bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Linkshandigen en ronde getallen
Onderzoek uit 2013 heeft uitgewezen dat linkshandigen eerder geneigd
zijn ronde getallen te kiezen dan rechtshandigen. Deelnemers aan het
onderzoek kregen elk 60 vragen voorgelegd, waarop het antwoord een
geheel getal is.
De vragen waren bijvoorbeeld:
− Hoeveel knopen heb je in je klerenkast?
− Hoeveel diersoorten kun je noemen?
− Hoeveel eieren heb je vorig jaar gegeten?
Bij het onderzoek werd alleen gekeken naar de vragen waarop een
antwoord werd gegeven vanaf 20 tot en met 1000. Linkshandigen bleken
vaker een rond getal als antwoord te geven dan rechtshandigen.
Wat is eigenlijk een rond getal? Een rond getal is een getal dat eindigt op
één of meer nullen, dus bijvoorbeeld 20 of 300. Maar is 100 een ronder
getal dan bijvoorbeeld 1000? En hoe zit het dan met getallen die niet op
een nul eindigen, maar wel ‘mooi’ zijn, zoals bijvoorbeeld 25?
Om de rondheid van getallen te bepalen, gebruikten de onderzoekers de
definitie van Sigurd. Deze definitie zegt dat de rondheid van een getal
ervan afhangt of het getal een veelvoud is van machten van 10, of van
helften of kwarten van machten van 10.
De rondheid R wordt voor de getallen (n) vanaf 20 tot en met 1000 dan als
volgt berekend:
Elke term
telt alleen mee als
n een veelvoud van de teller is.
We spreken af dat getallen n ronder zijn, naarmate R(n) hoger is.
Zo geldt bijvoorbeeld voor het getal 600:
14pRekenen met een gegeven formule 4p
Onderzoek met behulp van de formule welke van de twee getallen 750 en
600 het rondst is.
De rondheid van 1000 is groter dan die van 500. Het is echter niet zo dat
600 ook ronder is dan 500. Sterker nog, voor alle honderdtallen tussen
500 en 1000 geldt dat de rondheid ervan steeds kleiner wordt.
Je kunt dat beredeneren door de formule te herschrijven tot een formule
die alleen voor honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt. Dat kan worden
gedaan met behulp van de substitutie n = 100p (met p de gehele getallen
6 tot en met 9) en daarna de formule te herleiden tot
.
24pFormules herleiden en omwerken 2p · Evenredigheden en machtsverbanden 2p
Toon dit aan en beredeneer vervolgens aan de hand van deze formule,
zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat de rondheid van de
honderdtallen tussen 500 en 1000 steeds kleiner wordt.
Er waren 200 deelnemers aan het onderzoek, die elk 60 vragen kregen
voorgelegd. 1,3% van de gegeven antwoorden was een getal boven de
1000. Na het wegstrepen van deze antwoorden, en het wegstrepen van
de antwoorden beneden de 20, bleven er 3412 antwoorden over die
waren gegeven door linkshandigen, en 4329 die waren gegeven door
rechtshandigen.
34pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken het percentage gegeven antwoorden beneden de 20. Geef je
antwoord in één decimaal.
In onderstaande figuur staat een overzicht van de gegeven antwoorden
door de links- en rechtshandigen. Van de 3412 antwoorden van de
linkshandigen was 6,7% het getal 20. Van de 4329 gegeven antwoorden
van de rechtshandigen was dit percentage 5,7. Het verschil tussen deze
twee percentages is 1. In de figuur zie je daarom bij het getal 20 een stip
staan op een hoogte van 1%.
figuur
De horizontale as heeft een logaritmische schaalverdeling.
In de figuur is het volgende zichtbaar gemaakt: hoe dikker de verticale
streep bij een getal, hoe ronder dat getal.
Veel ronde getallen worden procentueel vaker genoemd door
linkshandigen dan door rechtshandigen.
Het antwoord 100 werd 276 maal gegeven door de linkshandigen.
opgave 2Draaiend huis
Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is ‘staat’ niet het
goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is
dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats
kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Körmeling.
