opgave 1Lepelaars
Een lepelaar is een vogel met een lepelvormige
snavel die in Nederland onder andere op de
Waddeneilanden voorkomt. Sommige lepelaars hebben
ringen om hun poten, waardoor onderzoekers ze
individueel kunnen volgen.
De lepelaar op de foto is geringd volgens een oud
systeem. Hierbij kreeg de lepelaar één grote ring om
elke poot. Elk van deze twee ringen kon in acht kleuren
voorkomen. Bovendien kreeg de lepelaar ook nog een kleine,
zilverkleurige ring om één van zijn poten. Deze ring kon om de linker- of
rechterpoot zitten en kon zowel boven als onder de gekleurde ring zitten.
13pBereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar met dit systeem
geringd kon worden.
Vanaf 2007 is gekozen voor een nieuw systeem. Hierbij krijgt de lepelaar
zes smallere ringen om, drie om elke poot. In het nieuwe systeem gelden
de volgende regels:
− één van de zes ringen is een zilverkleurige ring;
− de andere vijf ringen kunnen voorkomen in acht andere kleuren,
waarbij dezelfde kleur ook vaker gebruikt mag worden;
− één van die vijf gekleurde ringen heeft een uitsteeksel, een 'vlag'.
24pBereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar met dit nieuwe
systeem geringd kan worden.
Onderzoekers hebben op basis van waarnemingen modellen opgesteld
voor het aantal lepelaars in Nederland. In de figuur zie je de aantallen
lepelaars voor de Waddeneilanden en voor heel Nederland in de periode
1960-2040. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. De doorgetrokken
grafiek is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden en
de gestippelde grafiek voor het totale aantal lepelaars in Nederland.
Uit de figuur kun je aflezen figuur
33pdat het percentage
van het totale aantal
lepelaars in
Nederland dat op de
Waddeneilanden
leeft, in de periode
1980 tot 2000 is
toegenomen.
Stel dat de aantallen
lepelaars zich
ontwikkelen volgens
de grafieken.
Onderzoek of het
percentage van het
totale aantal
lepelaars dat op de
Waddeneilanden leeft
in 2040 groter is dan dat in 2010.
In de periode 1980-2000 groeide het aantal lepelaars op de Wadden-
eilanden bij benadering exponentieel. In 1980 waren er ongeveer
200 lepelaars op de Waddeneilanden en in 2000 ongeveer 2100. Op basis
van deze gegevens kun je een formule opstellen voor deze exponentiële
groei. Met deze formule is het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in
2010 te voorspellen.
45pStel deze formule op en bereken het verschil tussen het aantal lepelaars
op de Waddeneilanden in 2010 volgens deze formule en volgens het
model in de figuur. Rond je antwoord af op honderdtallen.
Het volgende model geeft een betere benadering voor het aantal
lepelaars op de Waddeneilanden:
Hierin is N het aantal lepelaars en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 maart 1980. Volgens dit model zal het aantal lepelaars op de
Waddeneilanden toenemen tot een grenswaarde van 2780.
54pBereken in welk jaar het aantal lepelaars voor het eerst minder dan 5%
van de grenswaarde verschilt.
opgave 2Klimaatverandering
Het KNMI rapporteert regelmatig over het klimaat in Nederland. De
gegevens in deze opgave zijn afkomstig uit het rapport van 2008.
Het KNMI heeft de seizoenen (winter, lente, zomer, herfst) over de
periode 1901-2007 op basis van de temperatuur een cijfer gegeven. Zie
tabel 1.
tabel 1
De cijfers voor het jaar 1918 staan in tabel 2.
tabel 2
Elk jaar heeft van het KNMI ook een jaarcijfer J gekregen. Dit jaarcijfer
staat in de laatste kolom van tabel 2. G is het gemiddelde van de cijfers
van de vier seizoenen (afgerond op een geheel getal). Het jaarcijfer J is
niet altijd gelijk aan dit gemiddelde G. We noteren het verschil V met:
V = G − J.
62pBereken de waarde van V voor het jaar 1918.
In tabel 3 staat van een aantal waarden van V hoe vaak ze voorgekomen
zijn in de 107 jaar in de periode 1901-2007.
tabel 3
Alle waarden van V opgeteld geeft 26.
74pBereken met behulp van bovenstaande gegevens hoe vaak geldt V = − 2.
