opgave 1Te veel stukjes
Het aantal stukjes dat op de doos van een legpuzzel staat, is een rond
getal zoals 500, 1000 of 1500. Vaak bestaat een puzzel echter uit méér
stukjes dan er op de doos vermeld staat.
In een video onderzoekt komiek en wiskundige Matt Parker hoe dit zit. Hij
kijkt naar puzzels waarvan de stukjes een rechthoekig rooster vormen met
k kolommen en r rijen.
We nemen in deze opgave aan dat k groter is dan r.
De
roosterverhouding 
is dan altijd groter dan 1.
We bekijken eerst een puzzel met 200 stukjes. Zo’n puzzel kan bestaan
uit 100 kolommen en 2 rijen. De roosterverhouding is in dit geval
.
12pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Geef alle andere theoretisch mogelijke roosterverhoudingen voor een
puzzel met precies 200 stukjes.
Een andere puzzel bestaat uit 204 stukjes.
De mogelijke afmetingen (k x r) voor deze puzzel zijn: 204 x 1, 102 x 2,
68 x 3, 51 x 4, 34 x 6 en 17 x 12.
De hoogte van ieder stukje in deze puzzel is 1,04 keer zo groot als de
breedte van dat stukje. De inkepingen en uitsteeksels van een
puzzelstukje worden (in deze opgave) buiten beschouwing gelaten. Zie de
figuur.
figuur
De puzzel van 204 stukjes is 49 cm breed en 36 cm hoog.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met behulp van bovenstaande gegevens het aantal rijen en
kolommen van deze puzzel.
Perfecte puzzels zijn puzzels die voldoen aan de volgende voorwaarden:
− Het aantal stukjes waaruit de puzzel bestaat is precies gelijk aan het
aantal stukjes vermeld op de doos.
− De hoogte van de stukjes is gelijk aan de breedte van de stukjes.
Matt Parker bedacht een maat om te beoordelen in hoeverre een puzzel
afwijkt van een perfecte puzzel. Hij noemde dit de badness rating.
De volgende formule beschrijft deze badness rating:
B = s ⋅1,005n
− B is de badness rating.
− s is de berekende verhouding tussen de hoogte en breedte van een
puzzelstukje, met s ≥ 1.
− n is het verschil tussen het werkelijke aantal stukjes en het aantal
stukjes op de doos, met n ≥ 0.
32pRekenen met een gegeven formule 2p
Bereken de badness rating van een perfecte puzzel.
We bekijken nu een puzzel van 39 kolommen en 27 rijen met s = 1,002.
Deze puzzel heeft een badness rating van 1,3052.
opgave 3Diagonaal inpakken
Er bestaan verschillende manieren om een tekening
cadeau in te pakken. Een van deze manieren
is het zogenaamde diagonaal inpakken.
Hierbij wordt het cadeau diagonaal midden op
het vel inpakpapier geplaatst en worden de
hoekpunten naar binnen gevouwen. Zie de
tekening hiernaast.
We kijken in deze opgave alleen naar het
diagonaal inpakken van balkvormige cadeaus
met een vierkant stuk inpakpapier.
In figuur 1 is aangegeven hoe groot het stuk inpakpapier minimaal moet
zijn voor een cadeau met lengte l, breedte b en hoogte h. De stippellijnen
in deze figuur vormen de vouwlijnen van het inpakpapier.
104pPerspectief en aanzichten 3p · Oppervlakte, inhoud en schaal 1p
Onderzoek met behulp van een tekening met vouwlijnen, zoals
weergegeven in figuur 1, of een stuk inpakpapier van 50 bij 50 cm groot
genoeg is om het cadeau uit figuur 2 in te pakken. Maak deze tekening op
schaal 1: 4.
Na het inpakken zal het inpakpapier op de bovenkant van het cadeau
meestal gedeeltelijk overlappen.
Voor een cadeau met een lengte van 19,5 cm, een breedte van 12,2 cm
en een hoogte van 4,9 cm is in figuur 3a het benodigde stuk inpakpapier
weergegeven.
De lichtgrijs- en donkergrijs gekleurde driehoeken in figuur 3a zijn de
gedeeltes van het inpakpapier die bovenop het cadeau terecht komen.
Deze driehoeken zijn gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Hierbij is de
lengte van het cadeau de basis van de donkergrijze driehoek en de
breedte van het cadeau de basis voor de lichtgrijze driehoek.