Zie foto 1 en foto 2 hieronder.
Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag
op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen
op dezelfde plaats ziet.
Op een maandag staat het huis om acht uur ‘s morgens (08.00 uur)
precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave
is dit t = 0. In figuur 1 is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is
in figuur 1 weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.
figuur 1
Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.
73pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel hele weken na tijdstip t = 0 het huis zich voor het eerst
weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.
De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter.
De afstand A in meters van het huis tot de west-oost-as gedurende een
rondgang over de rotonde kan worden weergegeven met de formule
, met
t de tijd in uren, en
t = 0 op het moment dat het huis
in O is. Hierbij worden afstanden onder de west-oost-as als negatieve
getallen weergegeven.
Je kunt de formule ook zó schrijven dat het beginpunt (t = 0) in het
noorden, in punt N ligt. De formule heeft dan de volgende vorm:
opgave 3Mathematical Bridge
Op foto 1 zie je de Mathematical Bridge, een houten brug in Cambridge.
Deze brug werd in 1748 ontworpen door William Etheridge.
Als je goed kijkt naar de brug, dan zie je dat deze bestaat uit een aantal
balken die een denkbeeldige boog (gevormd door de onderkant van de
brug) raken. Zie foto 2.
We maken van deze brug een wiskundig model. De onderkant van de
brug is 12,19 m breed en deze onderkant beschouwen we als een deel
van een cirkel met straal 9,75 m. Zie de figuur, waarin de maten gegeven
zijn in meters. De standaardformule voor een cirkel met middelpunt (0, 0)
en straal r is x2 + y2 = r2.
figuur
Wanneer we de oorsprong O kiezen zoals in de figuur aangegeven, dan
geldt voor de hoogte van de onderkant van de brug:
Hierbij zijn x en y in meters.
113pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken het hoogteverschil tussen het beginpunt en het hoogste punt van
de onderkant van de brug. Geef je antwoord in gehele cm.
Op foto 3 zie je een raaklijn die ongeveer gelijk loopt met het begin van
het looppad van de brug. Deze raaklijn raakt de cirkel in het punt
(−1,90;9,56). Zowel dit punt als het beginpunt van de raaklijn is in de foto
aangegeven.
foto 3
opgave 4The International
Electronic Sports, afgekort E-Sports, is de term die wordt gebruikt voor
het competitief spelen van computerspellen. Hoewel het tegen andere
spelers spelen van computerspellen al bijna net zo lang bestaat als de
spellen zelf, wordt algemeen aangenomen dat E-Sports bestaat sinds
1998. Dat is namelijk het jaar dat er voor het eerst een officieel E-Sports-
toernooi gehouden werd waarbij geldprijzen te winnen waren.
In 1998 was er in totaal zo’n 100 000 dollar te verdienen door de spelers.
Sinds dat jaar is E-Sports uitgegroeid tot een internationaal fenomeen.
In 2016 streden tienduizenden spelers in zo’n honderd verschillende
spellen om een totale prijzenpot van ruim 95 miljoen dollar.
In figuur 1 is de ontwikkeling weergegeven van het totale prijzengeld dat
in E-Sports omgaat.
figuur 1
De totale prijzenpot nam van 2009 tot en met 2016 toe van 3,7 miljoen tot
95,1 miljoen dollar. Als we ervan uitgaan dat deze groei exponentieel was
en ook na 2016 exponentieel doorzet, dan zal het totale prijzengeld
binnen enkele jaren tot boven de 1 miljard dollar stijgen.
134pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Exponentiële functies en groei 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met behulp van de gegevens uit 2009 en 2016 in welk jaar dat
het geval zal zijn.
Bijna de helft van het totale prijzengeld in E-Sports wordt gewonnen door
spelers van één bepaald spel. Dit spel wordt gespeeld door twee teams
van elk vijf spelers, waarbij elk van de spelers een eigen held bestuurt. De
spelers proberen met hulp van door de computer bestuurde troepen het
gebied van de tegenstander te veroveren.
Er zijn bij dit spel 112 verschillende helden, die worden onderverdeeld in
drie categorieën: er zijn 49 aanvallers, 27 verdedigers en de overige
helden zijn ondersteunende helden.
