Eindexamen wiskunde A havo 2000 tijdvak 1

opgave 1Opgave 1 Seychellenzangers

Seychellenzangers zijn kleine vogeltjes die nauwelijks kunnen vliegen. Rond 1968 kwamen ze alleen nog voor op het eilandje Cousin in de Indische Oceaan. Hun aantal was zo klein dat de soort dreigde uit te sterven. In 1968 werd Cousin een natuurreservaat. Daardoor nam het aantal Seychellenzangers weer snel toe. In 1968 waren er 26 Seychellenzangers en in 1976 waren er alweer 250. Stel dat deze populatie Seychellenzangers in de periode van 1968 tot 1976 exponentieel groeide.

Toon aan dat het aantal Seychellenzangers dan per jaar met ongeveer 33% groeide. In 1983 waren er ongeveer 320 Seychellenzangers en dat aantal bleef de jaren daarna gelijk. Het feit dat ze alleen maar voorkwamen op Cousin, maakte het voortbestaan van deze soort toch riskant. Daarom wilde men een aantal vogeltjes overbrengen naar Aride, een eilandje in de buurt van Cousin. Om niet te veel onrust te veroorzaken onder de vogeltjes, bracht men kort na elkaar twee keer een klein aantal Seychellenzangers over van Cousin naar Aride. Daarbij bleven alle vogeltjes in leven, zodat het totale aantal 320 bleef. Per keer werd een vast percentage van de op dat moment op Cousin aanwezige vogeltjes naar Aride gebracht. In matrix A staan de getallen die horen bij één keer overbrengen: van matrix Co Ar A : naar Co 0,85 0 Ar Ł 0,15 1 ł

Bereken het totaal aantal Seychellenzangers op Aride na twee keer overbrengen. Begin jaren negentig was het aantal Seychellenzangers op Cousin weer aangegroeid tot 320. Opnieuw wilde men Seychellenzangers overbrengen. Nu niet alleen van Cousin naar Aride, maar ook van Cousin naar een derde eilandje, Cousine. Ook bracht men Seychellenzangers van Aride naar Cousine. Net als in 1983 gebeurde dit in twee keer, kort na elkaar. In onderstaand schema is dit overbrengen weergegeven. De getallen bij de pijlen staan voor het deel van de populatie dat per keer overgebracht werd. schema Cousin Co Co Aride Ar Ar Cousine Ce Ce De getallen die horen bij één keer overbrengen, staan ook in matrix B : van matrix Co Ar Ce Co 0,82 0 0 B : naar Ar 0,06 0,93 0 Ce Ł 0,12 0,07 1 ł Het twee keer na elkaar overbrengen kan met één matrix N worden beschreven.

Stel deze matrix N op. Je mag daarbij uitgaan van het schema of van matrix B.

opgave 2Opgave 2 Hoe lang is een Nederlander?

n een krantenartikel werd beschreven hoe een kind zijn (of haar) toekom tig

lichaamslengte kan berekenen:

de lengten (in cm) van je vader en moeder bij elkaar op en deel het getal door tw

hebt dan de gemiddelde lengte van e ouders. Als je een meisje bent, trek je daar z

af. Als je een jongen bent, tel je er zes bij op. Dat doe je omdat mannen gemiddeld

worden dan vrouwen. Daarna tel je er nog eens drie b j op. Dat moeten zow

oe w

d k gem

hun ouders. Dan weet je hoe ang je waarschijnlijk zult z jn als e stopt met groeien.”

44p

moeder die 167 cm lang is.

Het is mogeli

te verwachten lengte in cm te bepalen. Noem de lengte in c

54p

Stel een formule op voor d

In het krantenar ikel stond ook:

generatie wordt 3 cm langer dan de vorige. Dat b

de Nederlanders elke 10 jaar 1 cm groter wordt. Als dat zo doo gaat, dan is in het jaar 2

de helf van de Nederlandse mannen mee dan 2,00 meter.”

Neem aan da de stijging van de gemiddelde lengte inderdaad zo verloopt al

staat.

verdeeld is me een constante standaardafwijking van 8 cm maar met een

gemiddelde.

67p

2,00 meter? Licht je antwoord toe.

In het jongere

om je toekomstige lengt te berekenen. Die methode kan met de volgende fo

worden beschreven:

de lengte in cm van de vader, respectievelijk de moeder zijn.

Een jongen en een meisje blijken volgens deze meth

75p

opgave 3Opgave 3 Luchtdrukte

In deze opgave bekijken we de aankomst van vliegtuigen op een vliegveld.