Een amateur-weerkundige veronderstelt op grond van het voorafgaande
dat de kans dat in een willekeurig jaar
G = J, gelijk is aan
83pBereken hoe groot in dat geval de kans is dat in een willekeurige periode
van 20 jaar G = J precies 11 keer voorkomt.
Algemeen gaat men ervan uit dat de jaartemperaturen zich gedragen
volgens een normale verdeling. Het KNMI gaat uit van een model met een
gemiddelde jaartemperatuur van 9,8 °C en een standaardafwijking van
0,6 °C.
93pBereken de kans op een gemiddelde jaartemperatuur boven de 10,5 °C
volgens dit model.
opgave 3Cijfers geven
Bij proefwerken wordt het cijfer berekend op basis van een behaald aantal
punten. Hiervoor bestaan verschillende methoden. Een methode is met
behulp van tabellen, waaruit een proefwerkcijfer snel afgelezen kan
worden. Op de uitwerkbijlage zie je twee van dergelijke tabellen. Beide
tabellen zijn niet helemaal volledig.
In de bovenste rij van beide tabellen staat het maximum aantal punten dat
voor het proefwerk behaald kan worden. In de eerste kolom staat het
aantal behaalde punten.
Wanneer een leerling bijvoorbeeld 21 punten heeft voor een proefwerk
waarin hij maximaal 32 punten kan halen, krijgt hij volgens tabel 2 het
cijfer 6,9.
Chris heeft twee proefwerken gemaakt en voor beide proefwerken
hetzelfde cijfer gekregen. Voor het eerste proefwerk kon hij maximaal
16 punten behalen; hij behaalde er 10. Voor het tweede proefwerk was
het maximale aantal punten 34.
102puitwerkbijlageHoeveel punten heeft Chris voor het tweede proefwerk behaald? Maak
hiervoor gebruik van de tabellen op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord
toe.
De berekening van de proefwerkcijfers in deze tabellen gaat als volgt:
− bij het behalen van 0 punten is het cijfer gelijk aan 1;
− bij het behalen van het maximale aantal punten is het cijfer gelijk aan
10;
− het cijfer neemt lineair toe met het aantal behaalde punten;
− daarna wordt het cijfer afgerond op één decimaal.
In tabel 1 op de uitwerkbijlage ontbreekt in de laatste kolom één
proefwerkcijfer.
113pBereken dit proefwerkcijfer volgens de hierboven beschreven methode.
Bij vierkeuzevragen, waarbij steeds precies één van de vier antwoorden
goed is, gaat het anders. Een leerling die geen enkel antwoord weet, zal
naar verwachting een kwart van de vragen goed gokken. De berekening
houdt daar rekening mee door ervan uit te gaan dat een kwart van de
vragen goed beantwoord wordt. De overige antwoorden tellen mee voor
de score. Daarbij wordt de methode van vraag 11 gebruikt. Bij minder dan
een kwart van de antwoorden goed wordt het cijfer 1 toegekend.
Wanneer een leerling van de 40 vierkeuzevragen er 30 goed heeft, gaat
het als volgt: 10 goede antwoorden (een kwart van de 40) worden
weggelaten. Van de overgebleven 30 vragen heeft de leerling er 20 goed
en dat levert volgens de hierboven genoemde procedure het cijfer 7,0 op.
Annette heeft een proefwerk gemaakt van 48 vierkeuzevragen.
124pBereken hoeveel antwoorden Annette goed moet hebben om een 6,0 te
krijgen.
Op de uitwerkbijlage is een assenstelsel getekend. Langs de horizontale
as staat het aantal goed beantwoorde vragen weergegeven dat hoort bij
een proefwerk van 40 vierkeuzevragen. Langs de verticale as staat het
proefwerkcijfer vermeld.
134pTeken de grafiek die bij deze situatie hoort.
De uitkomsten in de tabellen worden berekend door gebruik te maken van
een formule. Voor andere situaties, bijvoorbeeld vijfkeuzevragen (waarbij
dus telkens van vijf antwoorden er precies één goed is), kunnen we ook
een formule opstellen om het cijfer C te berekenen aan de hand van het
aantal goed beantwoorde vragen G.
We gaan uit van een proefwerk met 45 vijfkeuzevragen en veronderstellen
dat iemand minstens het vijfde deel van de vragen goed beantwoord
heeft. Voor het berekenen van het cijfer als iemand minstens het vijfde
deel van de vragen goed beantwoord heeft, wordt de methode van
vraag 11 gebruikt. Je kunt dan een lineair verband opstellen tussen C en
G.
