bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 (oud programma)

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t) + sin(u) = 2sin((t + u)/(2))cos ((t − u)/(2))
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
sin(t) − sin(u) = 2sin((t − u)/(2))cos((t + u)/(2))
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t) + cos(u) = 2cos((t + u)/(2))cos((t − u)/(2))
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
cos(t) − cos(u) = − 2sin((t + u)/(2))sin ((t − u)/(2))

opgave 2Een familie van gebroken functies

Voor elke positieve waarde van a is de functie fa met domein 0,→
gegeven door
f_a(x) = (x)/(a) + (2a)/(x) − 3
De grafieken van f1 en f3 zijn in onderstaande figuur getekend.
figuur
y
1
O
f1 f3 1 2 3 4 5 6 7 8 x
De grafieken van f1 en f3 snijden elkaar in één punt.
13p
Bereken exact de x -coördinaat van dit punt.
De grafiek van f1 snijdt de x-as in de punten (1,0) en (2,0). De grafiek
van f1 en de x-as sluiten een vlakdeel in.
25p
Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
Voor elke waarde van a, met a > 0, heeft de grafiek van fa één top.
34p
Bewijs dat al deze toppen dezelfde y-coördinaat hebben.

opgave 3Het klimmen van een vliegtuig

Een vliegtuig komt los van de grond en ‘klimt’ zo snel mogelijk. Naarmate
het toestel hoger komt, wordt de lucht ijler. Hierdoor wordt het steeds
moeilijker om hoger te komen. Op zekere hoogte is het niet meer mogelijk
om verder te klimmen. Deze maximale hoogte wordt het absolute
plafond genoemd.
In deze opgave gebruiken we het volgende model van de hoogte van een
eenmotorig vliegtuig op een bepaald moment:
h(t) = A 1 − e − (t)/(k)
Hierin is:
− t de tijd in minuten vanaf het moment dat het vliegtuig los van de
grond komt;
− h(t) de hoogte in ft1) na t minuten;
− A het absolute plafond in ft;
− k een positieve constante.
De waarden van A en k zijn afhankelijk van het type vliegtuig.
In de figuur is een globale grafiek van h weergegeven.
figuur
hoogte absolute plafond A h O tijd
Een vliegtuig voert een testvlucht uit. Om het absolute plafond te bepalen
wordt tijdens het klimmen op verschillende tijdstippen de hoogte bepaald.
Na 10 minuten klimmen is de hoogte 10 760 ft. Na 20 minuten klimmen is
de hoogte 16 650 ft. Met deze gegevens kan het absolute plafond van dit
vliegtuig worden berekend.
44p
Bereken het absolute plafond van dit vliegtuig in ft. Rond je antwoord af
op honderden ft.
Van een ander vliegtuig is bekend dat k =13,6.
54p
Bereken hoelang na het opstarten dit vliegtuig zich op de helft van zijn
absolute plafond bevindt. Rond je eindantwoord af op hele seconden.
noot 1 1 ft is één Engelse voet; 1 ft = 30,48 cm
Het zou veel vermogen van de motor vragen wanneer een vliegtuig op of
vlak onder het absolute plafond zou vliegen. Er blijft dan te weinig
vermogen over om zijwaarts te kunnen manoeuvreren. Daarom is de
hoogte waarop een vliegtuig in de praktijk vluchten maakt, lager dan het
absolute plafond.
Een vliegtuig vliegt meestal op een hoogte die wordt aangeduid als het
praktische plafond P. Deze hoogte wordt gedefinieerd als de vlieghoogte
waarop de klimsnelheid h'(t) gelijk is aan 100 ft per minuut.
Iemand beweert dat P uitgerekend kan worden, uitgaande van de
waarden van A en k, met de volgende formule:
P = A − 100k
65p
Onderzoek of deze bewering juist is.

opgave 4Stralen en koorden

Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een koorde AB,
met AB < AM. Op BM bevindt zich een punt C zo dat AC = AB.
BAC noemen we α. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 1
A α M C B
Er geldt: AMB = α.
74p
Bewijs dit.
In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. D is het snijpunt van het
verlengde van lijnstuk AC met de cirkel. Ook lijnstuk MD is getekend.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
A α M C B D
84p
Bewijs dat AMD = 3α.

opgave 5Paraboloïde

De functie f is gegeven door
figuur 1
96p
f(x) = 1 − x2.
De grafiek van f is een parabool met
top T(0,1). Verder is gegeven lijn k met
vergelijking y = p, met p < 1. Deze lijn
snijdt de y-as in punt R en de parabool
in twee punten. Lijn l is de raaklijn aan
de parabool in het linker snijpunt. Deze
lijn snijdt de y-as in punt S.
Zie figuur 1.
Bewijs dat T het midden is van
lijnstuk RS.
y S l T f R k O x
Het gebied, begrensd door lijn k,
figuur 2
106p
raaklijn l en de y-as, wordt gewenteld om
de y-as. Zo ontstaat een kegel. De inhoud
van deze kegel is (2)/(3)π(p − 1)^2.
Het gedeelte van de parabool dat zich
boven de lijn k bevindt, wordt ook om de
y-as gewenteld. Zo ontstaat een
zogenaamde paraboloïde. Zie figuur 2.
De verhouding van de inhoud van de
paraboloïde en de inhoud van de kegel is
onafhankelijk van p.
Bewijs dit.
figuur 2

