bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g ( ) g ( ) g ( ) log a + log b = log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g )
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Kopgroep
Vlakke etappes van grote meerdaagse wielerwedstrijden, zoals de Tour de France, voltrekken zich vaak volgens hetzelfde patroon. Een groep wielrenners, de vluchters, vertrekt vroeg in de etappe voor een aanval en blijft daarna een aantal uren voor de rest van de wielrenners, het peloton, uit rijden. Deze opgave gaat uitsluitend over vlakke etappes. Op zeker moment in een bepaalde etappe is er een groep vluchters die met een snelheid van 50 km/uur rijdt. De vluchters zijn op dat moment op 25 km van de eindstreep. Het peloton rijdt met een snelheid van 53 km/uur en is op datzelfde moment nog 28 km van de eindstreep.
Procenten, verhoudingen en eenheden 3p
Haalt het peloton de vluchters in voordat zij bij de eindstreep zijn, ervan uitgaand dat zowel de vluchters als het peloton niet harder of langzamer gaan rijden? Licht je antwoord toe. In het laatste uur van de etappe gaan de wielrenners in het peloton vaak jagen : ze gaan dan nog wat harder fietsen om de vluchters in te halen. De wiskundige Hendrik Van Maldeghem heeft een formule ontwikkeld waarmee voor vlakke etappes berekend kan worden hoeveel kilometer het peloton nodig heeft om een groep vluchters in te halen. Als de vluchters een constante snelheid hebben van 50 km/uur, ziet de formule er als volgt uit: K het aantal kilometers voor de eindstreep waarop het peloton moet beginnen te jagen om de achterstand nog in te lopen; a de achterstand van het peloton op het moment dat het jagen moet beginnen, uitgedrukt in uren; p de snelheid van het peloton tijdens het jagen in km/uur, met p tussen 50 en 75 km/u; c hangt af van het aantal vluchters s : − als s < 10 , dan geldt c = 10 − s , − als s ≥ 10 , dan geldt c = 0 . Bij deze formule wordt ervan uitgegaan dat het peloton tijdens het jagen met dezelfde constante snelheid blijft rijden.
Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met de formule de minimale snelheid waarmee het peloton moet gaan jagen om de vluchters te kunnen inhalen. Geef je antwoord in een geheel aantal km/uur. Voor groepen vluchters die uit 10 of meer wielrenners bestaan, en waarvoor de achterstand van het peloton 6 minuten is, is de formule te herleiden tot K = . Ook hier nemen we aan dat het peloton altijd rijdt met snelheden tussen 50 en 75 km/uur. d K d K 0,1 ⋅ p ⋅ ( p − 100) Voor de afgeleide geldt: = d p d p
opgave 2Dichtheidshoogte
De prestaties van een vliegtuig zijn afhankelijk van vele factoren, zoals de
luchtdruk, de temperatuur en de hoogte waarop het vliegtuig vliegt.
Voor en tijdens een vlucht worden er allerlei berekeningen gemaakt,
bijvoorbeeld om te bepalen hoeveel brandstof het vliegtuig nodig heeft en
hoe steil het vliegtuig kan stijgen en dalen.
Om onder allerlei verschillende omstandigheden dezelfde
(veiligheids)richtlijnen te kunnen hanteren, ontwikkelde de Internationale
Burgerluchtvaartorganisatie het model van de zogeheten
standaardatmosfeer.
Dit model geldt slechts beperkt, want in werkelijkheid blijft de temperatuur
vanaf een bepaalde hoogte constant op –56,5 °C.
In het model gelden de volgende formules:
− Voor de temperatuur: T = 15 − 0,0065h met T de temperatuur
in °C en h de hoogte in meter (m).
5,2561
− Voor de luchtdruk:
met
L de luchtdruk
in hectopascal (hPa) en h de hoogte in meter (m).
De luchtdruk L is nooit kleiner dan nul. Vanaf een bepaalde hoogte geeft
de formule voor L geen uitkomsten meer.
75pStijgen, dalen en veranderingsgedrag 3p · Kettingregel 2p
Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van L, zonder
getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, of de luchtdruk
toenemend of afnemend daalt als h toeneemt.
