bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2000, tijdvak 2 (wiskunde A1,2)

opgave 1Opgave 1 Hypotheken

Als je een huis koopt, moet je meer betalen dan alleen de koopsom. Je moet
bijvoorbeeld bela
woning ongeveer 12%.
Iemand heeft ee
13p
Bereken de koopsom.
De meeste mensen die een huis w llen kopen, lenen daarvoor geld b j de bank.
Zo’n lening wordt een hypotheek genoemd. Het hoogste bedrag dat iema
lenen, heet de haalbare hyp
hypotheek betaald moet worden.
figuur 1
1000 I = 80 H 900 800 700 I = 60 600 500 400 I = 40 300 200 I = 20 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R
H: haalbare h
R: rentepercentage
Iemand heeft een jaarinkomen van 50000 gulden. Hij wil een huis kopen. Daarvo
heeft hij 220000 gulden nodi
25p
figuur bij de opgave
waarbij
H: haalbare h
R: rentepercentage
Bij vraag 3 nemen we een vast rentepercentage: R = 5. Dan wordt de fo
H = 1,34·I1,35.
Het is duidelijk dat bij een lei e sti ging van het inkomen I ook de haalbare
34p
I = 50
dI
Iemand met een inkomen van 60000 gulden (I = 60) kan b j sommige rentepercen
bij bank X een hogere hypotheek krijgen dan bij bank Y. Door in de f
bijlage ook nog de grafiek te tekenen die hoort bij bank Y en I = 60 kun
bij welke rentepercentages bank X een hogere hypotheek geeft dan bank Y
46p
O

opgave 2Opgave 2 Win-win-situatie

Het volgende dobbelspel is onder studenten in Nijmegen erg populair. Het wordt gespeeld door twee personen met vier verschillend gekleurde dobbelstenen met op elk vlakje een getal: de rode : vier vlakjes met een 4 en twee vlakjes met een 0 de blauwe : vier vlakjes met een 2 en twee vlakjes met een…

Het volgende dobbelspel is onder studenten in Nijmegen erg populair. Het wordt gespeeld door twee personen met vier verschillend gekleurde dobbelstenen met op elk vlakje een getal: de rode : vier vlakjes met een 4 en twee vlakjes met een 0 de blauwe : vier vlakjes met een 2 en twee vlakjes met een 6 de gele : zes vlakjes met een 3 de zwarte : drie vlakjes met een 1 en drie vlakjes met een 5 4 2 4 0 0 2 2 6 4 2 4 6 rood blauw Het spel gaat als volgt: Bij elke beurt kiezen beide spelers een dobbelsteen. Ieder gooit zijn dobbelsteen.Wie het hoogste getal heeft gegooid, wint de beurt. Herma en Tom spelen dit spel. Herma laat Tom als eerste een dobbelsteen kiezen en pakt er vervolgens zelf een.

Welke dobbelsteen zal Tom kiezen als hij gemiddeld een zo groot mogelijk getal wil gooien? Licht je antwoord toe. Tom kiest de zwarte dobbelsteen.Als Herma dat ziet, pakt ze onmiddellijk de blauwe.
Laat zien dat de kans dat Herma de beurt wint nu gelijk is aan ⅔ . Het bijzondere aan dit spel is dat welke dobbelsteen Tom ook kiest, Herma daarna altijd precies één dobbelsteen kan pakken waarmee haar winstkans ⅔ is. Herma heeft een spiekbriefje gemaakt, waarop staat welke dobbelsteen ze moet…

Laat zien dat de kans dat Herma de beurt wint nu gelijk is aan ⅔ . Het bijzondere aan dit spel is dat welke dobbelsteen Tom ook kiest, Herma daarna altijd precies één dobbelsteen kan pakken waarmee haar winstkans ⅔ is. Herma heeft een spiekbriefje gemaakt, waarop staat welke dobbelsteen ze moet pakken, als Tom zijn keuze heeft gemaakt. Het begin van dat briefje staat hier afgebeeld: geel ..... blauw .....

