naslagFormules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,parabool.
driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin
t cos
u + cos
t sin
u sin
t + sin
u 
cos
sin(t − u) = sin
t cos
u − cos
tsin
u sin
t − sin
u 
cos
cos(t + u) = cos
t cos
u − sin
tsin
u cos
t + cos
u 
cos
cos(t − u) = cos
t cos
u + sin
tsin
u cos
t − cos
u 
sin
opgave 2Eerste- en derdegraadsfunctie
De functies
f en
g zijn gegeven door
en
.
De grafieken van
f en
g snijden beide de
y-as in het punt
en de
x-as in het punt
.
De grafiek van g raakt in punt A aan de grafiek van f.
14pToon dit aan met behulp van differentiëren.
In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur
De grafiek van f verdeelt driehoek OAB in twee delen.
26pToon met een exacte berekening aan dat de oppervlakte van het
linkerdeel twee keer zo groot is als de oppervlakte van het rechterdeel.
opgave 3Verzadigingsgraad van hemoglobine
Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de
hemoglobine in het bloed. De zuurstof wordt in de longen aan de
hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeven. Het
percentage van de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de
verzadigingsgraad van hemoglobine genoemd. Deze
verzadigingsgraad hangt af van de partiële zuurstofdruk; dit is het deel
van de totale luchtdruk in de longen dat veroorzaakt wordt door de
zuurstof.
In 1910 heeft de fysioloog Hill gevonden dat onder bepaalde
omstandigheden het verband tussen de partiële zuurstofdruk p en de
verzadigingsgraad v van hemoglobine kan worden benaderd met de
formule:
Hierin is:
v de verzadigingsgraad van hemoglobine in procenten en
p de partiële zuurstofdruk in mmHg (millimeter kwik, de toen gebruikte
eenheid voor druk).
33pBereken de partiële zuurstofdruk als de verzadigingsgraad van
hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmHg.
In de figuur is de grafiek getekend van v als functie van p volgens de
benaderingsformule van Hill.
figuur
44pBereken met behulp van de afgeleide functie van v voor welke waarde van
p de grafiek het steilst is. Rond je antwoord af op een gehele waarde.
De evenredigheidsconstante is 4 ⋅10−5. Dat wil zeggen:
54pHerleid de formule
tot de formule
.
opgave 4Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting
De functie
f is gegeven door
.
Voor elke waarde van
c is de functie
gc gegeven door
.
De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met e,
het grondtal van de natuurlijke logaritme. Vervolgens wordt de zo
verkregen grafiek ten opzichte van de
y-as vermenigvuldigd met
.
Hierdoor ontstaat de grafiek van gc voor een waarde van c.
64pBereken exact deze waarde van c.
figuur
74pIn de figuur is de grafiek van g3
getekend. Ook de grafiek van f is in de
figuur getekend. W is het vlakdeel dat
wordt ingesloten door de grafieken van f
en g3 en de lijnen met vergelijking x = 1
en x = e.
Bereken exact de oppervlakte van W.
opgave 5Gelijke hoeken
Gegeven is een hoek A en een cirkel c. Een been van hoek A snijdt de
cirkel c in de punten B en C. Het andere been van hoek A raakt de cirkel c
in punt D. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
De driehoeken ABD en ADC zijn gelijkvormig.
83pBewijs dit.
In figuur 2 is de bissectrice van hoek A getekend. Deze snijdt lijnstuk BD
in punt P en lijnstuk CD in punt Q. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
94pBewijs dat de hoeken PQD en QPD even groot zijn.
opgave 6Een hartvormige kromme
Voor 0 ≤ t ≤ 2π wordt de beweging
108pvan een punt P beschreven door de
bewegingsvergelijkingen
x(t) = 2cost − cos(2t)
y(t) = 2sint − sin(2t)
In figuur 1 is de baan van P getekend.
Voor t = 0 en t = 2π bevindt P zich in
(1,0).
Bereken exact de maximale waarde van
de y-coördinaat van P.
De lijn met vergelijking x = 1 snijdt de
116pbaan van P behalve in het punt (1,0)
ook in de punten (1,a) en (1, − a), met
a > 0. Zie figuur 2.