In werkelijkheid zal een vliegtuig zelden in een standaardatmosfeer
vliegen. Daarom worden de werkelijke omstandigheden waarin het
vliegtuig zich bevindt, omgerekend naar de standaardatmosfeer. Het
resultaat van deze berekening is de zogenoemde dichtheidshoogte (D).
Dit is de theoretische hoogte waarop het vliegtuig zich zou bevinden in de
standaardatmosfeer. Met de berekende dichtheidshoogte kan de piloot
volgens de richtlijnen de veilige landingssnelheid bepalen.
Het berekenen van de dichtheidshoogte D gaat als volgt:
1 Meet de werkelijke luchtdruk en bereken met behulp van de formule
voor L de bijbehorende theoretische hoogte. Deze hoogte wordt de
drukhoogte (hP) (in m) genoemd.
2 Bereken de theoretische temperatuur (TP) die volgens het model van
de standaardatmosfeer hoort bij deze drukhoogte.
3 Meet de werkelijke temperatuur (TW).
4 Nu geldt voor de dichtheidshoogte: D = hP + 36,576 ⋅ (TW − TP),
met D en hP in m, TW en TP in °C.
De piloot van een vliegtuig wil haar landing inzetten.
De luchtdrukmeter geeft 990 hPa aan, de temperatuur is 21,4 °C.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p
Bereken de dichtheidshoogte die hierbij hoort. Geef je antwoord in hele
meters.
Er bestaat een vuistregel om de drukhoogte hP te bepalen. Deze
vuistregel is op grote hoogte niet bruikbaar, maar is wel geschikt als een
vliegtuig op een lagere hoogte vliegt.
De vuistregel luidt: hP = 8,23 ⋅ (1013,25 − M) met M de gemeten luchtdruk
in hPa en hP in m.
Door deze formule voor de drukhoogte in te vullen in de formule voor de
temperatuur in het model van de standaardatmosfeer, kan een lineair
verband worden opgesteld tussen M en TP.
Dit verband heeft de vorm TP = a ⋅ M + b met M in hPa en TP in °C.
opgave 3Beweging
In Utrecht staat het kunstwerk Beweging van de kunstenaar
Lolke van der Bij. Het is opgebouwd uit drie even grote golvende stalen
balken die onder gelijke hoeken tegen elkaar staan. Zie de foto.
Zoals je in het bovenaanzicht kunt zien, kijk je bij de foto recht naar de
linker balk. Je ziet slechts twee balken, want de derde balk bevindt zich
precies achter de rechter balk op de foto. Op de foto is de breedte van de
rechter balk precies de helft van die van de linker balk.
In de figuur is in een assenstelsel een verkleind model van de situatie op
de foto weergegeven. De randen van de linker en rechter balk zijn
sinusoïden.
figuur
Door het midden van het kunstwerk loopt een denkbeeldige verticale lijn
waarop de balken elkaar raken. Deze lijn is de x-as in het model.
In het verkleinde model zijn de x- en y-waarden de afmetingen in mm.
Een formule voor de bovenste sinusoïde in de figuur is:
Zoals eerder vermeld, is op de foto de breedte van de rechter balk precies
de helft van die van de linker balk. De formule van de onderste sinusoïde
in de figuur heeft de vorm
y = a +bsin
.
104pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4p
Bereken mogelijke waarden voor a, b, c en d in deze formule. Geef a, b en
c in twee decimalen en d in gehelen.
De formule
hoort bij de bovenste
sinusoïde in de figuur, dus bij de buitenrand van de linker balk op de foto.
De sinusoïde daaronder in de figuur hoort bij de binnenrand van de linker
balk op de foto.
In werkelijkheid zijn de afmetingen van het kunstwerk 80 keer zo groot als
die van het model.
115pSinusoïden: periode, amplitude en formule 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Stel een formule op voor de werkelijke afstand in cm tussen de
binnenrand van de linker balk en de denkbeeldige verticale lijn door het
midden van het kunstwerk uitgedrukt in x, de hoogte vanaf de grond
in cm.
Op zonnige dagen werpt het kunstwerk een schaduw op het grasveld. De
lengte van deze schaduw is afhankelijk van de hoogte van de zon op dat
moment.