Maak Herma’s spiekbriefje af. Licht je antwoord toe. Neem nu dus aan dat Herma bij elke beurt een kans van ⅔ heeft om te winnen.
Bereken de kans dat Tom van de eerste drie beurten er toch een of meer wint.
opgave als beeld van het examen

opgave 3Opgave 3 Een productiekostenmodel

In de economie worden vaak wiskundige modellen gebruikt. De leiding va
onderneming maakt bijvoorbeeld gebruik van dergelijke modellen bi
over de omvang van de productie. Deze opgave gaat over zo’n wiskundig mode
We bekijken een fa
We nemen aan dat de verkoopprijs van deze lamp ƒ 56,– is en dat alle geprod
lampen verkocht worden.
De kosten om deze lampen te maken zijn a
lampen. De totale kos en gedeeld door het aantal lam
kosten per lamp, GK. Alle kosten zijn in
waarbij x = het aantal geproduceerde lampen.
94p
Bereken hoe groot de totale kos en z
In figuur 2 is een grafiek getekend van GK.
In deze figuur is ook d
figuur 2
MK kosten 56 GK productieomvang x
In het snijpunt van de grafieken van MK en GK zijn de gemiddelde kosten
De productieomvang x is daar 155. De winst is de opbr
103p
Bereken de winst die er op deze 155 lampen wordt gemaakt.
Hoewel bij x = 155 de gemiddelde kosten zo laag mogelijk zijn, is de winst hier n
maximaal. De marginale kosten MK zijn hier immers lager dan 56 gulden dus
het produceren van een extra lamp minder d
winst neemt door die extra lamp toe. Pas als de marginale koste
114p

opgave 4Opgave 4 Hamieten

Hamieten zijn schelpjes van gestorven weekdieren. Zie figuur 3. Ze worden gevonden in de Boulonnais, een streek in Frankrijk. figuur 3 figuur 4 Er zijn verschillende soorten hamieten. Soms is het lastig te zien tot welke soort een hamiet behoort. In deze opgave kijken we naar twee kenmerken. Op…

Hamieten zijn schelpjes van gestorven weekdieren. Zie figuur 3. Ze worden gevonden in de Boulonnais, een streek in Frankrijk. figuur 3 figuur 4 Er zijn verschillende soorten hamieten. Soms is het lastig te zien tot welke soort een hamiet behoort. In deze opgave kijken we naar twee kenmerken. Op grond van deze kenmerken kunnen we met grote waarschijnlijkheid de soort vaststellen van een groot aantal hamieten. Allereerst wordt de vorm van de mond van de hamiet bekeken. Zie figuur 4. H is de hoogte van de mond die gemeten wordt tussen de rugzijde en de buikzijde en B is de breedte. De verhouding tussen H en B is het eerste kenmerk waarmee we de hamietensoort proberen vast te stellen.We noemen deze verhouding Q , dus Door te kijken naar de grootte van Q kunnen we de hamieten onderscheiden in hamieten met een ronde mond, een iets ovale mond of een echt ovale mond. We spreken over een ronde mond als Q tussen 0,95 en 1,05 ligt. Van een hamiet met een ronde mond is de mondhoogte 25,0 mm.

Bereken de minimale mondbreedte die deze hamiet moet hebben. In figuur 5 is voor een aantal hamieten de hoogte H en de breedte B van de mond aangegeven. Iedere stip stelt een hamiet voor. figuur 5 H (in mm) 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 B (in mm)
Figuur 5 vind je ook op de bijlage.
Geef door middel van arcering op de bijlage aan in welk gebied hamieten met een ronde mond liggen. De hamietensoort Gibbosus heeft meestal een iets ovale mond. Er zijn echter ook exemplaren van de soort Gibbosus met een ronde mond. Uit onderzoek blijkt voor de soort Gibbosus dat Q vrijwel normaal…

Geef door middel van arcering op de bijlage aan in welk gebied hamieten met een ronde mond liggen. De hamietensoort Gibbosus heeft meestal een iets ovale mond. Er zijn echter ook exemplaren van de soort Gibbosus met een ronde mond. Uit onderzoek blijkt voor de soort Gibbosus dat Q vrijwel normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1,13 en een standaardafwijking van 0,06.

Hoeveel procent van deze soort heeft een ronde mond? Licht je antwoord toe. Hamieten met een Q -waarde tussen 0,95 en 1,05 hebben dus een ronde mond.Als de Q -waarde van een hamiet groter is dan 1,05, dan wordt de mond van de hamiet ovaal genoemd. Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen iets ovaal…

Hoeveel procent van deze soort heeft een ronde mond? Licht je antwoord toe. Hamieten met een Q -waarde tussen 0,95 en 1,05 hebben dus een ronde mond.Als de Q -waarde van een hamiet groter is dan 1,05, dan wordt de mond van de hamiet ovaal genoemd. Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen iets ovaal en echt ovaal . De grens tussen iets ovaal en echt ovaal ligt bij een bepaalde Q -waarde.Als Q groter is dan deze waarde, dan wordt de hamiet echt ovaal genoemd. Van de hamietensoort Gibbosus heeft 37% een echt ovale mond.

