opgave 1De piano
figuur 1
In figuur 1 staat een gedeelte van het toetsenbord van een piano
afgebeeld. De witte en de zwarte toetsen stellen allemaal verschillende
tonen voor. Op de witte toetsen staat ook de naam van de bijbehorende
toon. Voor tonen die bij de zwarte toetsen horen, bestaan meerdere
namen. In figuur 1 zijn ze daarom genummerd.
Als je een toets aanslaat op de piano, dan zorgt dat ervoor dat er een
snaar gaat trillen. De snelheid van die trilling bepaalt de toon die je hoort.
De snelheid waarmee een snaar trilt, noemen we de frequentie. De
frequentie is het aantal trillingen per seconde en heeft Hertz (Hz) als
eenheid.
Bijvoorbeeld: de linker toon F in figuur 1 heeft een frequentie van 352 Hz.
Dat betekent dus dat de snaar die deze toon F voortbrengt 352 keer per
seconde trilt.
Bij de linker toon A in figuur 1 hoort een frequentie van 440 Hz.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel seconden één trilling die bij deze toon A hoort, duurt.
Geef je antwoord in vier decimalen.
Als de frequentie van een toon twee keer zo groot is als die van een
andere toon, dan vormen deze twee tonen samen een octaaf. Dus: de
toon A met een frequentie van 440 Hz en een toon met een frequentie van
880 Hz vormen samen een octaaf van A. Deze tonen krijgen dezelfde
naam, dus ook de toon met een frequentie van 880 Hz noemen we A: dat
is de rechter A in figuur 1.
Op de meeste moderne piano’s is de laagste toon een A met een
frequentie van 27,5 Hz. De hoogste A heeft een frequentie van 3520 Hz.
24pRijen en recursie 3p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken hoeveel octaven van A zo’n piano omvat.
Twee opeenvolgende C's in figuur 1 vormen samen een octaaf van C.
Voor twee opeenvolgende C's geldt dat de frequentie van de rechter C
twee keer zo groot is als die van de linker C, oftewel: de verhouding van
hun frequenties is 2:1.
Bij het stemmen van een piano wordt ervoor gezorgd dat de verhouding
van de frequenties van twee opeenvolgende tonen in een serie als
C-1-D-2-E-F-3-G-4-A-5-B-C precies gelijk is. Zie figuur 1.
Zo geldt bijvoorbeeld:
Elk van deze verhoudingen is (ongeveer) 1,0595:1.
33pExponentiële functies en groei 3p
Laat met een berekening zien dat deze verhouding juist is.
In de praktijk is het werken met deze frequentieverhoudingen niet zo
handig. Daarom wordt meestal de zogenaamde toonafstand (TA)
gebruikt. De eenheid van de toonafstand is cent.
Er geldt:
TA = a ⋅ log
In deze formule is
de frequentieverhouding van twee tonen.
De waarde van a in de formule is zó gekozen dat de toonafstand tussen
twee opeenvolgende tonen precies gelijk is aan 100 cent.
Als je uitgaat van het hierboven genoemde getal 1,0595 en daarmee a
berekent, dan moet, afgerond op één decimaal, gelden: a = 3983,9.
43pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken op deze wijze de waarde van a in drie decimalen.
De toonafstand tussen twee tonen waar één toon tussen zit, is bij een
gestemde piano 200 cent. Zitten er twee tonen tussen, dan is de
toonafstand 300 cent, enzovoort.
Als je op een piano meer figuur 2
toetsen tegelijk aanslaat, krijg
je een samengestelde klank.
Zo kun je een F en de rechts
ervan gelegen A tegelijk
aanslaan: zie figuur 2. De
frequentieverhouding van de
tonen in deze samengestelde
klank is volgens de
muziektheorie gelijk aan 5:4. Met deze verhouding kun je een
toonafstand berekenen volgens de muziektheorie. Je kunt de toonafstand
ook berekenen door uit te gaan van het idee dat bij een gestemde piano
tussen elke twee opeenvolgende tonen 100 cent zit.
Op een gestemde piano wijkt de toonafstand (TA) van de bovenvermelde
(uit F en A) samengestelde klank iets af van de toonafstand die volgens
de muziektheorie moet gelden.
opgave 2Dakopbouw
Een architectenbureau heeft voor volle steden een mogelijkheid bedacht
om huizen met een plat dak uit te breiden: een dakopbouw die relatief
weinig kost, snel te plaatsen is en gemakkelijk is aan te passen aan de
individuele wensen van een klant. Aan de hand van deze wensen wordt
door middel van een computerprogramma voor elke klant een ontwerp
gemaakt, uitgaande van een aantal basismodellen.
