^ ⋅^t)
In figuur 1 is de grafiek van a getekend.
figuur 1
a max a O t max t
Het maximum van a noemen we amax. Dit maximum wordt aangenomen op
tijdstip tmax.
94p
Bereken tmax met behulp van differentiëren.
Als maat voor de tijdsduur die een medicijn werkzaam is, wordt gekeken naar de
zogenoemde FWHM (Full Width at Half Maximum). Dat is de breedte van de
piek in de grafiek van a ter hoogte van (1)/(2)a_m_a_x. Anders gezegd: de FWHM geeft
aan hoe lang de hoeveelheid medicijn in actieve vorm in het lichaam minstens
50% is van de maximale hoeveelheid amax.
In figuur 2 is de FWHM aangegeven.
figuur 2
a max a 1a max 2 O t FWHM
106p
Bereken de FWHM in uren nauwkeurig.

opgave 6Onafhankelijk van p

Voor elke positieve waarde van p is een functie f gegeven door
f(x) = − x3 + 3px2.
De grafiek van f heeft twee punten met de x-as gemeenschappelijk: O(0,0) en
punt A. Zie onderstaande figuur.
De top van de grafiek van f die rechts van de y-as ligt, noemen we T.
De horizontale lijn door T snijdt de y-as in punt C en snijdt de verticale lijn door
A in punt B. De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van f binnen
rechthoek OABC is in de figuur grijs gemaakt.
figuur
y C T B f O A x
118p
Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van het grijze gebied en de
oppervlakte van rechthoek OABC onafhankelijk is van p.

opgave 7Drie halve cirkels

Op een lijnstuk AB met lengte 4 ligt het punt C zo dat AC = 1.
Op AC, CB en AB zijn halve cirkels getekend, alle drie aan dezelfde kant van
AB. D is een punt op de grootste halve cirkel, niet gelijk aan A of B.
AD en BD snijden de andere halve cirkels respectievelijk in de punten E en F.
Zie de onderstaande figuur. Hierin zijn ook de lijnstukken CE en CF getekend.
figuur
D F E x
Op grond van de stelling van Thales zijn de hoeken ADB, AEC en CFB recht.
Hieruit volgt dat CFDE een rechthoek is.
De driehoeken ACE, CBF en ABD zijn gelijkvormig.
De lengte van CE noemen we x.
De oppervlakte van rechthoek CFDE is dan 3√(x2 − x4).
123p
Toon dit laatste aan.
Als D over de grootste halve cirkel beweegt, verandert de oppervlakte van
rechthoek CFDE.
Er zijn twee situaties waarin deze oppervlakte gelijk is aan √(2). Voor één van
deze situaties geldt dat E op de linker helft van de boog AC ligt.
135p
Bereken exact de lengte van CE voor deze situatie.
Als D over de grootste halve cirkel beweegt, is er een situatie waarin de
oppervlakte van CFDE maximaal is.
147p
Ga op algebraïsche wijze na of rechthoek CFDE in deze situatie een vierkant is.

opgave 8Kleinste amplitude

Voor elke waarde van a, met a > 1, is de functie fa met domein [0, π] gegeven
door
f_a(x) = (a)/(lna) ⋅sin x
In de figuur is voor enkele waarden van a de grafiek van fa getekend.
figuur
y a = 11 2 a = 51 2 a = 2 0 x
Voor elke waarde van a is de grafiek van fa een sinusoïde. In de figuur is te
zien dat de amplitude bij a = 2 kleiner is dan bij a = 1(1)/(2) of a = 5(1)/(2).
Er is een waarde van a waarvoor de amplitude minimaal is. De grafiek van fa bij
deze waarde van a is in de figuur gestippeld getekend.
158p
Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as en de
grafiek van fa met de kleinste amplitude.

opgave 9Vier punten op een cirkel

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een middellijn AB. k is de raaklijn
aan de cirkel in punt B.
Op de cirkel liggen twee punten P en Q zodanig dat P en Q beide aan dezelfde
kant van AB liggen én dat Q op de kleinste boog tussen B en P ligt.
De snijpunten van de lijnen AP en AQ met k zijn respectievelijk P' en Q'.
De figuur hieronder staat twee maal op de uitwerkbijlage.
figuur
A M P Q k B Q´ P´
Er geldt: ABP = AP'B.
164puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de uitwerkbijlage.
174puitwerkbijlage
Bewijs dat P, Q, Q' en P' op één cirkel liggen. Je kunt hierbij gebruik maken
van de uitwerkbijlage.