opgave 6Park-A-Kid

Een Park-A-Kid is een hekwerk dat dient ter
foto
bescherming van baby’s en peuters. Het kan
op verschillende plekken in huis worden
neergezet. Zie de foto. Het hekwerk ontstaat
door meerdere hekjes aan elkaar te
bevestigen. Elk hekje is 60 cm breed.
Een standaard Park-A-Kid bestaat uit zes
hekjes. Door de hekjes aan elkaar te
bevestigen en ten slotte het einde van het
laatste hekje te bevestigen aan het begin
foto
van het eerste hekje, ontstaat een box waar
een peuter niet zelfstandig uit kan. Zie
figuur 1
figuur 1. Als elke twee aan elkaar bevestigde
hekjes niet in elkaars verlengde staan, heeft
het bovenaanzicht de vorm van een zeshoek.
We bekijken opstellingen waarbij deze
zeshoek kan worden verdeeld in een
rechthoek en twee gelijkbenige driehoeken
die tegen twee overstaande zijden van de
rechthoek aan liggen. De driehoeken hebben
tophoek x (in radialen) met 0 < x < π. In
figuur 2 zijn twee mogelijkheden getekend.
figuur 1 een peuter niet zelfstandig uit kan. Zie
figuur 2
x x
60 x x
Voor de oppervlakte A (in cm2) van dergelijke zeshoeken geldt:
A(x) = 7200sin((1)/(2)x) + 3600sin(x)
115p
Bewijs dat deze formule juist is.
De oppervlakte van zo’n zeshoek als hiervoor is maximaal voor een
zekere waarde van x.
125p
Bereken exact voor welke waarde van x de oppervlakte maximaal is.
In de rest van deze opgave bekijken we opstellingen waarbij de
zes hekjes van een standaard Park-A-Kid worden gebruikt om een
afzetting te maken in een rechte hoek van een kamer. Door ook de muren
van de kamer te benutten, kan een groot grondvlak worden verkregen.
Er zijn meerdere opstellingen mogelijk. In figuur 3 zijn twee mogelijkheden
in bovenaanzicht weergegeven.
figuur 3
II
I
Bij opstelling I is het grondvlak een vierkant. Bij opstelling II is het
grondvlak te verdelen in zes gelijkbenige congruente driehoeken, zoals in
figuur 4 is weergegeven.
figuur 4
figuur 4
Bij opstelling II is de oppervlakte van het grondvlak groter dan bij
opstelling I.
136p
Bereken het verschil van de twee oppervlaktes. Rond je eindantwoord af
op een geheel aantal cm2.

opgave 7In drieën

Voor 0 ≤ x ≤ π is de functie f gegeven door f(x) = sin(x).
De lijnen met vergelijking x = (1)/(2)π − a en x = (1)/(2)π + a, met 0 < a < (1)/(2)π,
snijden de grafiek van f in de punten P en Q. Zie de figuur.
Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f wordt
door de twee lijnen in drie delen verdeeld. In de figuur zijn deze drie delen
aangegeven met U, V en W.
figuur
y P Q U V W O 1_ – a 1_ + a x 2 2
Vanwege de lijnsymmetrie van de sinusgrafiek hebben U en W gelijke
oppervlakte voor elke waarde van a.
Er is een waarde van a waarvoor U, W én V gelijke oppervlakte hebben.
147p
Bereken in dat geval de y-coördinaat van P en Q. Rond je eindantwoord
af op twee decimalen.

opgave 8Evenwijdig

Gegeven is een driehoek ABC, waarin
figuur 1
B groter is dan C. Hierop passen we
de volgende constructie toe:
- we tekenen de omgeschreven cirkel
van driehoek ABC;
- we tekenen de raaklijn in A aan de
omgeschreven cirkel van driehoek
ABC;
- het snijpunt van deze raaklijn met het
verlengde van BC noemen we R;
- we tekenen de omgeschreven cirkel
van driehoek ABR;
- we tekenen de raaklijn m in R aan deze
omgeschreven cirkel.
C A B m R
Het eindresultaat van deze constructie staat in figuur 1. Deze figuur staat
vergroot ook op de uitwerkbijlage.
Er geldt dat lijn m evenwijdig is aan lijn AC.
154p
Bewijs dat lijn m inderdaad evenwijdig is aan lijn AC.
In figuur 2 is voor een driehoek ABC de hierboven beschreven constructie
toegepast. Van de driehoek is alleen zijde AC gegeven. Bovendien is het
resultaat van de constructie gegeven: de lijn m met daarop punt R.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
C m R A
163puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage punt B. Licht je werkwijze toe.