bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2006, tijdvak 1 (wiskunde B1)

opgave 1Sauna

Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment
wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S(t) 200 180 e .
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.
De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100 °C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt
het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden.
In figuur 1 staat de grafiek van S.
figuur 1
100 S 80 60 40 20 0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 t
14p
Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
24p
Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna
toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna
nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruiken die t uitdrukt
in S.
34p
Druk t uit in S.

opgave 2Bosbouwprojecten

Wereldwijd bestaan bosbouwprojecten waarin geïnvesteerd kan worden. Er wordt elk jaar
teakhout aangeplant dat na 20 jaar gekapt wordt. Om beleggers te interesseren wordt van
verschillende projecten informatie gepubliceerd over de gemiddelde opbrengst in kubieke
meter per hectare.
Bij European Trees is de gemiddelde opbrengst normaal verdeeld met verwachtingswaarde
800 m3/ha en standaardafwijking 33 m3/ha.
44p
Bereken de kans dat bij European Trees de gemiddelde opbrengst meer dan 10% afwijkt van
de verwachtingswaarde van 800 m3/ha.
Bij Earthbound is de gemiddelde opbrengst ook normaal verdeeld. De verwachtingswaarde van
de gemiddelde opbrengst is 950 m3/ha. De kans op een gemiddelde opbrengst van minder dan
98% van de verwachtingswaarde is slechts 0,01.
54p
Bereken de standaardafwijking van de gemiddelde opbrengst voor Earthbound.

opgave 3Bedekken

Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We plaatsen twee
geodriehoeken met een lange zijde van 16 cm in een rechthoekig assenstelsel met eenheid
1 cm op de manier die in figuur 2 (verkleind) is getekend.
De top A van de linker driehoek heeft de coördinaten (0, 8).
De top B van de rechter driehoek heeft de coördinaten (8, 0).
y A 8 B O 8 x
figuur 2
De linker driehoek begint op tijdstip t = 0 naar rechts te schuiven over de rechter driehoek
met een snelheid van 1 cm/s. Daarbij wordt een gedeelte van de rechter driehoek door de
linker driehoek bedekt. De tijd t wordt gemeten in seconden.
In figuur 3 is de situatie voor een zeker tijdstip t getekend.
Punt A heeft dan de coördinaten (t, 8). Het bedekte gebied is grijs gekleurd.
y A 8 B O 8 x
figuur 3
De afstand in cm tussen A en B op tijdstip t noemen we a(t).
Er geldt: a(t) = √(128 − 16t + t2).
63p
Toon dit aan.
Het bedekte gebied op een tijdstip t tussen 0 en 16 is een rechthoek. De oppervlakte in cm2
van deze rechthoek noemen we G(t). De zijden van de rechthoek zijn ook rechthoekszijden
van gelijkbenige rechthoekige driehoeken met lange zijden t en 16 − t.
Er geldt: G(t) t 8t.
74p
Toon dit aan.
De oppervlakte G van het bedekte gebied neemt eerst toe en later af. De afstand a tussen A
en B neemt eerst af en later toe.
85p
Leid met behulp van differentiëren uit de formules voor G(t) en a(t) af dat G en a op
hetzelfde tijdstip hun uiterste waarde bereiken.
De oppervlakte G kan ook uitgedrukt worden in a.
Er geldt: G = c − (1)/(2) a2 waarbij 8 ≤ a < √(128).
94p
Bereken c.

