bij dit examen
OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde S en het gemiddelde X van de X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
opgave 1Invloed
Bij verkiezingen wordt vaak gekeken naar het opkomstpercentage, het
percentage van de stemgerechtigden dat een stem uitbrengt.
In de periode 1986-1998 daalde het opkomstpercentage voor de Tweede
Kamerverkiezingen voortdurend. In 1986 brachten 9 199 621 van de
10 727 701 stemgerechtigden hun stem uit, in 1998 waren dat er 8 919 787
van de 11 112 189.
12pLaat zien dat het opkomstpercentage in de periode 1986-1998 inderdaad
is afgenomen.
Eén van de redenen die vaak genoemd wordt om niet te gaan stemmen is
‘het gevoel geen invloed te hebben’.
Het vervolg van deze opgave gaat over invloed bij beslissingen die via
een stemming tot stand komen.
Als voorbeeld bekijken we een groep van 9 personen, die bij meerderheid
mogen beslissen over het al dan niet aanvaarden van een voorstel.
Eén van hen is Johan. Hij vraagt zich af hoe groot de kans is dat zijn stem
de doorslag geeft. Johans stem is doorslaggevend als van de andere
groepsleden er 4 voor het voorstel en 4 tegen het voorstel stemmen.
We gaan uit van de volgende veronderstellingen:
− ieder lid van de groep brengt zijn stem uit;
− ieder lid van de groep heeft dezelfde kans p om vóór het voorstel te
stemmen.
24pBereken de kans dat Johans stem doorslaggevend is als p = 0,8.
We bekijken nu een groep van 11 personen. De kans dat Johans stem de
doorslag geeft, is dan
Ook hier heeft ieder lid van
de groep dezelfde kans p om vóór het voorstel te stemmen.
33pOnderzoek bij welke waarde van p de kans dat Johans stem
doorslaggevend is, maximaal is.
De kans
dat Johans stem doorslaggevend is bij een dergelijke
stemming hangt af van het aantal medestemgerechtigden en van de
waarde van p.
We gaan vanaf nu uit van een situatie met 2n medestemgerechtigden en
p = 0,5.
De bedoelde kans is dan gelijk aan
.
Voor grote waarden van n kun je deze kans goed benaderen met de
volgende formule:
44pBereken hoe groot het verschil is tussen de benaderde kans en de echte
kans als er 50 medestemgerechtigden zijn.
Naarmate een groep groter wordt, neemt de kans dat Johans stem
beslissend is natuurlijk af.
We bekijken dit verschijnsel bij de formule
.
Johan vraagt zich af wat er gebeurt met de kans dat zijn stem
doorslaggevend is als de groep medestemgerechtigden groter wordt.
53pBeredeneer hoeveel keer zo klein deze kans wordt als het aantal
medestemgerechtigden vier keer zo groot wordt.
opgave 2Bridgedrive
Bridge is een kaartspel waarbij een team van twee spelers tegen een
ander team van twee spelers speelt. Zo’n team van twee spelers heet een
paar. De Oldenzaalse Bridge Club organiseert ieder jaar een bridgedrive
(een toernooi) waar een groot aantal paren aan deelneemt.
Aan de bridgedrive van 2008 namen 192 paren deel. Elk paar speelde
acht rondes waarin ze in elke ronde vier spellen speelden. Nadat elk paar
deze 32 spellen had gespeeld werden de eindscores bepaald. Het paar
met de hoogste eindscore werd de winnaar.
63pBereken hoeveel keer er tijdens deze bridgedrive een spelletje bridge
werd gespeeld.
De bridgedrive wordt gespeeld op 16 verschillende horecalocaties in
Oldenzaal. Op elke locatie spelen evenveel paren. Na vier spellen
wisselen de paren van locatie volgens een schema dat de spelers van
tevoren niet bekend is.
Het paar Hendriks-Hendriks zit klaar voor de eerste ronde. Zij vragen zich
af of het paar Van Zomeren-Zenderink tijdens de eerste ronde op dezelfde
locatie speelt.
73pBereken de kans dat het paar Van Zomeren-Zenderink de eerste ronde op
dezelfde locatie speelt als het paar Hendriks-Hendriks.
Per spel krijgt elk paar een score op een schaal van 0 tot en met 100.
Na afloop van de drive wordt voor elk paar de totale score gedeeld door
het aantal gespeelde spellen. Dit geeft een eindscore die wordt afgerond
op twee decimalen. Het paar met de hoogste eindscore krijgt positie 1 en
wint de hoofdprijs.
We nemen aan dat in 2008 de eindscores normaal verdeeld waren met
gemiddelde 50,00 en standaardafwijking 7,12. Het paar Hendriks-
Hendriks had een eindscore van 54,66.
84pBereken op grond hiervan de positie van dit paar in de eindklassering.
In 2007 namen 190 paren deel aan de drive. Hun eindscores staan in een
tabel op de uitwerkbijlage. Het gemiddelde van deze eindscores is 49,93
en de standaardafwijking is 7,07.
Men vraagt zich af of deze scores ook bij benadering normaal verdeeld
zijn. Dit is te onderzoeken door te controleren of deze gegevens in
overeenstemming zijn met onder andere de volgende twee regels voor de
normale verdeling:
1 de 68%-vuistregel;
2 de 95%-vuistregel.
Aan de eerste regel (de 68%-vuistregel) is voldaan.
93puitwerkbijlageOnderzoek of de scores in de tabel op de uitwerkbijlage ook aan de
tweede regel voldoen.
opgave 3Talen
De wereldbevolking bedroeg in 2010 ongeveer 6800 miljoen (6,8 miljard)
mensen. Volgens schattingen uit dat jaar werden er toen op de wereld
ruim 500 talen gesproken.
