bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2022, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sscciioonnss((((tttt − + + − uuuu)))) = = = = sscciioonnss(((t(ttt))))ccccoooossss(((u(uuu)))) − + + − ccssooiissnn((((tttt))))ssssiiiinnnn((((uuuu))))
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 4Golvend ertussendoor

Voor 0 < x < 2π is de functie f gegeven door f(x) = (1)/(2sin(x)).
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
45p

Extremen en optimaliseren 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact het bereik van f.
Voor elke waarde van a is de functie ga gegeven door ga(x) = acos(x)
met domein [0,2π].
In figuur 2 zijn voor een waarde van a de grafieken van f en ga
weergegeven. In deze situatie hebben de grafieken van f en ga geen
punten gemeenschappelijk. Als de waarde van a verandert, verandert de
amplitude van de grafiek van ga.
figuur 2
figuur 2
55p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 2p · Ongelijkheden oplossen 2p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bereken exact voor welke waarden van a de grafieken van f en ga géén
punten gemeenschappelijk hebben.

opgave 5Efficiënt testen

Een teek is een parasiet. Teken kunnen
foto
drager zijn van de bacterie waarvan je de
ziekte van Lyme kunt krijgen. Ongeveer 20%
van de teken in Nederland is drager van deze
bacterie.
Om te onderzoeken of een persoon de ziekte
van Lyme heeft, neemt men een monster: er
wordt wat bloed afgenomen.
In een laboratorium wil men 1000 monsters
foto
testen op de aanwezigheid van de bacterie.
In het laboratorium kan elk van de monsters individueel getest worden. In
dat geval zijn er 1000 tests nodig.
Een alternatief is om van een aantal monsters een paar druppels te
nemen, die bij elkaar te voegen en dan dit mengsel te testen. Als het
mengsel de bacterie niet bevat, dan bevat geen van de monsters in het
mengsel de bacterie. Als het mengsel de bacterie wel bevat, weet je nog
niet welk monster de bacterie bevat en moeten alsnog de monsters in het
mengsel stuk voor stuk worden getest.
Het aantal monsters dat wordt samengevoegd voor één test is n. Als
n = 2 worden dus telkens twee monsters samengevoegd voor een test, en
als het mengsel de bacterie bevat, worden de twee monsters nog eens
apart getest. Het totale aantal tests T dat naar verwachting nodig is, hangt
af van n volgens de volgende formule:
T = 1000 ⋅ (1 + (1)/(n) − 0,8^n)
(formule 1)
Hierbij is n ≥ 2.
figuur
64p

Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 2p · Helling en snelheid met de afgeleide 1p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pGR mag

We bekijken nu eerst de grafiek van
deze formule voor T. Deze grafiek is
weergegeven in de figuur hiernaast.
De grafiek heeft een laagste punt.
Bepaal met behulp van de afgeleide
van T de helling van de grafiek voor
n = 4 en beredeneer daarmee of het
laagste punt links of rechts van n = 4
ligt.
figuur
Deze methode om het laagste totale aantal tests te bepalen wordt ook
gebruikt bij het testen op andere soorten besmetting. De fractie besmette
monsters wordt daarbij steeds voorgesteld door de variabele p (met
0 ≤ p ≤ 1). Voor de eerder genoemde besmetting door teken geldt dat
ongeveer 20% besmet is, dus wordt gerekend met p = 0,2.
Als er niet 1000, maar N monsters worden getest, dan ziet formule 1 er
voor willekeurige p als volgt uit:
T(n) = N ⋅^(1 + (1)/(n) − (1 − p)^n^) (formule 2)
Hierin is T(n) het verwachte totale aantal tests, n het aantal monsters dat
wordt samengevoegd en p de fractie besmette monsters.
In de praktijk werkt men in een laboratorium niet met de formule, maar
met een tabel. Als bekend is welke fractie van de teken (p) besmet is, dan
kan in zo’n tabel worden afgelezen voor welke waarde van n het
verwachte totale aantal tests (T(n)) zo laag mogelijk is.
Om die laagste waarde te vinden wordt bepaald bij welke waarde van p
geldt: T(n) = T(n + 1).
Er geldt dan het volgende verband:
n(n + 1) ⋅ p(1 − p)^n = 1
(formule 3)
74p