Bereken exact de waarde van a.
opgave 7De leeftijd van ons zonnestelsel
Volgens sterrenkundigen zijn de
meteorieten die op aarde
terechtkomen tegelijk met ons
zonnestelsel ontstaan.
Meteorieten bestaan onder andere uit de stoffen rubidium-87 (Rb-87),
strontium-87 (Sr-87) en strontium-86 (Sr-86).
Het radioactieve Rb-87 vervalt tot Sr-87. De hoeveelheid Sr-86 verandert
niet.
Om de leeftijd t (in jaren) van een meteoriet te bepalen gebruikt men
onder andere de verhouding:
op tijdstip
tDeze verhouding verandert voortdurend vanaf het ontstaan van een
meteoriet. Er geldt:
a(t) = a(0) ⋅ e−λt
Hierin is λ de vervalconstante van Rb-87. Die is 1,42 ⋅10−11 per jaar.
De constante a(0) is de verhouding tussen de hoeveelheden Rb-87 en
Sr-86 op t = 0.
123pBereken op algebraïsche wijze in hoeveel tijd de waarde van a gehalveerd
wordt. Geef je antwoord in miljarden jaren nauwkeurig.
De waarde a(0) is onbekend en verschilt per meteoriet. Daarom kunnen
we de leeftijd van een meteoriet niet bepalen op grond van de gemeten
waarde a(t) alleen. Leeftijdsbepaling is wel mogelijk door naast a(t) ook
gebruik te maken van een tweede verhouding:
op tijdstip
tOmdat Rb-87 vervalt tot Sr-87 en Sr-87 zelf niet vervalt, verandert de
waarde van de som van a(t) en b(t) voor een bepaalde meteoriet niet in
de loop der tijd. Dit betekent dat a(t) + b(t) = a(0) + b(0) voor elke t ≥ 0.
Uit a(t) + b(t) = a(0) + b(0) en a(t) = a(0) ⋅ e−λt volgt:
b(t)+ (1−eλt)a(t)=b(0)
133pToon dit aan.
Van twee even oude meteorieten, M1 en M2, zijn de waarden a(t) en
b(t) bepaald, waarbij t de leeftijd van deze meteorieten is. Zie de tabel.
tabel
Door gebruik te maken van:
b(t)+ (1−eλt)a(t)=b(0), met λ = 1,42 ⋅10−11 per jaar,
− de aanname dat b(0) voor elke meteoriet hetzelfde is en
− de gegevens uit de tabel
kan de leeftijd van de meteorieten (en volgens sterrenkundigen dus ook
die van ons zonnestelsel) worden berekend.
144pBereken deze leeftijd. Rond je antwoord af op miljarden jaren.
opgave 8Koordenvierhoek
Gegeven is een koordenvierhoek ABCD met diagonalen AC en BD.
Op diagonaal BD ligt het punt E zo dat EA = ED. Op diagonaal AC ligt het
punt F zo dat FC = FB. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 1
De punten A, B, F en E liggen op een cirkel.
155pBewijs dit.
In figuur 2 zijn ook het lijnstuk EF en de cirkel door A, B, F en E getekend.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
164pBewijs dat EF evenwijdig is aan DC.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende
pagina.
opgave 9Lijnstuk en parabool
![Op het domein [0, 4] is de functie f gegeven door f ( x ) = 8 − ½ x 2 . De randpunten van de grafiek van f zijn P (0, 8) en Q (4, 0) . Zie de figuur. Verder is gegeven een lijnstuk PR met eindpunten P (0, 8) en R ( a , 0) , waarbij a > 4 . In de figuur is voor een waarde van a ook het lijnstuk PR…](fx/veilig-o9-p12-79-cf88d6fc.webp)
Op het domein [0, 4] is de functie f gegeven door f ( x ) = 8 − ½ x 2 . De randpunten van de grafiek van f zijn P (0, 8) en Q (4, 0) . Zie de figuur. Verder is gegeven een lijnstuk PR met eindpunten P (0, 8) en R ( a , 0) , waarbij a > 4 . In de figuur is voor een waarde van a ook het lijnstuk PR getekend. figuur Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f en het lijnstuk PR elkaar snijden in het midden van PR .
