Eindexamen wiskunde A havo 2005 tijdvak 1 (wiskunde A1,2)

opgave 1Er zijn nog drie wachtenden voor u …

Een callcenter verleent telefonische diensten voor bedrijven, zoals het opnemen

van bestellingen of het afhandelen van vragen.

Het aantal telefoontjes en de gespreksduur per telefoontje variëren in een

callcenter. Als je zo’n callcenter belt, kun je soms direct geholpen worden. Het is

ook mogelijk dat je te horen krijgt: “Er zijn nog drie wachtenden voor u”. Er is

dan een rij van wachtenden ontstaan.

Je belt naar een callcenter. De kans K dat je moet wachten, hangt af van het aantal

telefonisten T en van het product a⋅g. In dit product is:

a het gemiddeld aantal telefoontjes per minuut;

g de gemiddelde gespreksduur in minuten.

De kans K dat je moet wachten, vind je in tabel 1. Deze tabel staat vergroot op de

bijlage.

Je ziet dat de tabel maar voor de ‘helft’ is ingevuld. We bekijken in deze opgave

namelijk alleen de situatie dat er meer telefonisten beschikbaar zijn dan er

gemiddeld in gesprek zijn, want anders ontstaat er altijd een rij wachtenden.

Daarom moet gelden T > a ⋅ g.

De kans K dat een beller moet wachten

aantal telefonisten T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0,333 0,091 0,020 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 0,444 0,174 0,060 0,018 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 0,509 0,236 0,099 0,038 0,013 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 0,554 0,285 0,135 0,059 0,024 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 0,588 0,324 0,167 0,081 0,036 0,015 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 0,614 0,357 0,196 0,101 0,049 0,022 0,010 0,004 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 7 0,635 0,385 0,222 0,121 0,063 0,031 0,014 0,006 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 8 0,653 0,409 0,245 0,140 0,076 0,039 0,019 0,009 0,004 0,002 0,001 0,000 9 0,669 0,430 0,266 0,158 0,089 0,048 0,025 0,012 0,006 0,003 0,001 10 0,682 0,449 0,285 0,174 0,102 0,057 0,031 0,016 0,008 0,004 11 0,694 0,466 0,303 0,190 0,115 0,066 0,037 0,020 0,010 12 0,704 0,482 0,319 0,205 0,127 0,076 0,044 0,024 13 0,714 0,496 0,334 0,219 0,138 0,085 0,050 14 0,722 0,508 0,348 0,232 0,150 0,094 15 0,730 0,520 0,361 0,244 0,160 16 0,737 0,

In callcenter DirectCall zijn ’s ochtends 11 telefonisten aanwezig. Er komen per

minuut gemiddeld 2 telefoontjes binnen. De gespreksduur van die telefoontjes is

gemiddeld 4 minuten.

13p

Laat zien dat de kans dat een beller ’s ochtends moet wachten, ongeveer 0,25 is.

Voor een beller is de wachttijd belangrijker dan de kans op wachten.

Een wiskundige heeft een formule gemaakt voor de gemiddelde wachttijd in

minuten:

gemiddelde wachttijd = (K ⋅ g)/(T − a ⋅ g)

23p

Bereken hoe lang een beller ’s ochtends gemiddeld moet wachten.

Geef het antwoord in hele seconden.

’s Middags zijn er bij DirectCall 14 telefonisten aanwezig. Er komen per minuut

gemiddeld 8 telefoontjes binnen, die gemiddeld 1,5 minuut duren.

Een van de telefonisten doet de volgende uitspraak:

“Als het aantal binnenkomende telefoontjes halveert en het aantal telefonisten

ook, dan verandert de gemiddelde wachttijd niet”.

35p

Onderzoek met behulp van de formule voor de gemiddelde wachttijd of deze

uitspraak juist is.

Bij DirectCall komen ’s avonds per minuut gemiddeld 4 telefoontjes binnen, die

elk gemiddeld 3 minuten duren.

DirectCall krijgt veel klachten over de wachttijd ’s avonds. Daarom wil de

directie dat er zoveel telefonisten zijn dat de gemiddelde wachttijd kleiner is dan

vijftien seconden.