In dit geval geldt voor elk van deze driehoeken:
hoogte 
basisIn figuur 3b zie je de bovenkant van het cadeau als dit is ingepakt.
Het zwarte gedeelte geeft de overlap van het inpakpapier aan. Alleen
de donkergrijze gedeeltes van het inpakpapier overlappen elkaar.
De lichtgrijze gedeeltes sluiten precies op de donkergrijze gedeeltes aan.
114pOppervlakte, inhoud en schaal 4p
Bereken hoe groot de overlap van het inpakpapier is op de bovenkant van
het hierboven beschreven cadeau. Geef je antwoord in gehele mm2.
De onderstaande figuur toont een methode voor het inpakken van een
cadeau met een vierkant grondvlak. Deze methode gebruikt zo min
mogelijk inpakpapier en maakt gebruik van diagonaal inpakken.
figuur
Volgens deze figuur is voor het inpakken van een cadeau met een
vierkant grondvlak een vierkant stuk inpakpapier nodig met een lengte
van d + 1,5h. Hier is d de diagonaal van het grondvlak van het cadeau en
h de hoogte van het cadeau.
Of een stuk inpakpapier van 35 bij 35 cm groot genoeg is om een cadeau
met een vierkant grondvlak met een zijde van 20 cm in te kunnen pakken,
hangt af van de hoogte van dit cadeau.
opgave 4Pallets met stenen
Steenfabriek De Kei verkoopt allerlei soorten stenen, waaronder
sierstenen. De Kei verkoopt deze sierstenen per pallet met 500 stenen.
Zo’n pallet met stenen kost 460 euro.
foto
Om de verkoop te bevorderen wil De Kei een van de volgende twee
aanbiedingen doen:
Wanneer een klant vier pallets tegelijk koopt, is hij met aanbieding B
duurder uit dan met aanbieding A.
134pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken hoeveel euro de klant duurder uit is. Geef je antwoord in twee
decimalen.
Bij aanbieding A hangt de prijs per pallet
in euro’s af van het aantal
pallets n dat je koopt. Bij aankoop van twee of meer pallets geldt:
Met behulp van deze formule kun je een formule opstellen voor de totale
prijs An in euro’s van een aankoop van n pallets bij aanbieding A.
Er geldt:
An = 460n − 4,6n2 met n ≥ 2
143pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Formules herleiden en omwerken 1p
Leid deze formule voor
An af met behulp van de formule voor
.
Bij deze aanbieding wordt de prijs per pallet steeds lager. Bij 100 pallets
zou de korting 100% zijn, en dan zijn de pallets dus gratis. Daarom zal De
Kei een maximaal aantal pallets noemen waarvoor de aanbieding nog
geldig is. Dit is het aantal pallets waarbij de totale prijs bij aanbieding A
maximaal is.
153pEigenschappen van functies en grafieken 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken de prijs per pallet bij aanbieding A als de totale prijs bij deze
maximaal is.
Steenfabriek De Kei wil haar klanten zo goed mogelijk adviseren welke
aanbieding A of B in welke situatie het meest gunstig is voor de klant.
Voor de totale prijs Bn in euro’s van een aankoop van n pallets bij
aanbieding B geldt de recursieve formule:
Bn = Bn−1+ 470 −10n met B1 = 460
Vanaf een bepaald aantal pallets is aanbieding B voor de klant goedkoper
dan aanbieding A. Dit aantal is hoger dan 10 pallets.
opgave 5Windpark Greenport
In 2021 is op het duurzame bedrijventerrein Greenport in Venlo gestart
met de bouw van een windmolenpark. Dit windmolenpark zal bestaan uit
negen, op een rechte lijn geplaatste, windmolens.
In onderstaande tabel zie je de coördinaten (in meters) van enkele
windmolens die gebouwd zijn. De plaats van windmolen 1 is gekozen als
oorsprong van een assenstelsel.
tabel
De bouw van Windmolen 2 werd vertraagd. De y-coördinaat van deze
windmolen werd uiteindelijk vastgesteld op −261.
172pEvenredigheden en machtsverbanden 2p
Bereken met behulp van de gegevens in de tabel, de x-coördinaat van
Windmolen 2. Geef je antwoord als een geheel getal.
Aan windmolens zitten voor- en nadelen. Eén van de nadelen is dat ze
geluid produceren en daardoor geluidsoverlast kunnen veroorzaken.