Aan het begin van het spel kiezen de teams volgens een gecompliceerd
systeem beurtelings hun helden. Iedere held kan hierbij slechts één keer
gekozen worden.
Het is gebruikelijk dat een team bestaat uit twee aanvallers, één
verdediger en twee ondersteunende helden.
144pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende samenstellingen er mogelijk zijn van twee
aanvallers, één verdediger en twee ondersteunende helden.
In elk team zitten vijf helden. Het spelgebied waarop de teams elkaar
bestrijden kan globaal worden ingedeeld in drie zones: Noord, Midden en
Zuid. Een held kan een rol krijgen in een van deze drie zones. Bovendien
bestaat er de mogelijkheid om een held tussen de zones te laten
wisselen; we noemen dat een zwervende held. Er zijn dus eigenlijk vier
mogelijke rollen voor een held: Noord, Midden, Zuid en zwervend.
Teams kiezen er altijd voor om in elk van de drie zones ten minste één
held te plaatsen. Een mogelijke verdeling van de aantallen helden is dan
bijvoorbeeld: 1 held in Noord, 1 held in Midden, 2 helden in Zuid en 1
zwervende held. We gaan er hierbij vanuit dat het niet van belang is welke
held in welke zone aanwezig is.
154pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel van zulke verdelingen er voor één team mogelijk zijn als
elk van de zones Noord, Midden en Zuid ten minste één held moet
bevatten.
Voor het spel worden gedurende het jaar diverse toernooien met
uiteenlopende geldprijzen gehouden, maar het belangrijkste toernooi is
The International, dat jaarlijks in augustus gehouden wordt. Teams uit alle
delen van de wereld proberen via kwalificatietoernooien een van de
zestien deelnamebewijzen te bemachtigen. En met een goede reden: in
2016 was de prijzenpot voor The International ruim 20 miljoen dollar.
Dat het prijzengeld zo hoog is bij The International komt doordat het
toernooi crowdfunded is. Dat wil zeggen: spelers van het spel kunnen
gedurende een periode voorafgaand aan het toernooi bijdragen aan de
prijzenpot.
Het verloop van de hoogte van de prijzenpot voor The International 2016
staat in figuur 2.
figuur 2
De totale prijzenpot voor The International 2016 was als volgt opgebouwd:
− De organisatie van het toernooi, in dit geval de ontwikkelaar van het
spel, legde een bepaald startbedrag in de prijzenpot.
− De ontwikkelaar gaf de spelers van het spel vanaf 16 mei de
mogelijkheid om virtuele voorwerpen te kopen die zij in het spel
konden gebruiken. Van de opbrengsten daarvan werd 25% aan de
prijzenpot toegevoegd.
De grafiek in figuur 2 kan redelijk worden benaderd met de volgende
formule:
P = 8,157 ⋅ ln(0,1(t + 10)) + 1,6
In deze formule is P het totale prijzengeld in miljoenen dollars en t de tijd
in dagen met t = 0 op 16 mei 2016.
Volgens een website die verslag doet van E-Sports-toernooien hadden
spelers binnen een maand 40 miljoen dollar uitgegeven aan virtuele
voorwerpen.
164pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de formule voor P na hoeveel hele dagen dat het
geval was.
In de grafiek in figuur 2 is goed te zien dat de toename van de totale
prijzenpot niet regelmatig verliep. Dat kwam doordat de ontwikkelaar af en
toe met speciale acties kwam om spelers te verleiden extra voorwerpen te
kopen.
Een van die acties was bijvoorbeeld op 30 juni. Op die dag groeide de
prijzenpot met 1,125 miljoen dollar. Dat is een veel sterkere toename dan
je op basis van de afgeleide van P mag verwachten.
opgave 5Huurprijzen in New York
New York is al decennialang een van de populairste steden ter wereld om
te wonen met als gevolg dat de gemiddelde prijs van huurwoningen er
explosief gestegen is. In 1970 bedroeg de gemiddelde huur van een
woning in New York $ 125 per maand. In 2013 was dat gestegen tot $ 917
per maand. Dat is een toename van ruim 600%.
