bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2015, tijdvak 2

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sint cosu + cost sinu sint + sinu = 2sin(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
sin(t − u) = sint cosu − costsinu sint − sinu = 2sin(t − u)/(2) cos (t + u)/(2)
cos(t + u) = cost cosu − sintsinu cost + cosu = 2cos(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
cos(t − u) = cost cosu + sintsinu cost − cosu = − 2sin(t + u)/(2) sin (t − u)/(2)

opgave 2Het achtste deel

Op het domein [−9,0] is de functie f gegeven door f(x) = √(x + 9).
In de figuur is de grafiek van f getekend en een lijn met vergelijking x = p
met −9 < p ≤ 0.
Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en deze lijn
is met grijs aangegeven.
figuur
333 2 f 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 x
De oppervlakte van het grijze gebied noemen we A. De waarde van A
hangt af van de waarde van p. Er geldt:
A(p) = (2)/(3)(p + 9)(3)/(2)
14p
Bewijs dat A(p) = (2)/(3)(p + 9)(3)/(2).
Er is een waarde van p waarvoor A(p) het achtste deel is van de
oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de
x-as en de y-as.
25p
Bereken exact deze waarde van p.

opgave 3Stuiterende bal

Een bal wordt vanaf een bepaalde hoogte boven een vloer losgelaten en
begint vervolgens te stuiteren. In deze opgave bekijken we een wiskundig
model van deze situatie.
Op het moment van loslaten bevindt de onderkant van de bal zich h0 meter
boven de vloer. De maximale hoogte van de onderkant van de bal tussen
twee keer stuiteren noemen we de stuithoogte. De stuithoogte na de eerste
keer stuiteren noemen we h1, die na de tweede keer stuiteren h2, enzovoort.
Aan de linkerkant van figuur 1 is de bal getekend op verschillende
stuithoogtes. Rechts daarvan is de hoogte h van de stuiterende bal (in
meters) uitgezet tegen de tijd t (in seconden).
figuur 1
h h 0 h 1 h 2 h 3 t
In deze opgave gaan we ervan uit dat de verhouding tussen twee
opeenvolgende stuithoogtes constant is, dus h1:h0 is gelijk aan h2:h1,
enzovoorts. Deze verhouding noemen we a. Voor de stuithoogte na n keer
stuiteren geldt dan:
hn = h0 ⋅ an
De waarde van a hangt af van het soort bal.
33p
Bereken de waarde van a voor een bal waarvan na 7 keer stuiteren de
stuithoogte 5 keer zo klein is als de hoogte waarop de bal is losgelaten.
Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De hoogte van de onderkant van de bal tussen twee opeenvolgende
keren stuiteren is een functie van de tijd. De grafiek van deze functie is
een bergparabool.
De tijd in seconden tussen de n-de en de (n + 1)-ste keer stuiteren
noemen we de stuittijd Tn. In figuur 2 zijn drie stuittijden aangegeven.
figuur 2
h h 0 h 1 h 2 h 3 0 t T T T 1 2 3
De stuittijd Tn kan worden uitgedrukt in de stuithoogte hn.
Er geldt: h T 2 n n 4,9
Een bal wordt losgelaten vanaf hoogte h0. De stuittijd T1 is 1,11 seconden
en de stuittijd T4 is 0,68 seconden.
45p
Bereken h0. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

opgave 4Snijdende raaklijnen

Gegeven zijn cirkel c met middelpunt M en cirkel d met middelpunt N. Lijn
k gaat door M en raakt d in punt A. Lijn l gaat door N en raakt c in punt B.
De punten A en B liggen aan dezelfde kant van MN. Punt S is het snijpunt
van k en l. De lijnen MB en NA snijden elkaar in punt C. De lijn door
C en S snijdt lijnstuk MN in punt D.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
C l B k A S c N d M D
Er geldt: ACS = NMS.
56p
Bewijs dit.

opgave 5Onveranderlijke lengte

Voor a > 1 is de functie fa gegeven door:
fa(x) = a ⋅ ex − e2x
De grafiek van fa snijdt de x-as in het punt S(lna,0). De grafiek van fa
heeft één top: punt T. De loodrechte projectie van T op de x-as is punt U.
U ligt links van S op de x-as. Zie de figuur.
figuur
T f a O U S x
De x-coördinaten van de punten U en S zijn afhankelijk van de waarde
van a.
67p
Bewijs dat de lengte van lijnstuk US onafhankelijk is van a.

opgave 6Over de muur

In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang. Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt P . Aan het einde van het rechter deel van de…