De maximale hoogte waarop de zon op een bepaalde dag in 2021 staat,
wordt bij benadering gegeven door de formule:
H = 38,0 + 23,5sin(0,0172(t − 80))
Hierin is H de hoogte van de zon boven de horizon in graden en t de
betreffende dag in het jaar met t = 0 op 1 januari 2021.
Als de maximale hoogte van de zon op een dag 45 graden is, wordt de
schaduw van het kunstwerk op dat moment even lang als het kunstwerk
zelf. Dit gebeurt op twee dagen in 2021, op 8 april voor het eerst.
opgave 4Kaartenhuis
Door speelkaarten op elkaar te stapelen,
kan je een kaartenhuis bouwen.
Op de foto zie je een kaartenhuis van drie
lagen.
Het kaartenhuis op de foto is gebouwd
volgens de zogeheten driehoeksconstructie.
Bij de driehoeksconstructie ga je als volgt te
werk:
− Zet steeds naast elkaar twee kaarten
schuin tegen elkaar (de zwarte lijnstukken
in de figuur hieronder).
− Leg een kaart op de toppen (de
gestippelde lijnstukken in de figuur).
− Ga door tot het kaartenhuis af is.
In de figuur is dit schematisch weergegeven voor een kaartenhuis van vier
lagen.
figuur
In deze opgave beschouwen we kaartenhuizen die volgens de
driehoeksconstructie zijn gebouwd.
Zowel het aantal staande kaarten als het aantal liggende kaarten in een
laag vormt een rekenkundige rij. Door voor beide aantallen een directe
formule op te stellen, kan een directe formule voor het totaal aantal
kaarten in een laag gevonden worden.
Deze formule is K(n) = 3n −1, met K(n) het totaal aantal kaarten in de
n-de laag. De liggende kaarten horen bij de laag waarop ze liggen, dus de
bovenste liggende kaart in de figuur hoort bij laag 2.
132pRijen en recursie 2p
Stel voor zowel de staande kaarten als voor de liggende kaarten in de
n-de laag een directe formule op en toon daarmee aan dat K(n) = 3n −1.
Het totaal aantal kaarten in een kaartenhuis van n lagen noemen we
T(n). Een directe formule hiervoor is
.
Omdat T(n) de somrij is van K(n) moet gelden: T(n) − T(n −1) = K(n).
153pLineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Rijen en recursie 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel pakjes speelkaarten nodig zijn voor het kaartenhuis
waarbij voor de onderste laag zoveel mogelijk kaarten van één pakje
speelkaarten zijn gebruikt.
Met de kaarten van drie pakjes speelkaarten wordt een zo hoog mogelijk
kaartenhuis gebouwd. Met de kaarten die overblijven wordt daarna een
tweede zo hoog mogelijk kaartenhuis gebouwd. Zo gaat men door totdat
alle kaarten op zijn of totdat er te weinig kaarten over zijn om nog een
kaartenhuis te bouwen.
164pRekenen met een gegeven formule 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek met een berekening welke kaartenhuizen gebouwd zullen
worden.
De formule voor
T(n) is te herleiden tot
.
Omdat je bij het bouwen van een kaartenhuis met de n-de laag begint,
moet je van tevoren weten uit hoeveel lagen een kaartenhuis bestaat als
je weet hoeveel speelkaarten je gebruikt. Daarvoor is het handig om een
formule te hebben waarin n wordt uitgedrukt in T.
opgave 5Bevolkingsgroei
Deze opgave gaat over een algemeen model voor de bevolkingsgroei
waarbij men gebruikmaakt van de populatiegroei-ratio. Dit is een maat
voor de bevolkingsgroei. De populatiegroei-ratio is als volgt gedefinieerd:
Hierin is r de populatiegroei-ratio, W(0) de wereldbevolking in miljoenen
op een bepaald tijdstip en W(t) de wereldbevolking in miljoenen t jaar
later.
Door verschillende aannames voor de populatiegroei-ratio te doen, komt
men tot verschillende voorspellingen voor de grootte van de
wereldbevolking.