Gewoonlijk zeggen we bijvoorbeeld dat er gemiddeld 10 vliegtuigen per uu

Het is dan meestal niet zo dat er elke 6 minu en een vliegtuig aankomt. Som

er veel, dan weer weinig vliegtuigen achter e kaar binnen. De tussentijd van e

vliegtuig is de tijd (in minuten) tussen de aankomst van het vorige vliegtuig en d

aankomst van het betreffende vliegtuig. Het eerste vliegtuig

g ge d heef e n jd I

eerste vijf vliegtuigen op een dag en de bi beh

A oms

tussentijd

grafiek weergegeven.

figuur 2

R 40 tussentijd- nummer 35 30 25 20 15 10 Q 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 tussentijd (in minuten)

In de figuur zijn de 40 tussentijden weergegeven door 40 stippen. Bij elke sti

de bijbehorende tus entijd aflezen op de horizontale as en het nummer op de

verticale as. Punt Q bi voorbeeld hoort bij een vliegtuig m

Het is tussentijdnummer 5 omdat vier tusse

Bij punt R hoort de kleinste tussentijd: 1 minuut.

85p

Als tussentijden van aankomende vliegtuigen op andere vliegvelden of gedure

andere per odes op de manier van figuur 2 worden weergeg

figuur 3

100 percentage vliegtuigen 80 60 40 20 A 13 B 2,5 0 0 50 100 150 tussentijd (in minuten)

Je kunt in

meer (punt B).

In figuur 3 lees je ook af dat 50% van de vliegtuigen volgen

heeft van 17 minuten of meer (en ook 50% een tussentijd van minder

93p

Onderzoek of de gemiddelde tussentijd groter of kleiner dan 17 minuten i

105p

Teken de boxplot. Licht je werkwijze toe. Gebruik daarbij de figuur op d

Er is een formul

Hierbij is t de tussentijd n minuten en

114p

opgave 4Opgave 4 Wiskunde in bad

Misschien is het je na het nemen van een bad wel eens opgevallen dat he

begin sneller wegloopt dan aan het eind. Dit verschijnsel is onderzocht bij vers

baden. Elk bad had de vorm van een rechthoekige bak. Zie figuur 4. Vanaf h

moment dat de stop eruit getrokken werd, is op ver

figuur 4

Vo d n d esu ten tab:

waterhoogte (cm)

48,0

26,7

12,0

3,0

0,0

123p

wa erhoogte in het bad verder daalt.

Voor een ander bad, bad 2, zi

figuur 5

60 waterhoogte in cm 50 40 30 20 10 0 0 10 20 50 100 150 187 tijd in seconden

ogenaamde leegloopver

De leegloopverhoudi g wo dt ber en met

leegloopverhouding = leeglooptijd eerste helft

Hierbij is de leeglooptijd eerste helft de tijd die nodig is om

die nodig is om he bad vervolgens helemaal leeg te laten lopen.

136p

Bereken met behulp van de figuur op de bijlage de eegloopverhouding van ba

Voor een derde bad, bad 3, is het leeglopen e beschrijven met de v

waterhoogte = (7 – 0,03)² met t in seconden en waterho

143p

Toon aan dat het leeglopen van bad 3

156p

opgave 5Opgave 5 Enquête

Opiniepeilingen worden vaak telefonisch gedaan, maar voor bepaalde soorten enquêtes stuurt een onderzoeksbureau enquêteurs met een vragenlijst op pad.Aselect wordt een aantal adressen getrokken. Het onderzoeksbureau laat enquêteurs die adressen bezoeken om de bewoners van die adressen vragen te stellen. Voor een onderzoek moeten 1400 adressen worden bezocht. Er zijn hiervoor 4 vaste medewerkers beschikbaar en 16 studenten die dit als bijbaantje hebben. Een vaste medewerker krijgt een groter aantal adressen dan een student. Iedere vaste medewerker krijgt evenveel adressen. Ieder van de 16 studenten krijgt ook een gelijk aantal adressen, maar dat zijn er 30 minder dan het aantal dat een vaste medewerker krijgt. De 1400 adressen kunnen ’precies’ verdeeld worden.

Laat dit zien door te berekenen hoeveel adressen een vaste medewerker en hoeveel adressen een student krijgt. Als er niet 1400 maar 1405 adressen te verdelen zijn, worden eerst de 1400 adressen ’precies’ verdeeld. De overblijvende 5 adressen worden dan verloot onder de 20 enquêteurs. Daarbij heeft iedereen dezelfde kans op een extra adres, maar niemand krijgt er meer dan één adres bij.

Bereken de kans dat deze 5 adressen allemaal bij de 16 studenten terecht komen. Wanneer de enquêteur op een adres komt waar niemand thuis is, probeert hij het later voor de tweede keer.Als ook bij het tweede bezoek niemand thuis is, doet hij bij dit adres nog een derde poging. Die derde keer is ook de laatste keer, zelfs als er dan weer niemand thuis is. Uit ervaring weet men dat de kans dat iemand thuis is de eerste keer het grootst is. Bij de tweede poging is de kans wat kleiner en bij het derde bezoek zelfs veel kleiner. Stel dat bij het eerste bezoek op 90% van de adressen iemand thuis is. Bij de adressen waar men de eerste keer niet thuis was, is 80% bij het tweede bezoek wel thuis. Op de adressen waar een derde poging nodig is, is bij dat derde bezoek 40% thuis. Zie figuur 6. figuur 6 3 e poging