Je kunt dit aantal telefonisten bepalen door te onderzoeken wanneer 0,25 is.

43p

Leg dit uit.

55p

Hoeveel telefonisten zijn er ’s avonds minimaal nodig? Licht je antwoord toe.

opgave 2Geld uit de muur

In Nederland staan ongeveer zevenduizend geldautomaten. Bij deze automaten

kun je contant geld opnemen van je betaalrekening.

De geldautomaten verstrekken uitsluitend biljetten van 10, 20 en 50 euro.

De automaat laat je kiezen uit een aantal vaste bedragen of voor de optie ‘ander

bedrag’, waarbij je inderdaad een ander bedrag kunt kiezen.

Wanneer je 60 euro wilt opnemen, kan de geldautomaat dat op verschillende

manieren uitkeren. Zo kun je bijvoorbeeld 1 biljet van 50 euro en 1 van 10 euro

krijgen.

Dat is één manier.

Maar ook is mogelijk: 3 biljetten van 20 euro of 6 biljetten van 10 euro.

64p

Op hoeveel verschillende manieren kan de geldautomaat een bedrag van 70 euro

uitkeren? Licht je antwoord toe.

In een bepaalde geldautomaat in Gouda zijn van elke soort voldoende biljetten

aanwezig.

In dat geval geeft de automaat de biljetten volgens de volgende regels:

Bedragen onder 50 euro:

één of twee biljetten van € 10,

eventueel aangevuld met een biljet van € 20

(bijvoorbeeld 40 euro: 2 × € 10 en 1 × € 20)

Bedragen boven 50 euro, die geen veelvoud van 50 euro zijn:

zoveel mogelijk biljetten van € 50,

één of twee biljetten van € 10,

eventueel aangevuld met een biljet van € 20

(bijvoorbeeld 170 euro: 3 × € 50 en 2 × € 10)

Bedragen van 50 euro en veelvouden hiervan:

altijd één biljet van € 10 en twee biljetten van € 20,

eventueel aangevuld met biljetten van € 50

(bijvoorbeeld 350 euro: 1 × € 10, 2 × € 20 en 6 × € 50)

75puitwerkbijlage

In tabel 2 staan de bedragen die op tabel 2

zekere dag bij deze geldautomaat in

Gouda zijn opgenomen.

Bereken hoeveel biljetten van € 20 de

geldautomaat op deze dag heeft

uitgekeerd. Gebruik hierbij de tabel op

de uitwerkbijlage.

bedrag in euro aantal keer 10 13 20 47 30 2 50 89 60 1 70 48 100 14 120 1 150 12 200 2 250 5 450 1 750 1

Het aantal biljetten van 10 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt, is bij

benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 326 en een

standaardafwijking van 41.

De geldautomaat wordt dagelijks (ook op zon- en feestdagen) aangevuld tot

400 biljetten van 10 euro.

Het kan natuurlijk gebeuren dat alle biljetten van 10 euro op zijn voordat de

automaat weer wordt aangevuld.

83p

Bereken op hoeveel dagen van een jaar dat naar verwachting zal gebeuren.

Ook het aantal biljetten van 50 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt,

is bij benadering normaal verdeeld. Het gemiddelde aantal dagelijks uitgekeerde

biljetten is 140 en de automaat wordt dagelijks aangevuld tot 175 biljetten van

€ 50. Op 1,5% van de dagen is dat niet voldoende.

94p

Bereken de standaardafwijking van het dagelijks aantal uitgekeerde biljetten van

50 euro. Rond af op één decimaal.

Het aantal geldopnames en de grootte van de opgenomen bedragen variëren van

geldautomaat tot geldautomaat. Het maakt natuurlijk uit waar de geldautomaat

staat. Zo zal een geldautomaat in een stadscentrum dagelijks meer geldopnames

hebben dan een geldautomaat in een dorp met weinig inwoners.