Geluidsintensiteit is een maat voor het uitdrukken van de hoeveelheid
geluid. De geluidsintensiteit hangt af van het vermogen van het geluid en
van de afstand van de windmolen tot het meetpunt. Dit wordt beschreven
in de volgende formule:
Hierin is
− P het vermogen (in Watt) van het geproduceerde geluid van de
windmolen.
− d de afstand (in meters) vanaf de windmolen tot het meetpunt.
− I de geluidsintensiteit (Watt/m2) bij het meetpunt.
Een van de windmolens produceert een geluid met een vermogen van
0,05 Watt. Een eind verderop wordt een geluidsintensiteit van 8,84 ⋅10−7
(Watt/m2) gemeten.
183pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de afstand tussen deze windmolen en het meetinstrument. Geef
deze afstand in hele meters.
In de praktijk wordt de geluidsintensiteit I meestal omgerekend naar
geluidsniveau G in decibel (dB). Het verband tussen I en G wordt
gegeven door:
I = 100,1G−12
Het maximale geluidsniveau dat gemeten mag worden bij een woning is
41 dB. Bij het overschrijden van deze waarde wordt gesproken van
geluidsoverlast.
Een bewoner klaagt over geluidsoverlast. Zijn woning bevindt zich op een
afstand van 350 meter van de dichtstbijzijnde windmolen. Deze
windmolen heeft een vermogen van 0,05 Watt.
opgave 6De bergetappe
De Mont Ventoux (foto) is
een berg in het zuiden van
Frankrijk.
De berg is onder andere
bekend doordat de
beklimming ervan is
opgenomen in de
Tour de France.
Het gemiddelde hellingspercentage is een maat om de moeilijkheid van
een beklimming aan te geven. Het gemiddelde hellingspercentage wordt
bepaald door de weglengte en het hoogteverschil tussen begin en
eindpunt van de beklimming.
Het gemiddelde hellingspercentage kan worden berekend met de formule:
− h het hoogteverschil in meters.
− a de weglengte in meters.
− p het gemiddelde hellingspercentage in procenten.
Als je verschillende beklimmingen met een gelijk hoogteverschil bekijkt,
dan geldt: hoe groter de weglengte, hoe kleiner het gemiddelde
hellingspercentage.
203pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer dit met behulp van de formule voor p, zonder gebruik te
maken van een getallenvoorbeeld.
De beklimming van de Mont Ventoux kun je vanuit drie dorpen starten:
Bédoin, Sault en Malaucène.
De snelste gereden tijd voor de beklimming van de Mont Ventoux vanuit
Sault is 50 minuten en 32 seconden, met een gemiddelde snelheid van
28,7 km/uur.
212pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken de weglengte van Sault naar de top in kilometers in één
decimaal.
In de tabel staat het hoogteverschil en de totale weglengte vanuit de drie
dorpen naar de top. De weglengte is afgerond op gehele kilometers.
tabel
Doordat de weglengte in de tabel op gehele kilometers is afgerond in
plaats van op gehele meters, lijkt het erop dat de beklimming vanuit
Bédoin het grootste gemiddelde hellingspercentage heeft.
Als de weglengte niet op gehele kilometers was afgerond, dan is het
mogelijk dat het gemiddelde hellingspercentage vanuit één van de andere
twee dorpen hoger is dan vanuit Bédoin.
233pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de weglengte vanuit Bédoin met behulp van dit
hellingspercentage. Geef je antwoord in gehele meters.
Om tot dit fietsgenootschap te mogen behoren, moet je op één dag de
Mont Ventoux vanuit alle drie de dorpen één keer beklimmen.
In de figuur zie je een mogelijke route. Je start in Bédoin, fietst naar de
top, daalt naar Malaucène, vervolgens fiets je weer naar de top, daalt
naar Sault, weer naar de top en tenslotte daal je naar Bédoin.
Zo ontstaat het rijtje BMMSSB, waarbij de letters staan voor de weg
tussen het dorp en de top van de Mont Ventoux (Top), zie de figuur.
Er zijn zes van deze rijtjes te maken, als je begint en eindigt in hetzelfde
dorp.
figuur
Ook kun je de zogenaamde Bicinglette voltooien.
Dit houdt in dat je de Mont Ventoux vanuit elk van de drie dorpen niet één
keer, maar twee keer beklimt op één dag.
244pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel mogelijke routes er zijn om deze Bicinglette te
voltooien als je begint en eindigt in hetzelfde dorp.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
