opgave 1Voedselbehoefte
In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee
gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van
de grootte van de bevolking voor de komende jaren. Daarvoor stelt men het volgende model
Hierin is B het aantal mensen in duizenden en is t de tijd in jaren. Het komende jaar loopt
van t = 0 tot t = 1. In deze opgave werken we met jaren van 360 dagen en maanden van
30 dagen.
14p
Bereken de procentuele toename van de bevolking per maand.
Voedseldeskundigen hanteren als vuistregel: per persoon is er per dag 0,4 kg vast voedsel
nodig.
De totale benodigde hoeveelheid vast voedsel voor de inwoners van het gebied in het
komende jaar noemen we V (in kg).
Iemand wil berekenen hoe groot V is.
Een schatting van V kan verkregen worden door voor iedere dag van het jaar de
voedselbehoefte te berekenen en deze voedselbehoeften op te tellen.
25p
Bereken
V volgens deze methode.
Een tweede methode om V te berekenen is met behulp van een integraal.
34p
Bereken
V met behulp van primitiveren volgens deze tweede methode.
opgave 2Spreekuur
Een huisarts heeft op elke werkdag twee uren gereserveerd voor een spreekuur. De ervaring
heeft haar geleerd dat zij tijdens het spreekuur gemiddeld tien minuten voor een patiënt
nodig heeft.
We maken bij deze situatie het volgende wiskundige model:
• elke werkdag komen er 12 patiënten op het spreekuur;
• de tijd die de huisarts tijdens het spreekuur voor een patiënt nodig heeft, is normaal
verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten en een standaardafwijking van 4 minuten.
Voor sommige patiënten heeft de arts meer dan 15 minuten nodig.
44p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal van zulke patiënten tijdens een spreekuur in
twee decimalen nauwkeurig.
55p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat tijdens een spreekuur minstens
zes patiënten meer dan 10 minuten kosten.
Neem aan dat de totale tijd die de arts voor 60 patiënten nodig heeft normaal verdeeld is
met een gemiddelde van 600 minuten en een standaardafwijking van 4
minuten.
In een week had de arts voor de 60 patiënten op haar spreekuur in totaal 654 minuten nodig.
Dat is aanzienlijk meer dan de 600 minuten die je zou verwachten.
65p
Onderzoek of deze gegevens voldoende aanleiding geven om de veronderstelde gemiddelde
tijd van 10 minuten te verhogen, bij een significantieniveau van 5%.
opgave 3Een holle spiegel
Als een lichtstraal wordt weerkaatst door een
holle spiegel, maken de invallende en de
weerkaatste lichtstraal gelijke hoeken met de
raaklijn in het betreffende punt aan de
spiegel. Zie figuur 1.
Een lichtstraal wordt twee keer door een holle spiegel weerkaatst: eerst in punt A en dan in
punt B. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
We onderscheiden drie stukken van de lichtstraal:
• l1 is het stuk vóórdat hij in A op de spiegel valt;
• l2 is het stuk tussen de punten A en B;
• l3 is het stuk nadat hij in B door de spiegel is weerkaatst.
76p
Bewijs dat geldt: als
l1 en
l3 evenwijdig zijn, staan de raaklijnen in
A en
B aan de spiegel
loodrecht op elkaar.
opgave 4De wijzers van een uurwerk
We volgen de eindpunten van de wijzers van een uurwerk. Daartoe brengen we een
De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de grote wijzer zijn:
De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de kleine wijzer zijn:
Op het tijdstip t = 0 liggen de wijzers over elkaar heen.
84p
Bereken het eerste tijdstip na
t = 0 waarop dit weer het geval is.
De (rechtstreekse) afstand tussen de eindpunten van de wijzers verandert voortdurend.
96p
Toon aan dat deze afstand op tijdstip
t gelijk is aan
.
104p
Bereken het eerste tijdstip na
t = 0 waarop de eindpunten van de wijzers, samen met de
oorsprong, een gelijkbenige driehoek vormen.
opgave 5Twee halve parabolen
figuur 3
De lijn x = p, met 0 < p < 1, snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
117p
Bereken de exacte waarde van
p waarvoor de lengte van het lijnstuk
AB maximaal is.
In figuur 4 zijn de grafieken van f en g en ook de lijn y = 6 − x getekend. Het gebied
ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g en de lijn y = 6 − x, is in de figuur grijs
gekleurd.
figuur 4
127p
Bereken algebraïsch de exacte oppervlakte van dit gebied.
opgave 6Het bissectricepunt
Op een cirkel liggen twee vaste punten A en B en een bewegend punt C.
Het gemeenschappelijke punt van de bissectrices (deellijnen) van driehoek ABC is P; dit
punt noemen we het
bissectricepunt van de driehoek.
ACB noemen we γ. Zie figuur 5.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 5
Er geldt:
APB = 90
γ.
134p
Bewijs dit.
De punten A en B verdelen de cirkel in twee bogen: boog I (de grote boog waar in figuur 5
het punt C op ligt) en de kleinere boog II.
We laten het punt C boog I doorlopen. We bekijken de baan die het bissectricepunt P dan
beschrijft. Deze baan is in figuur 6 getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
144p
Bewijs dat deze baan een cirkelboog is.
Het middelpunt van de cirkel waarvan deze baan een deel is, noemen we M.
153p
Druk
AMB uit in γ.
163p
Bewijs dat punt
M op boog II ligt.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Een rij punten
We definiëren in een assenstelsel twee rijen figuur 7 punten P n en Q n ( n = 1, 2, 3, …) als volgt: • P 1 is het punt (1, 4). Q 1 ligt recht onder P 1 , op afstand 1 van P 1 , dus Q 1 = (1, 3). • P 2 is het snijpunt van de lijn OQ 1 met de lijn x = 2. Q 2 ligt recht onder P 2 , op afstand 1 van P 2 . • P 3 is het snijpunt van de lijn OQ 2 met de lijn x = 3. Q 3 ligt recht onder P 3 , op afstand 1 van P 3 . Enzovoort. In figuur 7 zijn van beide rijen de eerste vijf punten aangegeven. De richtingscoëfficiënt van de lijn OP k figuur 8 noemen we r k ( k = 1, 2, 3, ...). Van de rij van richtingscoëfficiënten kun je de eerste drie termen uitrekenen: r 1 = 4, r 2 = 3 en r 3 = 2 ½ . Uit elke term r k kan de volgende term r k +1 berekend worden met de recursieve formule: r k +1 = r k – 1/k ( k = 1, 2, 3, ...). Zie figuur 8. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
→ Toon de juistheid van de recursieve formule aan. Uit figuur 7 blijkt dat de hoogtes van de eerste vijf punten P 1 , P 2 , P 3 , P 4 en P 5 weliswaar een stijgende rij vormen, maar dat de toenames in hoogte steeds minder worden. Hoe het verdere verloop van de hoogtes is, is niet onmiddellijk duidelijk.
→ Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine voor welke waarden van n de punten P n onder de x -as liggen. Licht je werkwijze toe. Ook zonder grafische rekenmachine kan worden aangetoond dat de punten P n voor voldoend grote waarden van n onder de x -as komen te liggen. Daarvoor mag je gebruiken dat de limiet voor n nadert tot oneindig van ∑ k n = 1 1/k oneindig is .