In figuur 1 staan twee boxplots die betrekking hebben op de opgenomen bedragen

op een zekere dag bij twee geldautomaten in twee verschillende steden.

figuur1

Hieronder staan drie uitspraken over deze boxplots.

a Bij geldautomaat II is er die dag in totaal meer geld opgenomen dan bij

geldautomaat I.

b Het kleinste en het grootste bedrag dat die dag bij beide geldautomaten zijn

opgenomen zijn hetzelfde.

c Bij geldautomaat I worden relatief meer kleine bedragen opgenomen dan bij

geldautomaat II.

105p

Geef van elke uitspraak aan of deze af te leiden is uit figuur 1. Licht je

antwoorden toe.

opgave 3Dvd-spelers bestellen

Een winkelier verkoopt per jaar 1200 dvd-spelers, gelijkmatig over het jaar gespreid.

Eén groothandel levert die dvd-spelers aan de winkelier. Elke keer als de

groothandel een bestelling dvd-spelers aflevert, is de voorraad precies op.

Voor iedere bestelling rekent de groothandel 400 euro bestelkosten, onafhankelijk

van het aantal bestelde dvd-spelers.

Het in voorraad houden van een dvd-speler kost de winkelier 16 euro per jaar.

Er is niet genoeg magazijnruimte om alle 1200 dvd-spelers in één keer te bestellen.

Dat is ook duur, want het zou betekenen dat er in dat jaar een gemiddelde voorraad

zou zijn van (1)/(2) ×

1200 dvd-spelers. Dat zou 1 × 400 + (1)/(2) ×

1200 × 16 = 10000 euro

kosten voor het bestellen en in voorraad houden.

Het lijkt goedkoper als de winkelier vaker per jaar een kleiner aantal dvd-spelers

bestelt.

De winkelier overweegt om 100 dvd-spelers per maand te bestellen.

113p

Bereken op de hierboven beschreven manier de totale kosten per jaar voor het

bestellen en in voorraad houden.

Het aantal dvd-spelers dat de winkelier per keer bestelt, noemen we x. De winkelier

bestelt elke keer evenveel dvd-spelers.

De totale kosten in euro per jaar voor het bestellen en in voorraad houden van de

dvd-spelers noemen we K.

Met de volgende formule kan de winkelier K berekenen:

125p

Leid deze formule af uit de gegevens over bestelkosten en voorraadkosten van de

1200 dvd-spelers.

figuur 2

In figuur 2 staat de grafiek van K. Hierin lees je bijvoorbeeld af dat bij x = 1200

de waarde K = 10 000 hoort: als de 1200 dvd-spelers in één keer worden besteld,

zijn de kosten voor bestellen en in voorraad houden 10 000 euro.

135p

Stel de afgeleide van K op en toon met behulp van die afgeleide aan dat

de kosten K minimaal zijn bij een bestelling van 245 dvd-spelers per keer.

Een bestelling van 245 dvd-spelers per keer is wel mogelijk, maar is onhandig

voor de groothandel. De groothandel wil liever op vaste tijden leveren,

bijvoorbeeld eens per maand of eens per twee maanden. Als de winkelier per een

geheel aantal maanden bestelt, krijgt hij van de groothandel 10% korting op de

bestelkosten.

145p

Welke manier is voor de winkelier het voordeligst? Licht je antwoord toe met een

berekening.

opgave 4De Notenclub

Op de Vlaamse en de Nederlandse televisie is heel vaak het programma de

Notenclub uitgezonden, een spel met muziek. In dat programma moeten twee

teams de titel van een song raden aan de hand van één zin uit de tekst.

De zin bestaat uit zes woorden. Die woorden zijn in het begin niet te zien, maar

worden tijdens het spel één voor één zichtbaar. Tussendoor wordt door de teams

gezongen.

Twee van de zes woorden staan op een rood vak. Vier woorden staan op een blauw

vak.

Bij de start van een ronde staan er zes vakken met de getallen 1 tot en met 6. Het

woord en de kleur van het vak kun je niet zien. Zie figuur 3.

figuur 3

1 2 3

De twee rode en de vier blauwe vakken kunnen in elk spel een andere volgorde

hebben.

153p

Hoeveel verschillende volgordes zijn mogelijk met twee rode en vier blauwe

vakken? Licht je antwoord toe.

Een team kiest één van de getallen 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Er verschijnt een woord in het

gekozen vak en dit vak kleurt rood of blauw.

