opgave 1Een spiraal
In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte 1 en oneven
lengte: 1, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te
leggen, maken we een spiraal. In figuur 1 is het begin van de spiraal getekend,
gelegd op een rooster, waarbij alleen de eerste zeven stroken zijn gelegd. De
totale oppervlakte van deze zeven stroken is 49. Dit begin van de spiraal past
precies in een rechthoek van 13 bij 12; die rechthoek is in figuur 1 dik getekend.
Van deze rechthoek is
deel bedekt door de spiraal.
figuur 1
Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5, …, 99 past precies in
een rechthoek.
15pBereken welk deel van die rechthoek door de volledige spiraal bedekt wordt.
We kunnen op dezelfde manier een spiraal leggen met rechthoekige stroken van
breedte 1 en even lengte: 2, 4, 6, 8, 10, …, n. Hierbij is n een even getal.
De spiraal van deze stroken past precies in een rechthoek van n bij n − 1.
De fractie van de rechthoek die door de spiraal bedekt wordt noemen we V.
Voor even waarden van n geldt de volgende formule:
Voor iedere even waarde van
n is
V groter dan
. Als voor
n steeds grotere
waarden worden genomen, komt de waarde van
V steeds dichter bij
.
25pBereken langs algebraïsche weg de kleinste waarde van n waarvoor de waarde
van
V minder dan
verschilt van
.
opgave 2Het gemiddelde van normale verdelingen
In een land leven twee stammen, de Langen en de Korten. Van beide stammen
is de lichaamslengte van een volwassen man normaal verdeeld: van de Langen
met gemiddelde 185 cm, van de Korten met gemiddelde 160 cm. Beide
verdelingen hebben standaardafwijking 6 cm.
In het land behoort 20% van de volwassen mannen tot de Langen en 80% tot de
Korten.
Als er bij de Korten evenveel volwassen mannen zouden zijn als bij de Langen,
dan zou de gemiddelde lichaamslengte van alle volwassen mannen 172,5 cm
zijn. In dit geval is dat niet zo: de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen
is 165 cm.
32pToon dit aan.
Er geldt dat de lichaamslengte van meer dan 60% van de volwassen mannen in
het land kleiner is dan de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen.
53pIs de lichaamslengte van de totale groep van de volwassen mannen in het
bewuste land normaal verdeeld? Licht je antwoord toe.
opgave 3Een verdeeld vierkant
figuur 1
Voor
x > 0 is gegeven de functie
f met
.
In figuur 1 is de grafiek van f getekend en het vierkant met hoekpunten O (0, 0),
A (p, 0), B (p, p) en C (0, p) voor zekere p > 1.
63pBereken voor het geval dat p = 4 de richtingscoëfficiënt van lijnstuk ST.
74pNeem weer p = 4. Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van het
vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijnstukken CT, OC,
OA en AS.
84pBereken exact de waarde van p waarvoor T het midden is van zijde BC.
96pBereken met behulp van differentiëren de waarde van p waarvoor diagonaal AC
raakt aan de grafiek van f. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
opgave 4Onnodig ingewikkeld?
Een gezonde volwassene is ’s morgens langer dan aan het einde van de dag. De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie S : S = ln( − 0,00216 t + 2,7183) . Hierin is t het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en S de verhouding tussen de lengte L van die persoon ten opzichte van zijn lengte L 0 bij het Dus S = . Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen. figuur 1 In figuur 1 is de grafiek van S als functie van t getekend. Deze grafiek lijkt zo op het eerste gezicht een rechte lijn, maar door de formule weten wij dat dit niet zo is.
Leg met behulp van de tweede afgeleide uit of er voor 0 ≤ t ≤ 16 sprake is van toenemende of afnemende daling. De grafiek van S valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872) . Is de formule van S met de natuurlijke logaritme, zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig ingewikkeld? We zouden voor S ook gewoon een lineaire functie van t kunnen nemen. We vergelijken daarom de formule S = ln( − 0,00216 t + 2,7183) met de formule S = − 0,0008 t + 1,0000 die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872) . We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan, als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip t (met 0 ≤ t ≤ 16 ) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook kun je op elk tijdstip t het verschil tussen de uitkomsten van beide formules bekijken.
opgave 5Een leugendetector
Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling,
hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik
van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer
hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.
Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De
uitkomsten zijn als volgt:
− als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen
ook als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als
leugenaar aangewezen);
− als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25%
van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen
wordt hij niet als leugenaar aangewezen).
Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen
liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt
gebruikgemaakt van de leugendetector.
133pBereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door
de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.
Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die
worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
− de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
− één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de
andere vier personen niet.
145pBereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen.
De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat
hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als
leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet
worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid
spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.
155pBereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid
spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.
opgave 6Bebuikte rechthoeken
Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een
rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechter kant aangevuld met
een cirkelsegment. Zo’n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een
buik. Zie figuur 1.
In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met
middelpuntshoek t radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze
driehoeken hebben ook een hoek met grootte t radialen.
De oppervlakte
O van het gebied is een functie van
t, met
.
Er geldt: O(t) = 16t + 24 ⋅ sin2t.
166pToon de juistheid van deze formule aan.
174pBereken de exacte waarde van O als de hoogte van het gebied 4 is.
Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte O maximaal.
187pBereken de exacte waarde van deze hoogte.