Vanaf welke waarde van Q , in 2 decimalen nauwkeurig, spreekt men blijkbaar over echt ovaal ? Licht je antwoord toe. Q was het eerste kenmerk om de hamietensoort vast te stellen. Men gebruikt als tweede kenmerk het aantal ribben vanaf de mond over een lengte ter grootte van H . Zie het zijaanzicht…

Vanaf welke waarde van Q , in 2 decimalen nauwkeurig, spreekt men blijkbaar over echt ovaal ? Licht je antwoord toe. Q was het eerste kenmerk om de hamietensoort vast te stellen. Men gebruikt als tweede kenmerk het aantal ribben vanaf de mond over een lengte ter grootte van H . Zie het zijaanzicht in figuur 6. Dit aantal wordt N genoemd. figuur 6 Met behulp van onderstaande tabel 1 kunnen we op grond van de twee kenmerken Q en N de hamietensoort proberen vast te stellen. tabel 1 Soort Q Rotundus 0,95 – 1,05 Gibbosus 1,00 – 1,25 Attenuatus 1,05 – 1,25 Compressus 1,15 – 1,65 Tenuicostatus 1,15 – 1,45 Van een hamiet zijn in bovenstaande figuur 6 het vooraanzicht en zijaanzicht op ware grootte getekend. Met behulp van het vooraanzicht is Q te berekenen. Uit het zijaanzicht blijkt dat N = 7.

Tot welke soort behoort deze hamiet? Licht je antwoord toe. Bij sommige waarden van Q en N geeft tabel 1 echter geen duidelijkheid. Een hamiet met, bijvoorbeeld, een Q -waarde tussen 1,15 en 1,25 én een N -waarde van 7 of 8 kan zowel tot de soort Attenuatus als tot de soort Compressus behoren.
Geef nog een voorbeeld van een hamiet die op grond van tabel 1 kan behoren tot twee verschillende soorten.Vermeld Q -waarde en N -waarde bij je voorbeeld.
opgave als beeld van het examen

opgave 5Opgave 5 Kalm aan en rap een beetje

De voorverkoop voor de voorstellingen van ’Kalm aan en rap een beetje’ van
Herman Finkers begon om tien uur ’s morgens.
De eerste wachtenden stonden al om half drie ’s nachts bij de deur van de schou
Ze gebruikten een vil stift om volgnummers op hun handen te schrijven. Navraa
de rij leerde da het meisje met nummer 25 al vanaf half zes in de rij stond en
met nummer 271 vanaf acht u
figuur 7
600 A 500 400 300 200 100 0 2 3 4 5 6 7 8 9 tijdstip (in uren)
In de gra
negen uur 455.
184p
Bereken, uitgaande van deze linea re groei, het aantal wachtenden om 9.45 u
De voorstelling kende vi f speelavonden. Voor elke avond waren er 480 kaar
totaal dus 2400. Alle wachtenden mochten er maximaal v
De zaterdag was natuurlijk het meest popula r. Veronderstel dat eerst a le k
voor zaterdag werden verkocht en vervolgens di
Iemand wilde zeker zijn van 4 kaartjes voor vrijdag en ging er daarom van ui
iedereen die voor hem in de rij stond
194p
met behulp van de figuur op de bijlage toe.
Toen om tien uur de kassa open ging konden de wachtenden hun kaartj
Er werd snel gewerkt: pe
figuur bij de opgave
waarbij
Wt = wachttijd in uren horend bij aankomsttijdstip t
0
At = aantal mensen dat op t jdstip t voor je in de ij staat.
De formule is opgebouwd uit twee delen: het deel 10 – t en het deel 1At.
204p
Verklaar de formule. Leg daarbij uit wat de betekenis is van elk van deze
Om de totale wachttijd zo kort mogelijk te maken, moet je niet te vroeg kome
De rij groeit dan te langzaam. Je moe ook n et te laat komen, want dan g
te snel. De wachtti
100 wachtenden per uur.
214p