bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2002, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Uit de kust

Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90° met elkaar
maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur 1.
In de figuur zijn twee stippellijnen getekend die loodrecht staan op AB en CD. In deze
opgave beperken we ons tot het gebied tussen deze stippellijnen.
De lengte van de isoafstandslijn (in kilometers) tussen de stippellijnen, op een afstand van
x kilometer uit de kust, noemen we L(x).
C D zee land A B
figuur 1
In figuur 1 is een isoafstandslijn getekend, x kilometer uit de kust. De lengte van deze
isoafstandslijn wordt gegeven door: L(x) 12 2x x.
14p
Toon dat aan.
Deze formule geldt alleen voor x 4; voor x > 4 geldt een andere formule voor L(x). Zonder
deze andere formule te kennen, kun je beredeneren tot welke waarde L(x) nadert als x nadert
tot oneindig.
24p
Hoe groot is L(x)? Licht je antwoord toe.
In figuur 2 liggen de punten E en F op de stippellijnen die loodrecht op AB en CD staan. EF
is evenwijdig aan AB en CD. De afstand van EF tot CD is 3 kilometer.
S E F C D zee land B A
figuur 2
Een speedboot S vaart met een snelheid van 1 km per minuut van E naar F. We noemen de
afstand (in km) van S tot de kust na t minuten varen: K(t).
Voor 4 t 8 geldt: K(t) 3.
35p
Toon aan dat voor 0 t 4 geldt: K(t) .
In figuur 3 is de grafiek van K getekend voor 0 ≤ t ≤ 8. De gemiddelde afstand van S tot de
kust noemen we g. In figuur 3 is ook de lijn y = g getekend. De oppervlakte onder de grafiek
van K is dus gelijk aan de oppervlakte onder de lijn y = g op het interval [0, 8].
5 K 4 y=g 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
figuur 3
45p
Bereken de waarde van g in twee decimalen nauwkeurig.

opgave 2Pestgedrag

Om meer te weten te komen over het pestgedrag op een school wordt er een onderzoek
gedaan. Aan elke leerling die aan het onderzoek meedoet, wordt de volgende vraag gesteld:
pest jij wel eens? Omdat het onderwerp gevoelig ligt, zal niet elke pester naar waarheid
willen antwoorden. Daarom laat men de leerlingen antwoorden volgens de methode van
randomized response. Deze methode werkt als volgt: er wordt gebruik gemaakt van een
kansschijf die verdeeld is in de sectoren ja (15%), nee (15%) en naar waarheid (70%).
Zie figuur 4.
figuur 4
naar waarheid ja nee
De leerling laat de wijzer van de kansschijf draaien. De wijzer komt tot stilstand in een
willekeurige positie. Als de wijzer tot stilstand komt in de sector naar waarheid, moet de
leerling eerlijk antwoorden. Als de wijzer in één van de andere sectoren komt, moet de
leerling verplicht antwoorden wat die sector aangeeft, ongeacht of hij wel of niet pest.
54p
Bereken de kans dat van 7 leerlingen er 5 naar waarheid moeten antwoorden en 2 verplicht
met „ja”. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
Leerlingen die het antwoord „ja” geven, doen dat om één van de volgende redenen:
.de wijzer komt in de sector „ja” dus antwoorden ze verplicht „ja”
of
.de wijzer komt in de sector „naar waarheid” en ze pesten wel eens.
Aan het onderzoek doen 900 leerlingen mee.
Neem bij de volgende vraag aan dat 20% van deze leerlingen wel eens pest.
64p
Toon aan dat dan naar verwachting 261 leerlingen „ja” zullen antwoorden.
Bij de telling blijkt dat 311 leerlingen de vraag met „ja” hebben beantwoord. Dit doet
vermoeden dat het percentage leerlingen dat wel eens pest groter is dan 20%.
75p
Bereken bij welk percentage leerlingen dat wel eens pest het verwachte aantal antwoorden
„ja” 311 is.

opgave 3Brandpunt en richtlijn zoeken

85p
In figuur 5 is het punt A een punt op de figuur 5
parabool p.
De lijn r is de raaklijn aan p in het punt A.
De lijn m is de as van p.
De figuur staat ook op de bijlage.
Teken in de figuur op de bijlage het
brandpunt en de richtlijn van p. Licht je
werkwijze toe.
m r A

opgave 4Een beweging door (0, 0)