Het vak is rood: de beurt gaat naar het andere team.

Het vak is blauw: het team zingt een lied waarin het gevonden woord voorkomt.

Het team houdt de beurt en kiest nog een getal uit de overgebleven mogelijkheden.

Zodra een team de zin herkent en de songtitel raadt, is de ronde afgelopen.

In deze opgave gaan we ervan uit dat een team altijd de titel van de song raadt

wanneer er vier blauwe vakken zijn gekozen en niet eerder of later. We nemen

verder aan dat het kiezen van de getallen 1 tot en met 6 aselect gebeurt.

Een team begint. Het is mogelijk dat dit team wint, omdat de teamleden achter

elkaar de vier blauwe vakken kiezen.

163p

Bereken de kans op deze gebeurtenis.

Team A en team B spelen tegen elkaar.

Team A begint.

Team A kiest vak 4. Hier verschijnt het woord “love” in een blauw vak. Ze zingen

een lied en kiezen daarna vak 2. Daar verschijnt het woord “my” in een rood vak.

Zie figuur 4.

figuur 4

1 my 3 love

Omdat vak 2 rood is, gaat de beurt nu naar team B.

Er is één rood en één blauw vak gekozen. Dus zijn er nog drie blauwe vakken en

één rood vak over. Als team B nu het rode vak zou kiezen, wint team A.

Ook als team B niet meteen het rode vak kiest, kan team A de ronde nog winnen.

Als team B bijvoorbeeld eerst een blauw vak kiest en daarna een rood vak, wint

team A ook.

Zo zijn er verschillende mogelijkheden met team A als winnaar van de ronde.

175p

Bereken de kans dat team A deze ronde wint.

opgave 5De Wet van Moore

Het Amerikaanse bedrijf Intel is een zeer grote producent van computerchips. Gordon Moore was in 1968 een van de oprichters van het bedrijf. Deze opgave gaat over het aantal transistoren in een computerchip. (Een transistor is een elektronische schakeling.) In 1965 deed Moore daar een voorspelling over: “Het aantal transistoren in een computerchip zal tussen 1965 en 1975 exponentieel groeien.” Moore heeft meer dan gelijk gekregen: de voorspelling is zelfs tot het jaar 2000 uitgekomen! Zijn voorspelling is men de Wet van Moore gaan noemen. In tabel 3 zie je hoeveel transistoren er in de chips van Intel zitten. Ook zie je in welk jaar die chips op de markt zijn gebracht. introductiejaar naam chip aantal transistoren 1971 4004 2 250 1972 8008 2 500 1974 8080 5 000 1978 8086 29 000 1982 286 120 000 1985 386 275 000 1989 486 DX 1 180 000 1993 Pentium I 3 100 000 1997 Pentium II 7 500 000 1999 Pentium III 24 000 000 2000 Pentium 4 42 000 000 tabel 3 In de tabel zie je dat het aantal transistoren tussen 1971 en 1972 met 250 toeneemt. Stel dat het aantal transistoren in de jaren daarna lineair toe zou nemen met 250 per jaar.

→ In welk jaar zou dan het aantal van 5000 transistoren per chip zijn bereikt? Licht je antwoord toe. In werkelijkheid was de toename dus exponentieel. Zo is in de periode van 1971 tot 2000 het aantal transistoren per chip toegenomen van 2250 tot 42 miljoen.

De Wet van Moore in formulevorm is: A = 2250 ⋅ 1,404 t Hierin is A het aantal transistoren per chip en t de tijd in jaren met t = 0 in 1971. In figuur 5 is een rechte lijn getekend die weergegeven is als stippellijn. Dit is de grafiek van A . Merk op dat de schaalverdeling op de verticale as logaritmisch is. In figuur 5 staat ook de grafiek getekend van de gegevens uit tabel 3. figuur 5 transistoren In de figuur hoort het derde punt van boven bij de Pentium II-chip uit het jaar 1997. Het is duidelijk zichtbaar dat het aantal transistoren in deze chip nogal afwijkt van de voorspelling volgens de Wet van Moore. In de Pentium II-chip zitten volgens de tabel 7 500 000 transistoren.