opgave 2Buisfolie
Een bedrijf produceert plastic verpakkingsmateriaal. Men maakt er onder
andere buisfolie. Buisfolie wordt verwerkt tot plastic zakken. Bij de
productie van de buisfoliezakken moet de breedte binnen nauwe grenzen
blijven. De streefwaarde is 715 mm.
Om het risico te beperken dat de zakken te smal zijn, wordt de
gemiddelde breedte ingesteld op 715,6 mm. Neem aan dat de breedte
normaal verdeeld is met σ = 0,5 mm.
Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is
vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de
zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt.
63pBereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit
tolerantiegebied ligt.
Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van
buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is
dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is
mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet
verandert maar de standaardafwijking wel.
72pBeredeneer of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet
zijn.
De bedrijfsleiding streeft naar een weekproductie van 26 000 kg buisfolie.
Voorafgaand aan de productie van het jaar 2013 beweerden de technici
dat voor elke gewone werkweek de kans 75% was dat die weekproductie
van 26 000 kg of meer gerealiseerd kon worden. Voor de volgende vraag
gaan we ervan uit dat die technici gelijk hebben.
84pBereken de kans dat een productie van 26 000 kg of meer in minstens
21 van de 48 gewone werkweken niet gehaald wordt.
Bij het bedrijf komt het verzoek binnen om een spoedorder te verwerken
van 23 750 kg buisfolie. Deze bestelling moet binnen een week geleverd
worden.
Op basis van eerdere gegevens gaat de leiding ervan uit dat het gewicht
in kg van de buisfolie die per week geproduceerd wordt normaal verdeeld
is met μ = 28000 en σ = 3300.
93pToon hiermee aan dat de kans dat het bedrijf de weekproductie van
23 750 kg niet haalt ongeveer 9,9% is.
Er bestaat dus een kans van 9,9% dat het bedrijf de weekproductie niet
haalt. Het bedrijf kan zodoende met 90,1% zekerheid de spoedorder
uitvoeren.
Voor die spoedorder van 23 750 kg buisfolie wordt een prijs van € 2,15
per kg gerekend als deze binnen die week geleverd wordt. Als dit echter
niet lukt dan haakt de klant af en kan het bedrijf een boete van € 50 000,-
verwachten. De partij buisfolie kan dan nog wel te zijner tijd afgemaakt
worden en aan een andere klant worden verkocht voor € 0,50 per kg.
Het is nu de taak van het management om de risico’s af te wegen en een
keuze te maken of men deze spoedorder al dan niet zal accepteren.
104pBereken de verwachtingswaarde van de opbrengst voor het bedrijf als
men deze spoedorder accepteert.
opgave 3Prille groei
Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een
ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd.
In tabel 1 staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een
foetus bij een leeftijd van t weken.
tabel 1
In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij tabel 1 zou
kunnen passen.
Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële groei:
G = b ⋅ at met a en b constanten.
Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad
exponentieel verloopt.
113pBereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan
toeneemt in die periode.
Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus
in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel.
123pLaat dat met een berekening zien.
Om een beter model voor de groei van de foetus te maken, berekenen we
de logaritmes van de getallen in tabel 1.
We bekijken dus de waarden van M = log(G) ten opzichte van L = log(t).
Zie tabel 2 en de bijbehorende punten in de figuur.
De punten in de figuur liggen bij benadering op een bergparabool. Deze
parabool is in de figuur getekend. Bij deze parabool hoort de volgende
formule:
M = −7,131 + 11,305 ⋅ L − 2,892 ⋅ L2
Het gewicht van een foetus van 30 weken kan met deze formule worden
berekend: bij t = 30 hoort L = log(30) ≈ 1,48. Met de formule kun je de
waarde van M en daarna de bijbehorende waarde van G berekenen. Die
waarde wijkt af van de waarde volgens tabel 1.
133pBereken hoeveel deze afwijking bedraagt.
Als de parabool van de figuur de groei goed beschrijft, dan zou de grafiek
moeten stijgen gedurende de hele zwangerschap.
144pBereken de waarde van t waar de grafiek van M weer gaat dalen en leg
uit dat dit voor het model geen bezwaar is.
opgave 4Halli Galli
Halli Galli is een kaartspel. Bij het spel worden 56 kaarten gebruikt
waarop vruchten afgebeeld zijn. Er zijn vier soorten vruchten: banaan,
aardbei, citroen en pruim. Er zijn veertien bananenkaarten met diverse
aantallen bananen. Die zie je in de tabel. De andere drie soorten vruchten
hebben dezelfde verdeling van kaarten.
tabel
In deze opgave wordt het spel gespeeld met twee spelers, A en B.
Het spel kaarten wordt goed geschud. Vervolgens krijgt eerst speler A
28 kaarten. Daarna krijgt speler B de overige kaarten.
153pBereken de kans dat de eerste vier kaarten van speler A allemaal
bananenkaarten zijn.
In werkelijkheid ziet de speler zijn kaarten niet: de speler legt ze dicht
(dat wil zeggen: met de afbeelding naar beneden) voor zich neer op een
stapel.
