bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2012, tijdvak 1

naslagFormules

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen:…

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin( t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin( t − u ) = sin t cos u − cos t sin u cos( t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos( t − u ) = cos t cos u + sin t sin u

opgave 2Onafhankelijk van a

Voor elke positieve waarde van a is een functie fa gegeven door
fa(x) = (1 − ax) ⋅ e−ax en een functie Fa gegeven door Fa(x) = x ⋅ e−ax.
De functie Fa is een primitieve functie van fa.
13p
Toon dit aan.
De grafiek van fa snijdt de x-as in punt A((1)/(a),0) en de y-as in punt B(0,1).
Zie onderstaande figuur.
figuur
figuur
De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen.
25p
Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen
onafhankelijk is van a.

opgave 3Het standaard proefglas

Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven. Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn. Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het ISO…

Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven. Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn. Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het ISO Standard Wine Tasting Glass. De eisen die aan dit standaard proefglas worden gesteld, zijn vastgelegd in een ISO-rapport. Aan de hand van de gegevens in dit rapport heeft een technisch tekenaar een model van het standaard proefglas getekend. Een zijaanzicht van dit model zie je in figuur 1. figuur 1 Om dit model te maken heeft de tekenaar drie wiskundige functies gebruikt. De bijbehorende grafieken beschrijven de buitenkant van het glas. Door deze grafieken om de x -as te wentelen, ontstaat een model van het standaard proefglas. In figuur 2 zijn de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x -as getekend. figuur 2 Kromme AB is de grafiek van de functie f met f ( x ) = 4,5 + 28,0 ⋅ e − 0,452 x op het domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f ( x ) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om de x -as ontstaan de buitenkant van de voet en de steel van het wijnglas. De voet en de steel zijn massief.

Bereken het volume van de voet en de steel samen. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm 3 .
Om CD te tekenen wordt een bergparabool gebruikt met C als top. Een formule van deze parabool kan worden gevonden door eerst kromme CD te verschuiven zo dat C terechtkomt op O ( 0, 0) . In figuur 3 zijn de kromme CD en de beeldkromme OE getekend en is ook de verschuiving weergegeven. Kromme OE is…

Om CD te tekenen wordt een bergparabool gebruikt met C als top. Een formule van deze parabool kan worden gevonden door eerst kromme CD te verschuiven zo dat C terechtkomt op O ( 0, 0) . In figuur 3 zijn de kromme CD en de beeldkromme OE getekend en is ook de verschuiving weergegeven. Kromme OE is deel van een bergparabool met top O en heeft dus een formule van de vorm y = a ⋅ x 2 , met a < 0 . Nu kan gebruik gemaakt worden van de translatie die kromme OE afbeeldt op kromme CD . In figuur 3 is ook deze translatie weergegeven. figuur 3

Stel een formule op voor kromme CD . figuur 4 In figuur 4 zijn opnieuw de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x -as getekend. Voor het proeven van wijn wordt een glas bij voorkeur met 50 ml wijn gevuld. Daarom wil de tekenaar in figuur 4 het punt aangeven tot waar het standaard proefglas…

Stel een formule op voor kromme CD . figuur 4 In figuur 4 zijn opnieuw de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x -as getekend. Voor het proeven van wijn wordt een glas bij voorkeur met 50 ml wijn gevuld. Daarom wil de tekenaar in figuur 4 het punt aangeven tot waar het standaard proefglas gevuld moet worden om 50 ml wijn te bevatten. Dit punt P ligt op kromme Kromme BC BC . is de grafiek van de functie g met domein [55,3; 87,5]; hierbij zijn g ( x ) en x in mm. In figuur 4 is het vlakdeel V grijs gemaakt dat wordt begrensd door de verticale lijnen door B en door P , de x -as en kromme BP . Als V wordt gewenteld om de x -as, heeft het omwentelingslichaam dus een inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte van het glas verwaarloosd.

Bereken met behulp van primitiveren de x -coördinaat van P . Rond je antwoord af op een geheel getal.

opgave 4Vanuit een parallellogram

Gegeven is een parallellogram
figuur 1
63p
ABCD. De bissectrice van hoek
ADB snijdt het verlengde van CB in
het punt E. Zie figuur 1. Deze
figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
Driehoek BDE is gelijkbenig.
Bewijs dit.
figuur 1
In figuur 2 is opnieuw een
figuur 2
74p
parallellogram ABCD getekend.
Nu is ook gegeven dat de lijn door
B en C raakt aan de omgeschreven
cirkel van driehoek ABD. De
bissectrice van hoek ADB snijdt
het verlengde van CB in E en de
cirkel in F.
Ook hier geldt: driehoek BDE is
gelijkbenig.
Zie figuur 2. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.
Bewijs dat ∠BFD = 2 ⋅ ∠BEF.
figuur 2

opgave 5Tussen twee sinusgrafieken

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = sin x en g(x) = sin(x + (1)/(3)π).
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend op het domein [0,2π].
De grafieken van f en g snijden elkaar op dit domein bij x = (1)/(3)π in het punt A en
bij x = (4)/(3)π in het punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
V is het vlakdeel dat tussen A en B wordt ingesloten door de grafieken van f en
g.
84p
Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van V.
De functie h is gegeven door h(x) = (1)/(2) ⋅ (f(x) + g(x)). In figuur 2 zijn de grafieken
van f, g en h getekend op het domein [0,2π].
figuur 2
figuur 2
94p
Bereken exacte waarden van a en b zo dat (1)/(2) ⋅ (f(x) + g(x)) te herleiden is tot
a ⋅ sin(x + b).