Formules herleiden en omwerken 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bewijs dat dit verband juist is.
tabel
Met behulp van formule 3 kunnen de grenswaarden
voor p worden bepaald. Voor een aantal waarden
van n staan de grenswaarden voor p weergegeven in
de tabel hiernaast. In de tabel is bijvoorbeeld te zien
dat voor waarden van p tussen 0,0411 en 0,0656 bij
een keuze van n = 5 het totale aantal tests zo klein
mogelijk is.
p n 0,0656 4 0,0411 5 0,0283 6 0,0207 7 0,0158 8
Van een bepaalde besmetting is bekend dat p = 0,025. Men wil dat het
verwachte totale aantal tests niet groter is dan 750. Met behulp van de
tabel en formule 2 kan nu worden berekend van maximaal hoeveel
monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.
83p

Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pGR mag

Bereken met behulp van de tabel en formule 2 van maximaal hoeveel
monsters N bepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.

opgave 6Begrensde gebieden

figuur 1 De functie gegeven door: De grafiek snijdt de y -as in het punt figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de x -as, de y -as, de lijn met vergelijking y = 4 en de lijn met vergelijking x = q met q > 0 . De grafiek van f verdeelt deze…

figuur 1 De functie gegeven door: De grafiek snijdt de y -as in het punt figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de x -as, de y -as, de lijn met vergelijking y = 4 en de lijn met vergelijking x = q met q > 0 . De grafiek van f verdeelt deze rechthoek in twee delen. Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn.

opgave 7Cirkels en lijnen

Voor 0 ≤ t ≤ 2π beweegt een punt P over een
figuur 1
cirkelvormige baan cP met middelpunt O(0,0)
volgens de bewegingsvergelijkingen:
{xy_P_P((tt)) = = 22csoins((tt))
Voor 0 ≤ t ≤ 2π beweegt tegelijkertijd een
punt Q over een cirkelvormige baan cQ volgens
de bewegingsvergelijkingen:
figuur 1
{xy_Q_Q((tt)) = = 2si + n(cto)s(t)
Hoek POQ is afhankelijk van t. In figuur 1 zijn beide cirkels cP en cQ
weergegeven. Ook zijn de lijnstukken OP en OQ weergegeven voor een
waarde van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.
115p

Vectoren en inproduct 3p · Goniometrische formules en herleidingen 1p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de waarden van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar
staan.
De lijn door P en Q snijdt de x-as in punt A. De x-coördinaat van A is
onafhankelijk van t.
125p

Vectoren en inproduct 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.
Punt M is het midden van lijnstuk PQ. Op t = 0 beginnen P en Q vanaf
de x-as naar boven te bewegen. Punt M beweegt dan mee naar boven.
In figuur 2, 3 en 4 is voor drie waarden van t de situatie weergegeven.
figuur 2
figuur 3
figuur 4
figuur 4
Voor t ≈ 0,723 ligt punt M op cirkel cQ. Zie figuur 2.
Na t ≈ 0,723 komt M in het gebied buiten cQ te liggen. Zie figuur 3.
Op een zeker tijdstip ligt M op cirkel cP. Zie figuur 4.
Punt M ligt een percentage van de tijd waarin de punten P en Q een
volledige baan doorlopen buiten cP en cQ.
136p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · +1GR mag

Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 8Asymptoot

De functie f is gegeven door:
f(x) = x − 1 + (x − 5)/(2x − 5)
In de figuur is de grafiek van f weergegeven. De grafiek heeft een
knikpunt voor x = 1. Lijn k is een scheve asymptoot van de grafiek van f.
Ook deze scheve asymptoot is in de figuur weergegeven.
figuur
figuur
143p

Eigenschappen van functies en grafieken 3pGR mag

Stel een vergelijking op van k.
Een deel van de grafiek van f ligt onder de x-as.
156p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · +1exact

Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f onder de x-as
ligt.