In deze opgave verstaan we onder sprekers van een taal alleen de
mensen voor wie deze taal hun moedertaal is.
Sommige talen worden door meer dan 100 miljoen mensen gesproken,
maar er zijn ook talen die nog slechts door enkele tientallen mensen
gesproken worden.
Hoe meer mensen een taal spreken, hoe groter we die taal noemen.
Alle aantallen in deze opgave hebben betrekking op het jaar 2010 en zijn
benaderingen op grond van schattingen.
De grootste taal is het Mandarijn met 800 miljoen sprekers.
De kans dat van 6 willekeurig gekozen mensen uit de totale
wereldbevolking er minstens één Mandarijn spreekt, is groter dan 0,5.
104pBereken deze kans in drie decimalen nauwkeurig.
Van alle gesproken talen is er een ranglijst waar de talen op volgorde van
veel naar weinig sprekers staan. De top-15 van de meest gesproken talen
in 2010 staat in onderstaande tabel.
tabel
1 Mandarijn 800 000 000 2 Spaans 358 000 000 3 Engels 350 000 000 4 Hindi/Urdu 240 000 000 5 Bengaals 170 000 000 6 Russisch 160 000 000 7 Portugees 150 000 000 8 Arabisch 150 000 000 9 Japans 126 000 000 10 Duits 100 000 000 11 Wu 90 000 000 12 Javaans 70 000 000 13 Punjab 70 000 000 14 Frans 70 000 000 15 Telugu 70 000 000
Deze 15 talen hebben samen 2974 miljoen sprekers. Van de ruim 500
talen zijn er 86 talen met 10 miljoen of meer sprekers. Op de 44e plaats
staat het Nederlands met 20 miljoen sprekers. Hieruit kun je concluderen
dat de talen op de plaatsen 45 tot en met 86 elk minstens 10 miljoen en
hoogstens 20 miljoen sprekers hebben.
Met deze gegevens kun je niet het exacte totaal aantal sprekers van de
86 talen met meer dan 10 miljoen sprekers berekenen. Wel is het mogelijk
om een onder- en een bovengrens van dit aantal te berekenen.
114pLaat zien dat het mogelijk is dat het totaal aantal sprekers van de eerste
86 talen groter is dan 5,7 miljard.
Onderzoekers willen een formule opstellen waarmee het totaal aantal
sprekers van de n grootste talen berekend kan worden als n gegeven is.
Voor zo’n formule moet dus bijvoorbeeld gelden dat het totaal aantal
sprekers gelijk is aan 2,974 miljard voor n = 15.
Neem aan dat geen enkel tweetal talen precies hetzelfde aantal sprekers
heeft.
123pBeredeneer dat de grafiek van het totaal aantal sprekers afnemend
stijgend is.
Het verband tussen het totaal aantal sprekers A van de n grootste talen
en n kan worden benaderd met de volgende formule:
A = 0,92 ⋅ n0,43
Hierbij is n het plaatsnummer van een taal en A het totaal aantal sprekers
in miljarden van de n grootste talen.
Volgens deze formule zouden er voor de 6,8 miljard sprekers veel minder
dan de eerder genoemde ruim 500 talen zijn.
133pBereken hoeveel talen er volgens de formule zouden zijn.
opgave 4Benzineverbruik
Op sommige stukken snelweg staat een bord met de
aansporing ‘Rij schoner, rij 80 in z’n 5.’
Naar aanleiding hiervan onderzocht een journalist hoe
het benzineverbruik van een auto afhangt van de
snelheid en de versnelling waarin de auto rijdt.
De journalist reed ’s nachts 6 keer een afstand van 10 km op een recht
stuk snelweg. Met behulp van cruise control reed hij eerst met
80 km per uur in de derde, vierde en vijfde versnelling en vervolgens met
90 km per uur in de derde, vierde en vijfde versnelling. Elke seconde werd
het benzineverbruik geregistreerd.
144pBereken hoeveel meetgegevens de journalist op deze manier verzamelde.
In de vijfde versnelling is de auto steeds het zuinigst. In de tabel staat de
literafstand L (het aantal kilometer dat je per liter benzine kunt rijden) van
de auto in de vijfde versnelling bij verschillende snelheden. In de tabel
kun je bijvoorbeeld zien dat de literafstand van de auto bij een snelheid
van 80 km per uur 21,62 km is. Dat betekent dat je bij deze snelheid
21,62 km kunt rijden met 1 liter benzine.
tabel
literafstand en de bijbehorende snelheid in de vijfde versnelling
De journalist stelde dat er tot een snelheid van 110 km per uur bij
benadering sprake was van een lineair verband tussen de literafstand L
en de snelheid v.
154pStel een formule op van dit verband.
In werkelijkheid zal bij snelheden van ten minste 90 km per uur het
verband tussen de literafstand en de snelheid niet lineair zijn. Het is ook
denkbaar dat de afname van de literafstand exponentieel verloopt.
164pBereken in dat geval de groeifactor per 10 km per uur en bereken
daarmee bij welke snelheid de literafstand 10 km zal zijn.
In een voorlichtingsfolder over zuinig rijden lezen we: ‘Een zuinige
snelheid is 90 km per uur. Als je 120 km per uur rijdt, dan neemt de
literafstand met 30% af. Rijd je 140 km per uur, dan is de literafstand al
met 48% afgenomen.’
Je kunt met bovenstaande gegevens berekenen met hoeveel procent de
literafstand afneemt als de snelheid toeneemt van 120 km per uur naar
140 km per uur.
174pBereken dit percentage.