Op 1 juli 2015 was de wereldbevolking 7383 miljoen en op 1 juli 2020 was
dat 7834 miljoen.
Men wil de wereldbevolking op 1 juli 2025 berekenen met behulp van de
populatiegroei-ratio uit de periode 2015-2020. Neem aan dat deze ratio in
de toekomst gelijk blijft.
193pFormules herleiden en omwerken 3p
Geef deze herleiding.
Als de populatiegroei-ratio over twee even lange aaneengesloten
perioden bekend is, kan de populatiegroei-ratio over de twee perioden
samen als volgt worden berekend:
ofwel
.
Hierin is
de populatiegroei-ratio over de eerste periode,
r2 de
populatiegroei-ratio over de tweede periode en r de populatiegroei-ratio
over de twee perioden samen.
204pFormules herleiden en omwerken 4p
Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat
.
In het algemeen geldt:
Als
,
r2, …,
rn de populatiegroei-ratio’s over
n aaneengesloten even
lange perioden zijn, dan is de populatiegroei-ratio r over de totale
periode gelijk aan
.
In de tabel zijn populatiegroei-ratio’s gegeven over periodes van vijf
aaneengesloten jaren in de periode 2020-2050. Deze waarden horen bij
een bepaalde voorspelling van de wereldbevolking.
tabel
Met behulp van de populatiegroei-ratio’s uit de tabel en de eerder
genoemde formule W(t) = W(0) ⋅ e0,001⋅r⋅t kun je berekenen met hoeveel
procent de wereldbevolking volgens deze voorspelling groeit in de totale
periode 2020-2050.
opgave 6Einduitslag van de Volvo Ocean Race
De Volvo Ocean Race (VOR) is een zeilwedstrijd rond de wereld die om
de drie jaar gevaren wordt. Aan de editie van 2017-2018 namen zeven
teams deel.
De VOR bestaat uit etappes en havenraces. De etappes gaan van de ene
havenplaats naar de andere en duren meerdere dagen. De havenraces
zijn wedstrijden van enkele uren dicht bij de kust.
Zowel voor de etappes als voor de havenraces zijn punten te verdienen.
De tussenstand na tien etappes en negen havenraces staat in de tabel.
tabel
In het klassement zijn de punten voor de etappes belangrijker dan de
punten voor de havenraces. De eindwinnaar van de VOR is het team dat
aan het einde de meeste punten voor de etappes behaald heeft.
Als twee teams evenveel punten voor de etappes hebben, wordt gekeken
naar de punten voor de havenraces om te bepalen welk team hoger in het
klassement staat. In de tussenstand in de tabel is bijvoorbeeld te zien dat
team M en team B allebei 65 punten hebben voor de etappes en dat
team M op de eerste plaats staat, omdat team M meer punten heeft voor
de havenraces.
Als aan het einde van de VOR twee teams evenveel punten voor de
etappes hebben en ook evenveel punten voor de havenraces, dan wordt
op basis van de gezeilde tijd in de etappes bepaald wie hoger staat in de
einduitslag.
De tussenstand in de tabel geeft de situatie weer waarin er nog één
etappe en twee havenraces moeten worden gevaren.
Voor de laatste etappe zijn nog de volgende punten te verdienen:
− De winnaar van de laatste etappe krijgt 8 punten, het tweede team
krijgt 6 punten, het derde team 5 punten, enzovoort (steeds 1 punt
minder). Een team dat de finish niet haalt, krijgt 0 punten.
− Het team dat de snelste totale tijd over alle etappes heeft gevaren
krijgt een bonuspunt bij de totale punten voor de etappes. Op basis
van hun prestaties op de eerdere etappes is nu al bekend dat dit punt
naar team D gaat.
Voor de havenraces geldt de volgende puntentelling: De winnaar van een
wedstrijd krijgt 7 punten, het tweede team krijgt 6 punten, het derde team
5 punten, enzovoort. Een team dat de finish niet haalt, krijgt 0 punten.
226pTelproblemen 6p
Onderzoek hoeveel verschillende einduitslagen er mogelijk zijn op basis
van bovenstaande gegevens.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
tot een formule van de vorm 
.
, 
en 
.
