Eindexamen wiskunde B vwo 2002 tijdvak 1 (wiskunde B1)

opgave 1Verschuivend zwaartepunt

Een kubusvormige bak met deksel heeft foto

binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt

1 kilogram.

Het zwaartepunt B van de bak ligt in het

centrum van de bak, dus 5 cm boven het

midden van de bodem.

De bak wordt met water gevuld tot een

hoogte van h cm.

Het zwaartepunt W van het water (de bak niet

meegerekend) ligt in het centrum van het

water, dus

h cm boven het midden van de

bodem.

Zie de foto en figuur 1 waarin op schaal een

vooraanzicht van de bak is getekend.

Het zwaartepunt van het geheel (bak en water figuur 1

samen) noemen we T.

Het punt T ligt op het lijnstuk BW.

Er geldt:

d_W +

d_B

Hierbij zijn d_T, d_W en d_B de afstand in cm van

achtereenvolgens T, W en B tot de bodem.

13p

Bereken d_T voor h = 3. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

24p

Toon aan dat voor de afstand van T tot de bodem, uitgedrukt in h, geldt: d _T = (h + 100)/(2h + 20)^2

Als de bak leeg is, valt T samen met B. Tijdens het vullen van de bak verschuift de plaats

van T eerst omlaag en later weer omhoog. Als de bak vol is, valt T weer samen met B.

34p

Bereken voor welke waarden van h geldt: d_T < 4,5. Geef je antwoord in één decimaal

nauwkeurig.

46p

Bereken exact voor welke waarde van h de afstand van T tot de bodem minimaal is.

opgave 2Pestgedrag

Om meer te weten te komen over het pestgedrag op een school wordt er een onderzoek

gedaan. Aan elke leerling die aan het onderzoek meedoet, wordt de volgende vraag gesteld:

pest jij wel eens? Omdat het onderwerp gevoelig ligt, zal niet elke pester naar waarheid

willen antwoorden. Daarom laat men de leerlingen antwoorden volgens de methode van

randomized response. Deze methode werkt als volgt: er wordt gebruik gemaakt van een

kansschijf die verdeeld is in de sectoren ja (15%), nee (15%) en naar waarheid (70%). Zie

figuur 2.

figuur 2

De leerling laat de wijzer van de kansschijf draaien. De wijzer komt tot stilstand in een

willekeurige positie. Als de wijzer tot stilstand komt in de sector naar waarheid, moet de

leerling eerlijk antwoorden. Als de wijzer in één van de andere sectoren komt, moet de

leerling verplicht antwoorden wat die sector aangeeft, ongeacht of hij wel of niet pest.

54p

Bereken de kans dat van 7 leerlingen er 5 naar waarheid moeten antwoorden en 2 verplicht

met „ ja”. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Leerlingen die het antwoord „ ja” geven, doen dat om één van de volgende redenen:

.de wijzer komt in de sector „ ja” dus antwoorden ze verplicht „ ja”

.de wijzer komt in de sector „naar waarheid ” en ze pesten wel eens.

Aan het onderzoek doen 900 leerlingen mee.

Neem bij de volgende vraag aan dat 20% van deze leerlingen wel eens pest.

64p

Toon aan dat dan naar verwachting 261 leerlingen „ ja” zullen antwoorden.

Bij de telling blijkt dat 311 leerlingen de vraag met „ja” hebben beantwoord. Dit doet

vermoeden dat het percentage leerlingen dat wel eens pest groter is dan 20%.

75p

Bereken bij welk percentage leerlingen dat wel eens pest het verwachte aantal antwoorden

„ ja” 311 is.

opgave 3Een beweging door (0, 0)

De beweging van een punt in het figuur 3 Oxy -vlak wordt voor 0 ≤ t ≤ 2 π gegeven door:

{ x ( t ) = cos(15 t ) + cos(2 t ) y ( t ) = sin(15 t ) + sin(2 t ) In figuur 3 is de baan van het punt getekend. → Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip t = 0. De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot: {/ x ( t ) = r ( t ) ⋅ cos( 8 ½ t ) met r ( t ) = 2cos(6 1 t ) y ( t ) = r ( t ) ⋅ sin( 8 ½ t ) 2

→ Toon dit aan. Bij het doorlopen van de baan van figuur 3 voor 0 ≤ t ≤ 2 π passeert het punt een aantal keren (0, 0).

opgave 4Hoogwater in Groningen

Trouw een artikel over de waterhoogte in het

Verbindingskanaal in Groningen. De

aanleiding hiervoor was de waterschade aan

het Groninger Museum, dat in dit kanaal

staat.

De grafiek in figuur 4 is ontleend aan dit

artikel. Het is de frequentieverdeling van de

meetresultaten van 8145 dagen in de jaren

1977–1999.

De waterhoogte (in cm boven NAP) in het

Verbindingskanaal noemen we X.

Op basis van de meetresultaten

veronderstellen we dat X normaal verdeeld is

met gemiddelde 63,8 cm. Van de 8145 gemeten waterhoogten was 6% onder de 50,0 cm.

Hieruit volgt dat de standaardafwijking van X ongeveer 9 cm is.

114p

Bereken op grond van bovenstaande gegevens de standaardafwijking van X in één decimaal

nauwkeurig.

Uit de statistiek is bekend dat het gemiddelde van een steekproef uit deze meetresultaten

ook normaal verdeeld is met µ = 63,8 en σ = (9)/(n)

, waarbij n het aantal meetresultaten in de

steekproef is.

Lettend op de neerslag en de verdamping is december de natste maand in Groningen. Om te

onderzoeken of de waterhoogte in december significant hoger is dan 63,8 berekent men het

gemiddelde G van de 22 waterhoogten op 15 december van de jaren 1977 tot en met 1998.

127p

Bereken bij welke gehele waarden van G men bij een significantieniveau van 5% mag

concluderen dat de gemiddelde waterhoogte in december groter is dan 63,8 cm.

opgave 5Bal te water

Een bal valt van enige hoogte in het water. figuur 5 Vanaf het moment dat de bal het wateroppervlak raakt, wordt hij afgeremd. Door zijn snelheid zal hij nog een stuk onder het wateroppervlak komen. Vervolgens zal de bal weer opstijgen naar het wateroppervlak. Zie figuur 5. Voor de snelheid v , in meters per seconde, van een bepaalde bal die in het water valt, geldt de formule: v ( t ) = 2 − 8e − 2 t Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het figuur 6 moment dat de bal in het water komt; v is positief als de bal omhoog gaat. Deze formule geldt alleen zolang de bal onder water is. Ter vereenvoudiging verwaarlozen we de diameter van de bal. In figuur 6 staat de grafiek van v voor de periode dat de bal onder water is. De gemiddelde versnelling (in m/s 2 ) van de bal tijdens de eerste t seconden dat hij onder water is, is gelijk aan de helling van het verbindingslijnstuk tussen de punten op de grafiek van v die horen bij de tijdstippen 0 en t . In figuur 6 is dit lijnstuk voor een waarde van t getekend.