Bij een van de modellen kan een klant kiezen voor een kleine dakopbouw
die, als er nog ruimte is op het platte dak, later eventueel uit te breiden is.
In figuur 1 zie je de plattegrond van deze dakopbouw met een
buitenterras vóór de uitbreiding. In figuur 2 zie je de plattegrond met een
buitenterras ná de uitbreiding. In deze figuren staan ook oppervlaktes
vermeld. De dakopbouw heeft overal een binnenhoogte van 2,60 meter,
zowel voor als na de uitbreiding.
Door de uitbreiding veranderen de oppervlaktes van douche en trapgat
niet.
63pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Bereken met hoeveel m3 de inhoud van het binnengedeelte van de
dakopbouw toeneemt bij de uitbreiding.
In figuur 3 zie je een perspectieftekening van een ander basismodel. In
figuur 3 zie je dat de lengte van de staande balk van dit basismodel
2,90 meter is.
figuur 3
Voor het in figuur 3 gekozen perspectief – waarbij de horizon horizontaal
loopt – heeft men in het computerprogramma een denkbeeldig punt aan
moeten geven van waaruit het perspectief getekend moest worden.
74puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage op welke hoogte
dit denkbeeldige punt gekozen is. Geef je antwoord in gehele meters.
De dakopbouw is dus naar wens aan te passen. Een potentiële klant wil
een beeld krijgen hoe de dakopbouw eruit zou zien als het basismodel
van figuur 3 wordt uitgebreid met een piramidevormig dak. Dit
piramidevormige dak wordt op de donkergrijze dakrand boven de kamer
geplaatst waardoor de hele dakopbouw anderhalf keer zo hoog wordt. De
top T van het piramidevormige dak komt precies boven het midden van
het huidige dak van de opbouw. Figuur 3 staat nogmaals op de
uitwerkbijlage.
85puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 5p
Teken de top T en daarna de rest van het piramidevormige dak in de
figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.
opgave 3Boom van Pythagoras
Veel mensen hebben weleens de boom van Pythagoras gezien. Deze
boom bestaat uit vierkanten en gelijkbenige rechthoekige driehoeken. In
figuur 1 staat het begin van zo’n boom en in figuur 2 een door (twee)
leerlingen verder uitgewerkte tekening van die boom.
figuur 1
figuur 2
De boom in figuur 2 begint onderaan in het midden van de lange zijde van
het papier met een vierkant en daarop een passende gelijkbenige
rechthoekige driehoek. Het vierkant en de driehoek samen noemen we
stap 0. Bij iedere volgende stap komt er op elke rechthoekszijde van de
driehoek steeds een vierkant met daarop weer een passende driehoek bij.
Het vierkant past steeds precies op de rechthoekszijde. Zie ook figuur 1.
Je kunt aantonen dat de oppervlaktes van de vierkanten in elke volgende
stap half zo groot worden. Anders gezegd: je kunt aantonen dat, als we de
oppervlakte van een vierkant a2 noemen, de oppervlakte van het vierkant
in de volgende stap
is.
93pOppervlakte, inhoud en schaal 1p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p · Formules herleiden en omwerken 1p
Toon dit aan.
Een gevolg hiervan is dat de lengte d van de
diagonaal in het vierkant in de volgende stap
precies gelijk is aan de hoogte a van het
vierkant in de vorige stap. Zie figuur 3.
Hans wil ook een boom van Pythagoras
tekenen en begint in het midden van de
onderkant van zijn papier met een onderste
vierkant van 10 cm bij 10 cm. Hij heeft een vel
papier met afmetingen 420 mm bij 594 mm tot
zijn beschikking. Hij vraagt zich af of hij wel tot en met stap 5 kan komen
met zijn boom. Hij zorgt ervoor dat de zijde van 594 mm de onderkant van
zijn tekenpapier is.
104pPythagoras, sinus, cosinus en tangens 4p
Onderzoek met een berekening of de hoogte van deze boom van
Pythagoras tot en met stap 5 op dit vel past.
De lengtes van de zijden van de opeenvolgende vierkanten vormen een rij
waarin elk volgend getal met een vaste factor vermenigvuldigd wordt.
Fleur gaat een boom van Pythagoras tekenen. Haar tekenpapier is groot
genoeg voor heel veel stappen. Ze begint met een vierkant van 13 cm bij
13 cm. Ze kan geen vierkantje tekenen met een zijde die kleiner dan
1 mm is.