145pStel deze formule op en herleid het antwoord tot de vorm C = a · G + b.
opgave 4Rapido
In Frankrijk kun je in sommige cafés het
kansspel Rapido spelen. Dit spel speel je door
getallen aan te kruisen op een formulier. Zie de
afbeelding. Van de bovenste 20 getallen (A) kruis
je er 8 aan en van de onderste 4 getallen (B) kruis
je er één aan.
Nadat de formulieren zijn ingeleverd, worden via
een centraal systeem aselect 8 van de bovenste
getallen als winnend aangewezen en wordt
aselect één van de onderste getallen als winnend
aangewezen.
Volgens de organisatie is de kans dat je alle
negen getallen goed aankruist 2 op de miljoen.
154pLaat zien dat deze kans (ongeveer) 0,000002 is.
In onderstaande tabel is aangegeven hoeveel euro je per ingezette euro
uitbetaald krijgt en wat de bijbehorende kansen zijn.
tabel
In deze tabel kun je bijvoorbeeld zien dat je met 6 cijfers in A goed en het
cijfer in B goed 30 euro per ingelegde euro uitbetaald krijgt en dat de kans
daarop gelijk is aan
164pBereken de winstverwachting per ingezette euro bij dit spel.
Volgens Wikipedia heeft een speler die 100 keer 1 euro inzet bij Rapido
een kans van 0,42% om daarbij precies vijf keer 10 euro uitbetaald te
krijgen.
173pOnderzoek met een berekening of deze bewering juist is.
Om een prijs te krijgen, moet je dus 4 of meer van de aangewezen
getallen uit A juist aangekruist hebben. Zijn dat er 4, dan moet je
bovendien ook het aangewezen getal uit B juist hebben aangekruist. Bij
5 of meer juist aangekruiste getallen in het bovenste gedeelte heb je altijd
een prijs.
Volgens de organiserende instantie zijn er ongeveer 100 000
verschillende manieren om een formulier in te vullen die een prijs
opleveren.
185pOnderzoek met een berekening of deze bewering juist is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Taalonderzoek
In 2013 was er een onderzoek naar de woordenschat van mensen in
Nederland en Vlaanderen. Iedereen kon meedoen met het onderzoek
door een test te doen op internet. Bij deze test kreeg een deelnemer
100 willekeurig gekozen woorden te zien uit een lijst van 50 000
bestaande Nederlandse woorden en 20 000 door de onderzoekers
verzonnen 'nepwoorden'. Van elk woord moest worden aangegeven of het
een bestaand woord is of niet. Het aantal nepwoorden in een test is (bij
benadering) binomiaal verdeeld.
Marieke heeft de test gedaan. In haar test zaten 37 nepwoorden.
194pBereken de kans dat in een test van 100 woorden 37 of meer nepwoorden
voorkomen.
Na afloop van de test wordt een score toegekend. Hiervoor wordt
berekend:
− het percentage bestaande woorden dat de deelnemer (terecht) als
bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men A;
− het percentage nepwoorden dat de deelnemer (ten onrechte) als
bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men B.
Vervolgens geldt: score = A–B.
Bij haar test van totaal 100 woorden heeft Marieke van de bestaande
woorden in de test er 56 herkend. Van de 37 nepwoorden heeft ze er 5
ten onrechte als bestaand bestempeld.
203pLaat met een berekening zien dat Marieke een score van 75 had voor de
test.
Eind oktober 2013 was de test 572 146 keer gemaakt door 368 798
verschillende deelnemers. Er waren dus (flink wat) deelnemers die de test
meer dan eens gedaan hadden. Uit onderzoek bleek dat de deelnemers in
drie groepen verdeeld konden worden:
− de proevers: deze deelnemers maakten de test één keer;
− de ambitieuzen: deze deelnemers maakten de test 2–10 keer;
− de doorzetters: deze deelnemers maakten de test meer dan 10 keer.
De verdeling van deze groepen over het totaal aantal deelnemers was:
proevers 76%, ambitieuzen 21% en doorzetters 3%.
Uit deze gegevens blijkt dat het gemiddeld aantal keren dat de
ambitieuzen de test deden, minder dan 3 was.
214pBereken hoe groot dit gemiddeld aantal keren ten hoogste kan zijn. Rond
je antwoord af op één decimaal.
Voor een vervolgonderzoek kiest men willekeurig 15 van deze 368 798
deelnemers.
223pBereken de kans dat deze groep 2, 3 of 4 ambitieuzen bevat.