opgave 6Drie vierkanten in een rechthoek

In een rechthoek van 20 bij 30 liggen drie vierkanten: A linksonder,
B rechtsonder en C rechtsboven. Van elk vierkant valt een van de hoekpunten
samen met een van de hoekpunten van de rechthoek. A en B liggen tegen
elkaar aan, en B en C ook. Het deel van de rechthoek dat niet bedekt is door de
vierkanten noemen we D. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Als de lengte van de zijde van vierkant A gekozen is, liggen de afmetingen van
de delen B, C en D vast.
De lengte van de zijde van vierkant A noemen we x. In figuur 2 is voor x = 13(1)/(2)
van elk deel de oppervlakte aangegeven.
figuur 2
figuur 2
Er is een waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is.
108p
Bereken exact deze waarde van x.

opgave 7Een W

Een punt P beweegt in het
figuur
Oxy-vlak volgens de vergelijkingen:
x(t) = cos ((π)/(15) ⋅ t)
y(t) = cos ((4π)/(15) ⋅ t)
Hierbij zijn x en y in meters, t in
seconden en t ≥ 0.
De baan die P doorloopt, heeft de
vorm van een W. Op tijdstip t = 0
start P in punt A(1, 1) en op tijdstip
t = 15 bevindt P zich voor het eerst
in punt B(–1, 1).
figuur
In de figuur zijn de baan die P doorloopt, de punten A en B en de lijn met
vergelijking y = x getekend.
Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de
lijn met vergelijking y = x.
115p
Bereken dit aantal seconden.
Op zeker moment tijdens de beweging van A naar B passeert P de y-as. Daarbij
neemt de x-coördinaat van P af.
125p
Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat van P op dat moment.

opgave 8Verschoven platen

Op de foto’s hieronder zie je een kunstwerk van de Friese kunstenaar
Ids Willemsma bij het voormalige Arbeidsbureau in Heerenveen.
foto 1
foto 2
figuur bij de opgave
Het kunstwerk bestaat uit een aantal naast elkaar geplaatste ijzeren platen van
gelijke lengte. De voorste plaat op foto 2 staat verticaal op de grond tegen een
muurtje. De stand van de volgende platen is ontstaan door zo’n plaat eerst
verticaal tegen het muurtje te plaatsen en daarna de onderkant over de grond te
verschuiven in de richting loodrecht op het muurtje. De platen steunen steeds op
de bovenkant van het muurtje.
Om te voorkomen dat voorbijgangers zich stoten aan het kunstwerk, willen we
weten hoe ver de bovenkant van een verschoven plaat maximaal in horizontale
richting kan uitsteken.
In deze opgave kijken we naar een model met één plaat met lengte 280 cm die
steeds schuiner tegen een muurtje met hoogte 35 cm komt te staan.
In dit model wordt de plaat voorgesteld door een lijnstuk PQ. Zie de figuur op de
volgende bladzijde.
Het punt waar PQ op de bovenrand van het muurtje steunt, noemen we A.
We brengen een assenstelsel aan met de x-as horizontaal door P en de y-as
verticaal door A. Langs beide assen nemen we als eenheid 1 cm. De
coördinaten van A zijn dus (0, 35).
In de verticale beginstand van PQ bevindt punt P zich in de oorsprong en is Q
het punt (0, 280). Punt P wordt over de x-as naar links geschoven, terwijl lijnstuk
PQ door punt A blijft gaan. In de figuur zijn de beginstand, een tussenstand en
de eindstand van lijnstuk PQ getekend.
figuur
figuur
figuur
figuur
De loodrechte projectie van Q op de x-as noemen we Q'.
De afstand van P tot de oorsprong noemen we p en de afstand van Q' tot de
oorsprong noemen we q. Zie de figuur.
Uitgaande van de getekende tussenstand kan q, met behulp van gelijke
verhoudingen in gelijkvormige driehoeken, als volgt worden uitgedrukt in p:
q = − p p2 +1225
134p
Toon aan dat deze formule juist is.
q beschouwen als functie van p, 343000 q'(p)= −1 (p2 +1225)⋅ p2 +1225
144p
Toon dit aan.
156p
Bereken exact het maximum van q.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 9Evenwijdige lijnen en een rechthoek

Op een cirkel met middelpunt M liggen de punten A, B, C en D zo dat AC een
middellijn is en de lijnstukken AB en CD evenwijdig zijn. Zie figuur 1. Deze
figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
figuur 1
164p
Bewijs dat vierhoek ABCD een rechthoek is.
Door punt D trekken we de lijn l evenwijdig aan AC.
Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in punt E. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S.
Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
figuur 2
174p
Bewijs dat ∠CSE = 3 ⋅ ∠CDE.