In vroeger tijden probeerde men met een katapult kogels over vestingmuren te slingeren. In deze opgave bekijken we een katapult met een draaibare hefboom. Het linker deel van de hefboom is 4 meter lang. Op het einde daarvan ligt een kogel met middelpunt P . Aan het einde van het rechter deel van de hefboom zit een contragewicht Q . In het begin wordt de hefboom horizontaal gehouden door een touw tussen de hefboom en de grond. De hoogte van de hefboom is dan 2 meter. In figuur 1 is deze beginstand getekend in een assenstelsel met oorsprong O op de grond. Punt P heeft dan coördinaten ( − 4, 2) . Nadat het touw wordt doorgesneden, gaat de hefboom draaien in de richting van de wijzers van de klok, tot deze draaiing door een verstelbaar stopblok wordt gestopt en de kogel wegvliegt. De draaihoek in de eindstand wordt de stophoek α genoemd, met 0 < α < ½ π radialen. In figuur 2 is de eindstand getekend. figuur 1 figuur 2 beginstand

Druk de coördinaten van P uit in de stophoek α op het moment dat de eindstand wordt bereikt.
Als de hefboom bij stophoek α tot stilstand komt, verlaat de kogel de hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die P dan beschrijft is bij benadering gegeven door de bewegingsvergelijkingen: / x ( t ) = 20 t ⋅ sin α⋅ sin α − 4cos α 2 y ( t ) = − 5 t + 2 + 20 t ⋅ cos α⋅ sin α + 4sin α…

Als de hefboom bij stophoek α tot stilstand komt, verlaat de kogel de hefboom en vliegt vervolgens door de lucht. De baan die P dan beschrijft is bij benadering gegeven door de bewegingsvergelijkingen: / x ( t ) = 20 t ⋅ sin α⋅ sin α − 4cos α 2 y ( t ) = − 5 t + 2 + 20 t ⋅ cos α⋅ sin α + 4sin α Hierin is t de tijd in seconden vanaf het moment dat de kogel de hefboom verlaat. Verder zijn x ( t ) en y ( t ) in meters en is α in radialen. Voor y top , de y -coördinaat van het hoogste punt van de baan van P , geldt: y top = 2 + 24sin α − 20sin 3 α

Bewijs dat de formule voor y top volgt uit de bewegingsvergelijkingen. Uit de formule voor y top kan de waarde van de stophoek α worden berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor P bij benadering gelijk aan: x ( t ) =…

Bewijs dat de formule voor y top volgt uit de bewegingsvergelijkingen. Uit de formule voor y top kan de waarde van de stophoek α worden berekend waarvoor de kogel de grootst mogelijke hoogte bereikt. In dit optimale geval zijn de bewegingsvergelijkingen voor P bij benadering gelijk aan: x ( t ) = 10,1 t − 3,1 2 y ( t ) = − 5 t + 12,3 t + 4,5

Toon met een berekening aan dat in dit geval inderdaad bij benadering geldt y ( t ) = − 5 t 2 + 12,3 t + 4,5. De stophoek is zo ingesteld dat de kogel zo hoog mogelijk komt. Als de katapult, gemeten vanaf O , 24 meter van een 6 meter hoge vestingmuur staat, komt de kogel niet over de muur.
Bereken de afstand waarover de katapult minstens in de richting van de muur moet worden verschoven zodat de kogel wel over de muur komt. Geef het antwoord in gehele meters.

opgave 7Parabool en cirkel

Een parabool heeft brandpunt F en richtlijn l. Op de parabool ligt een
punt P. Punt P is de loodrechte projectie van P op l. Cirkel c heeft
middelpunt F en gaat door P. De lijn door F evenwijdig aan PP snijdt c in
punt Q. Lijn m gaat door Q en is evenwijdig met l.
Punt P ligt zo op de parabool dat m de middelloodlijn van lijnstuk PP is.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
c F P m Q l P′
116p
Bewijs dat PQ = FP.

opgave 8Koordenvierhoek maken

Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC . M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC . Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 1 Er geldt: CBM = 90 ° − CAB .
Bewijs dit. In de driehoek van figuur 1 maken we nu als volgt een vierhoek. Kies een punt N op lijnstuk MB . De loodlijn in N op MB snijdt de lijnstukken AB en BC in respectievelijk punt P en punt Q . Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2
koordenvierhoek is.

opgave 9Lemniscaat

Punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = cost
y(t) = sint ⋅ cost
met 0 ≤ t < 2π
In figuur 1 is de baan van P getekend. Deze baan wordt lemniscaat
genoemd.
figuur 1
1 -1 1 x O -1
Tijdens de beweging passeert punt P vier keer de lijn met vergelijking
y = (1)/(4).
144p
Bereken exact voor welke waarden van t dit het geval is.
De snelheid van P op tijdstip t is gelijk aan √((x (t))2 + (y (t))2).
P gaat twee keer door de oorsprong O, beide keren met even grote
snelheid.
156p
Bereken exact deze snelheid.
Een vergelijking van de baan van P is: y2 = x2(1 − x2).
163p
Bewijs dit.
De lemniscaat snijdt de positieve x -as bij x = 1.
V is het vlakdeel boven de x-as dat wordt ingesloten door de lemniscaat
en de positieve x-as. Zie figuur 2.
figuur 2
y 1 V -1 1 x O -1
174p
Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V
om de x-as wordt gewenteld.