114pRijen en recursie 4p
Bereken na welke stap Fleur stopt met tekenen.
Bij het tekenen van een boom van Pythagoras wordt het aantal nieuwe
vierkanten A bij elke volgende stap verdubbeld. Vandaar dat geldt:
An = 2n met A0 = 1 waarbij n het stapnummer is.
Om te bepalen wat het totale aantal getekende vierkantjes tot en met een
bepaalde stap n is, kun je een somformule Sn gebruiken.
Als je de getallen uit de rij b, br, br2, br3,…, brn op wilt tellen, geldt de
somformule die hoort bij een exponentieel verband:
124pRijen en recursie 4p
Bereken bij welke stap het totale aantal vierkantjes voor het eerst meer
dan 2000 is.
opgave 4Welke van de tien?
In april 2015 zette een tv-presentator uit Singapore een puzzel op het
internet die afkomstig was uit een toets voor basisschoolkinderen van een
school voor hoogbegaafde kinderen. De puzzel ging vervolgens de hele
wereld over, want iedereen vroeg zich af hoe je hem eigenlijk op moest
lossen.
Een variant van die puzzel is de volgende:
Amir en Bob hebben net Carina leren kennen en ze willen graag weten wanneer ze jarig is. Carina geeft ze een lijst met 10 mogelijke data: september 20 21 24 oktober 22 23 november 19 21 december 19 20 22 Daarna vertelt ze aan Amir in welke maand ze jarig is en aan Bob op welke dag van de maand ze jarig is. Amir zegt vervolgens: “Ik weet niet wanneer Carina jarig is, maar ik weet zeker dat Bob het op dit moment ook niet weet.” Bob reageert hierop: “Eerst wist ik inderdaad niet wanneer Carina jarig is, maar dankzij Amirs opmerking weet ik het nu wel”, waarop Amir concludeert: “Oh, maar dan weet ik het nu ook!”
Deze lastige puzzel is op te lossen met behulp van logisch redeneren. We
spreken daarvoor de volgende notaties af:
− A(oktober) betekent ‘Carina heeft tegen Amir gezegd dat ze in de
maand oktober jarig is’.
− B(22) betekent: ‘Carina heeft tegen Bob gezegd dat ze op de 22e
jarig is’.
− C(20 december) betekent ‘Carina is jarig op 20 december’.
Voor andere dagen en maanden gelden dan vergelijkbare notaties.
132pLogisch redeneren 2p
Vertaal bovenstaande logische uitdrukking in een gewone zin.
Vanzelfsprekend kan Amir nooit weten wanneer Carina jarig is. Voor
iedere maand zijn immers meerdere dagen mogelijk. Voor Bob ligt dat
anders, maar toch zegt Amir zeker te weten dat Bob ook niet weet
wanneer Carina jarig is.
Hieruit kun je concluderen dat Carina in november of december jarig is.
143pLogisch redeneren 3p
Leg uit hoe je tot deze conclusie komt.
Bob weet dus in eerste instantie niet wanneer Carina jarig is. Je kunt alle
mogelijkheden die er voor hem zijn, weergeven in de afgesproken notatie.
Omdat inmiddels bekend is dat Carina in november of december jarig is,
kunnen we ons beperken tot de dagen die in november en december
vóórkomen. Het lijstje met data ziet er nu dus als volgt uit:
Voor elk van de dagen 19, 20, 21 en 22 kan, uitgaande van wat Carina
tegen Bob gezegd kan hebben, een logische uitdrukking gemaakt worden.
Door deze vier logische uitdrukkingen te combineren met het gegeven dat
Carina in november of december jarig is én het feit dat Bob haar
verjaardag weet dankzij dit gegeven, kun je concluderen dat Carina niet
op de 19e jarig is.
Eén van die logische uitdrukkingen is:
154pLogisch redeneren 4p
Schrijf voor de andere drie dagen die vóórkomen in de maanden
november en december ook zo’n logische uitdrukking op en leg uit hoe je
aan de conclusie komt dat Carina niet op de 19e jarig is.
We weten dus nu twee dingen:
1 Carina is in november of in december jarig;
2 Carina is niet op de 19e jarig.
Blijkbaar is dit genoeg informatie voor Amir om erachter te komen
wanneer Carina jarig is.
163pLogisch redeneren 3p
Wanneer is Carina jarig? Licht je antwoord toe met een redenering.
