Eindexamen wiskunde B vwo 2010 tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e^x

figuur 1 De functie f is gegeven door f ( x ) = e x . Op de grafiek van deze functie liggen de punten A (0,1) en B (2, e 2 ) . De grafiek van f en het lijnstuk AB sluiten een vlakdeel in. Zie figuur 1.

Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel. figuur 2 De grafiek van f , de lijn y = 1 en de lijn x = 2 sluiten een vlakdeel in. Zie figuur 2. We wentelen dit vlakdeel om de lijn y = 1 .

Bereken de exacte inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat.

opgave 2Met een gemeenschappelijk brandpunt

Gegeven is een driehoek ABC, met een

figuur 1

punt P op de zijde BC.

35puitwerkbijlage

De ellips e₁ heeft A en B als

brandpunten en de ellips e₂ heeft A en C

als brandpunten.

De ellipsen e₁ en e₂ snijden elkaar in de

punten P en Q.

In het punt P tekenen we de raaklijnen

aan beide ellipsen. Zie figuur 1.

Deze figuur staat vergroot op de

uitwerkbijlage.

De raaklijnen staan loodrecht op elkaar.

Bewijs dit. Je kunt daarvoor gebruik

maken van de figuur op de uitwerkbijlage.

44p

Bewijs dat er een hyperbool bestaat met brandpunten B en C die door de punten

P en Q gaat.

opgave 3Een parabool?

Voor elk getal a met 0 ≤ a ≤ 10 zijn gegeven:

het punt A(a,a) op de lijn y = x en het punt B(a −10,10 − a) op de lijn y = − x.

Zie figuur 1.

figuur 1

y 10 y=-x y=x (a -10, 10-a) A (a, a) -10 O 10 x

Voor de lijn AB geldt de formule y = ((1)/(5)a − 1)x − (1)/(5)a^2 + 2a

54p

Toon aan dat deze formule juist is voor a = 4.

Voor elke waarde van a tussen 0 en 10 heeft het lijnstuk AB een snijpunt met de

y-as. Zie figuur 2.

figuur 2

De grootste waarde die de y-coördinaat van zo’n snijpunt aanneemt is 5.

64p

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

Als je alle verbindingslijnstukken AB tekent voor 0 ≤ a ≤ 10, wordt een gebied G

opgevuld. In figuur 3 is het gebied G grijs gemaakt.

figuur 3

Het lijkt alsof het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door een

parabool. Als dit juist is, is dat de parabool die door de punten (0,5), (10,10) en

(−10,10) gaat.

Een formule van die parabool is: y = (1)/(20)x^2 + 5

is een punt van deze parabool.

Als het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door deze parabool, is de

raaklijn aan de parabool in (4,5(4)/(5))

een van de lijnen AB.

76p

Onderzoek of de raaklijn aan de parabool in (4,5(4)/(5))

een van de lijnen AB is.

opgave 4Wisselingen in rijtjes kop en munt

Het komt wel eens voor dat onderzoeksresultaten vervalst worden om gewenste

uitkomsten te krijgen. In deze opgave bekijken we een wiskundige techniek om

zulke fraude te achterhalen. Deze techniek is erop gebaseerd dat het verdacht is

als in rijtjes onafhankelijke waarnemingen te veel afwisseling voorkomt. We

demonstreren deze techniek aan de hand van een sterk vereenvoudigde

situatie: het meerdere keren werpen van een muntstuk.

We werpen tien keer een zuiver muntstuk en noteren de rij uitkomsten:

⊗ −^1⊗ −^2⊗ −^3⊗ −^4⊗ −^5⊗ −^6⊗ −^7⊗ −^8⊗ −^9⊗

Hierin stelt

telkens kop (K) of munt (M) voor. We kijken naar het aantal

wisselingen in zo’n rijtje. De negen plekken waar een wisseling kan optreden,

zijn genummerd.

83p

Toon aan dat er 252 verschillende rijtjes van tien worpen zijn met precies

5 wisselingen.

In onderstaande tabel staan de kansen op de verschillende aantallen

wisselingen bij tien keer werpen van een muntstuk.

aantal wisselingen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kans 2 18 72 168 252 252 168 72 18 2 kans 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024 1024

Jolly moet tien keer een muntstuk werpen, het verkregen rijtje noteren en de

wisselingen tellen. Dit saaie werk moet zij 20 keer doen.

93p

Bereken de kans dat de 20 rijtjes allemaal ten minste één wisseling hebben.

Hieronder staan de rijtjes die Jolly heeft opgeschreven met achter elk rijtje het

aantal wisselingen.

KMKKMMMKMM 5 KKMKMMMKKK 4 MMMKMKM MKM 6 KMKMKKKKMK 6 MMKKKMMMMK 3 MMMKKMKMMM 4 MKMMMKKKMM 4 MKKKMMM MKM 4 KMKKMMKKMM 5 MMMMKKKKKK 1 MMKKKKKMMM 2 MMKMKMKKMK 7 KMKKMKM MKK 6 MMMKKMMMMK 3 KMMKMMKKMK 6 KKKMKMKKMK 6 MKMKKMKMMK 7 KKKKMKM MMM 3 KKMKMKMMKK 6 MKMKMMKKKM 6

We vragen ons af of Jolly wel echt met een muntstuk heeft geworpen. Zij heeft

namelijk 9 rijtjes met meer dan 5 wisselingen genoteerd.

Als iemand echt met een muntstuk werpt, is de kans op 9 of meer rijtjes met

meer dan 5 wisselingen nogal klein. Als die kans kleiner dan 5% is, vertrouwen

we Jolly niet en verdenken we haar ervan dat zij - zonder echt met een muntstuk

te werpen - zomaar wat K-M-rijtjes heeft opgeschreven.

105p

Is er voldoende aanleiding om Jolly niet te vertrouwen? Licht je antwoord toe.

opgave 5Jupiter en Aarde

De planeten Jupiter en Aarde draaien om de zon. In deze opgave doen we de werkelijkheid enigszins geweld aan met de volgende vereenvoudigingen: − de banen van Jupiter en Aarde zijn cirkelvormig − de banen liggen in één vlak − Jupiter en Aarde hebben constante snelheid − Jupiter en Aarde zijn puntvormig − de omlooptijd van Aarde is 1 jaar − de omlooptijd van Jupiter is 12 jaar − de afstand Jupiter-Zon is 5 keer zo groot als de afstand Aarde-Zon figuur 1 We kiezen een assenstelsel in het vlak waar Jupiter en Aarde zich bewegen met Zon in de oorsprong en als lengte-eenheid de astronomische eenheid (AE); dat is de afstand Aarde-Zon. Aarde heeft in dit model de bewegingsvergelijkingen: x A = cos2 π t , y A = sin 2 π t . De bewegingsvergelijkingen van Jupiter zijn: x = 5cos 1 π t , y = 5sin 1 π t . Hierbij is t de tijd in jaren. In figuur 1 staat een schets van de situatie op tijdstip t = 0 . van De onderlinge Pythagoras, afstand tussen Jupiter en Aarde op tijdstip t is, volgens de stelling Met behulp van de bewegingsvergelijkingen afstand gelijk is aan