De beweging van een punt in het Oxy -vlak figuur 6 wordt voor 0 ≤ t ≤ 2 π gegeven door:
{ x ( t ) = cos(15 t ) + cos(2 t ) y ( t ) = sin(15 t ) + sin(2 t ) In figuur 6 is de baan van het punt getekend. → Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip t = 0. De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot: {/ x ( t ) = r ( t ) ⋅ cos( 8 ½ t ) met r ( t ) = 2cos(6 1 t ) y ( t…

{ x ( t ) = cos(15 t ) + cos(2 t ) y ( t ) = sin(15 t ) + sin(2 t ) In figuur 6 is de baan van het punt getekend. → Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip t = 0. De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot: {/ x ( t ) = r ( t ) ⋅ cos( 8 ½ t ) met r ( t ) = 2cos(6 1 t ) y ( t ) = r ( t ) ⋅ sin( 8 ½ t ) 2

→ Toon dit aan. Bij het doorlopen van de baan van figuur 6 voor 0 ≤ t ≤ 2 π passeert het punt een aantal keren (0, 0).
→ Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.

opgave 5Wel of niet convergent?

125p
135p
Voor elke beginwaarde u0 is gegeven de figuur 7
rij u_n = − (1)/(2) (un–1)3 (voor n = 1, 2, 3, …).
In figuur 7 en op de bijlage is de grafiek van
de functie y = − (1)/(2) x3 getekend.
Neem u0 = 1(1)/(2).
Geef in de figuur op de bijlage op de
x-as de waarden u en u aan met behulp van
een webgrafiek.
Of de rij u0, u1, u2, … naar 0 convergeert,
hangt af van de beginwaarde u0.
Bereken exact voor welke waarden van u0 de
rij u0, u1, u2, … naar 0 convergeert.
y 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 x -1 -2 -3 -4

opgave 6Bal te water

Een bal valt van enige hoogte in het water. figuur 8
Vanaf het moment dat de bal het
wateroppervlak raakt, wordt hij afgeremd.
Door zijn snelheid zal hij nog een stuk onder
het wateroppervlak komen. Vervolgens zal de
bal weer opstijgen naar het wateroppervlak.
Zie figuur 8.
Voor de snelheid v, in meters per seconde,
van een bepaalde bal die in het water valt,
geldt de formule:
v(t) 2 8e
figuur bij de opgave
Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het
moment dat de bal in het water komt; v is positief als de bal omhoog gaat.
Deze formule geldt alleen zolang de bal onder water is. Ter vereenvoudiging verwaarlozen
we de diameter van de bal.
144p
In figuur 9 staat de grafiek van v voor de figuur 9
periode dat de bal onder water is.
De gemiddelde versnelling (in m/s2) van de
bal tijdens de eerste t seconden dat hij onder
water is, is gelijk aan de helling van het
verbindingslijnstuk tussen de punten op de
grafiek van v die horen bij de tijdstippen 0 en
t. In figuur 9 is dit lijnstuk voor een waarde
van t getekend.
Bereken de gemiddelde versnelling in m/s2
gedurende de eerste 2 seconden. Geef je
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De bal bereikt het diepste punt na ongeveer
0,7 seconden.
snelheid (m/s) v O t tijd (sec)
155p
Bereken het exacte tijdstip waarop de bal op het diepste punt is.
Het aantal meters dat de bal zich op een bepaald tijdstip onder het wateroppervlak bevindt,
kun je berekenen door de snelheid te integreren.
164p
Bereken de grootste diepte die de bal bereikt. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.

opgave 7Op één lijn

175p
In figuur 10 en op de bijlage zijn twee elkaar figuur 10
rakende cirkels c1 en c2 getekend met
middelpunten respectievelijk M1 en M2. Het
raakpunt van deze cirkels is S.
Lijn l raakt c1 in P en c2 in Q.
De gemeenschappelijke raaklijn aan c1 en c2
in S snijdt lijn l in punt T.
Bewijs dat de punten P, Q en S op één cirkel
met middelpunt T liggen.
M 1 P c 1 S T M 2 Q c 2
186p
Verder is gegeven dat QR een middellijn
van c2 is. Zie figuur 11. Ook deze figuur
staat op de bijlage.
Bewijs dat P, S en R op één lijn liggen.
figuur 11 M 1 P c 1 S T R M 2 Q c 2
√(Einde)
Lees verder