Het spel gaat dan als volgt: beide spelers pakken tegelijk de bovenste
kaart van hun dichte stapel en leggen die op hun open stapel. Zie foto.
foto
In het midden staat een bel. Zodra er van een vruchtensoort precies
5 vruchten op de twee open kaarten samen zichtbaar zijn, slaat iedere
speler zo snel mogelijk op de bel. Zie bijvoorbeeld de situatie op de foto.
Of er dan ook nog andere vruchten met andere aantallen te zien zijn, is
daarbij niet van belang. Dus ook bij, bijvoorbeeld, het zichtbaar zijn van
een kaart met 5 citroenen en een andere kaart met 2 pruimen moet er op
de bel geslagen worden.
De speler die het eerst op de bel slaat, krijgt de open stapel van zijn
tegenstander. Deze legt hij met de afbeelding naar beneden onder zijn
eigen dichte stapel. Het doel van het spel is om zo alle kaarten te winnen.
Bij het begin van het spel heeft iedere speler een dichte stapel van
28 kaarten voor zich. Beide spelers draaien hun eerste kaart om. Omdat
de kaarten willekeurig verdeeld zijn, mag je voor het berekenen van de
kansen uitgaan van één goed geschudde stapel van 56 kaarten waarvan
je de twee bovenste omdraait. Je ziet dan een aantal vruchten.
165pBereken de kans dat daar precies 5 pruimen bij zijn.
Heel soms gebeurt het dat speler A een kaart met 5 citroenen boven op
zijn eigen stapel legt en speler B een kaart met 5 aardbeien. En het
gebeurt ook wel eens precies andersom.
173pBereken op hoeveel manieren er in totaal 10 vruchten tegelijk zichtbaar
kunnen zijn tijdens het spel.
A en B spelen dit spel vaker en het is opgevallen dat speler A vaak net
wat trager reageert dan speler B. Neem aan dat speler A steeds een kans
van 0,4 heeft om als eerste op de bel te drukken.
184pBereken de kans dat als er in een spelletje 20 keer op de bel gedrukt
wordt, speler A hierbij hoogstens 6 keer de eerste is.
opgave 5Lampen
Sinds enkele jaren is de handel in gloeilampen verboden. Het is de
bedoeling dat iedereen overstapt op spaarlampen of LED-lampen. In deze
opgave houden we ons met gloei-, spaar- en LED-lampen bezig.
Spaarlampen bestaan al sinds 1982, maar hebben nooit de populariteit
van de gloeilamp kunnen bedreigen. Toch is een gloeilamp op de lange
termijn een stuk minder voordelig dan een spaarlamp: de levensduur van
een gloeilamp is veel korter dan die van een spaarlamp én een gloeilamp
gebruikt vijf keer zoveel energie als een spaarlamp om dezelfde
lichtsterkte te produceren.
Het energieverbruik per tijdseenheid van lampen (het wattage) wordt
uitgedrukt in watt (W). Er geldt dus dat een gloeilamp een vijf keer zo
hoog wattage heeft als een spaarlamp die evenveel licht geeft. Zie ook
de tabel.
tabel vergelijking gloei- en spaarlamp van dezelfde lichtsterkte
De prijs van elektriciteit is € 0,23 per kWh (kilowattuur). Dat wil zeggen
dat het gebruik van 1 kW (= 1000 W) gedurende 1 uur € 0,23 kost.
Bijvoorbeeld: een lamp met een wattage van 100 W die drie uur brandt,
zal
aan elektriciteit kosten.
De gebruikskosten van lampen bestaan uit de aanschafkosten en de
kosten om ze te laten branden. Een spaarlamp van 15 watt zal tijdens zijn
gehele levensduur van 7800 uur een stuk goedkoper zijn dan het gebruik
van meerdere gloeilampen met dezelfde lichtsterkte die samen
7800 branduren hebben.
195pBereken hoeveel goedkoper de spaarlamp is. Geef je antwoord in centen
nauwkeurig.
Stella heeft een spaarlamp gekocht van 12 W. Deze lamp kostte € 8,40.
Een gloeilamp van 60 W, dus met dezelfde lichtsterkte, kost € 0,60. De
spaarlamp is al goedkoper bij een aantal branduren dat kleiner is dan de
levensduur van één gloeilamp met dezelfde lichtsterkte.
204pOnderzoek na hoeveel branduren de gebruikskosten van de spaarlamp
lager zijn dan die van één gloeilamp.
De laatste jaren is de LED-lamp steeds populairder aan het worden. Deze
lampen zijn nóg zuiniger dan spaarlampen en gaan bovendien nog veel
langer mee.
In de grafiek is het verband getekend tussen het wattage van gloeilampen
en het wattage van LED-lampen met dezelfde lichtsterkte.
grafiek
Het is duidelijk dat een LED-lamp een veel lager wattage heeft dan een
gloeilamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft. Het verschil is zo groot dat
je kunt inzien dat een LED-lamp een lager wattage heeft dan een
spaarlamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft.
214pBereken hoeveel procent meer wattage een spaarlamp nodig heeft,
vergeleken met een LED-lamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft.