Zo’n vergelijking is echter niet helemaal eerlijk, want de waarde van geld
verandert ook. Dat heet inflatie. Sinds 1970 bedroeg de gemiddelde
inflatie per jaar 3,95%. We gaan ervan uit dat sinds 1970 de huurprijzen,
onafhankelijk van andere factoren, jaarlijks door de inflatie 3,95%
gestegen zijn.
Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de
reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde
huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen
boven op de stijging als gevolg van de inflatie.
183pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één
decimaal.
In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie. Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.
Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te
onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan
het betalen van de huur: de huurlast.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.
Doordat de huurprijzen sneller stijgen dan de inkomens, neemt de
huurlast steeds verder toe: van 15% in 1960 tot 21% in 2013. Een
econoom beweert dat er zich grote problemen zullen gaan voordoen als
de huurlast boven de 25% uitkomt. De econoom gaat ervan uit dat de
huurlast exponentieel is toegenomen sinds 1960 en dat die exponentiële
stijging zich ook na 2013 voortzet.
194pExponentiële functies en groei 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar de huurlast volgens deze veronderstelling voor het
eerst groter is dan 25%.
In de figuur hieronder is het werkelijke verloop van de huurprijs in New
York en van het inkomen van zijn inwoners als percentage van de
bedragen in 1960 uitgezet tegen de tijd.
figuur
Hieronder staan twee uitspraken die gaan over de gegevens in de figuur:
1 In de periode 1960–1980 steeg de huurprijs sneller dan in de periode
1980–2000.
2 In de periode 1990–2000 daalde de huurlast.
opgave 6Inkomensongelijkheid
Het primair inkomen van een huishouden bestaat uit de som van alle
bruto inkomens uit werk en vermogen van alle personen uit dat
huishouden. Als in een huishouden niemand betaald werk heeft of over
vermogen beschikt, dan is het primair inkomen van dit huishouden gelijk
aan nul.
Het totale primair inkomen van alle huishoudens in Nederland in 2014 was
376,3 miljard euro. Er waren toen in totaal 7,8 miljoen huishoudens en
16,7 miljoen personen.
In de tabel zijn alle huishoudens op basis van hun primair inkomen
gerangschikt en verdeeld in tien groepen die elk ongeveer evenveel
huishoudens bevatten. De eerste groep bevat de huishoudens met de
laagste primaire inkomens en de tiende groep bevat die met de hoogste
primaire inkomens.
tabel
In de tabel kun je bijvoorbeeld zien dat de groep met de hoogste primaire
inkomens 776 000 huishoudens bevat en uit 2 535 000 personen bestaat.
Van het totale primair inkomen van 376,3 miljard euro is 35% van deze
groep. Dit is 131,705 miljard euro.
De mate van inkomensongelijkheid tussen personen wordt weergegeven
door S. We definiëren S als volgt:
S is het gemiddeld inkomen per persoon in de tiende groep min het
gemiddeld inkomen per persoon in de eerste groep.
Je kunt met de bovenstaande gegevens berekenen dat S bij het
primair inkomen ongeveer 51 955 euro is.
Door uitkeringen te geven en belastingen te heffen, verkleint de
Nederlandse overheid de inkomensongelijkheid.
Als we bij het primair inkomen van een huishouden alle ontvangen
uitkeringen optellen en alle betaalde belastingen eraf halen, krijgen we
het secundair inkomen van het huishouden.
In de figuur staat voor dezelfde tien groepen huishoudens als in de tabel
het verschil tussen het secundair en primair inkomen per huishouden.
figuur
secundair inkomen min primair inkomen per huishouden
In de figuur kun je bijvoorbeeld zien dat het secundair inkomen per
huishouden in de eerste vijf groepen hoger is dan het primair inkomen.
Er is dan een hoger bedrag aan uitkeringen ontvangen dan er aan
belasting is betaald.
Door de uitkeringen en belastingen zal S bij het secundair inkomen kleiner
zijn dan bij het primair inkomen.
hoeveel procent van