opgave 4In een vierkant

105p
Van een vierkant OABC met zijde 4 ligt A op figuur 4
de positieve x-as en C op de positieve y-as.
Verder is gegeven de functie f (x) = (1)/(x).
De grafiek van f snijdt de zijde AB van het
vierkant in het punt P en de zijde BC in het
punt Q. Zie figuur 4.
De raaklijn aan de grafiek van f in het punt
met x-coördinaat 2 gaat door het punt A.
Toon dit aan.
y Q C (0,4) B f P x O A (4,0)
De grafiek van f verdeelt het vierkant in twee stukken. Eén van die stukken is in figuur 5
grijs gekleurd; dat stuk noemen we V.
figuur 5
y Q B f V P x O A (4,0)
C
114p
Bereken de omtrek van V in twee decimalen nauwkeurig.
124p
Toon aan dat de oppervlakte van V exact gelijk is aan 1 + 2 ln 4.
Voor de zijde van het vierkant kan ook een andere waarde dan 4 gekozen worden. Noem de
zijde a. Zie figuur 6.
y C Q y = a B x = a f P x O A
figuur 6
In figuur 6 is a zodanig gekozen dat de lijn AC niet raakt aan de grafiek van f. Er is één
waarde van a waarvoor AC wel raakt aan de grafiek van f.
134p
Bereken deze waarde van a exact.

opgave 5Knock-out-systeem

Een spelprogramma op televisie telt bij aanvang 16 deelnemers. Het spel wordt gespeeld in
vier rondes. In elke ronde nemen de spelers het in een spelletje van één-tegen-één tegen
elkaar op. Van elk tweetal gaat de winnaar door naar de volgende ronde; de verliezer doet
niet meer mee. In elke ronde wordt het aantal deelnemers dus gehalveerd; men spreekt van
een knock-out-systeem.
De spelletjes zijn van zodanige aard dat de uitslag volledig bepaald wordt door het toeval.
Bij elk spelletje hebben beide spelers dus kans (1)/(2) om te winnen.
Vooraf wordt een speelschema opgesteld; zie figuur 7.
figuur 7 speler nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ronde 1 ronde 2 ronde 3 ronde 4 (finale)
Elke deelnemer krijgt door loting een nummer. Dit nummer is zijn plaats in het schema.
Boven in het schema zie je wie tegen wie speelt in de eerste ronde. Na de eerste ronde zijn
er nog acht spelers over. De winnaar van de spelers 1 en 2 speelt in de tweede ronde tegen
de winnaar van de spelers 3 en 4, enzovoort. In de vierde ronde wordt de finale gespeeld
door de twee overgebleven deelnemers.
Er nemen 8 mannen en 8 vrouwen aan het spelprogramma deel.
143p
Bereken de kans dat de nummers 1 tot en met 4 worden gegeven aan drie mannen en een
vrouw.
154p
Bereken de kans dat speler 1 de finale speelt tegen speler 16 en speler 1 deze finale wint.
Een deelnemer speelt 1, 2, 3 of 4 rondes.
164p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rondes dat een deelnemer speelt.
In een jaar is het spelprogramma 52 keer op de televisie geweest. Elke keer hebben er
evenveel mannen als vrouwen meegedaan. Er is enige twijfel of elke deelnemer wel
evenveel kans heeft om het spelprogramma te winnen. Misschien hebben vrouwen meer
kans.
Daarom wordt het aantal keren geteld dat een vrouw het spelprogramma won. Daarna
berekent men de kans op dat aantal of een hoger aantal, aangenomen dat alle deelnemers
evenveel kans hebben om het spelprogramma te winnen. Het aantal wordt abnormaal hoog
gevonden als deze kans kleiner dan 5% is.
175p
Bereken welke aantallen vrouwelijke winnaars abnormaal hoog worden gevonden.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Oppervlakte van een trapezium

In figuur 8 staat een kwart van de eenheidscirkel, met O(0, 0), A(1, 0) en B(0, 1).
Op tijdstip t = 0 start een punt P in A en beweegt langs cirkelboog AB; op tijdstip t heeft P
de coördinaten (cos t, sin t). Q is de loodrechte projectie van P op de y-as.
We bekijken de oppervlakte V van het trapezium OAPQ op tijdstip t, waarbij t in het
2 y B Q P (cos t, sin t) x O A
figuur 8
De oppervlakte V van het trapezium is sint sin 2t .
184p
Toon dit aan.
De waarde die V op tijdstip (1)/(4) π heeft, wordt ook op een ander tijdstip aangenomen.
193p
Bereken dit andere tijdstip in twee decimalen nauwkeurig.
205p
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van t de oppervlakte V maximaal
is.
De oppervlakte van het trapezium OAPQ figuur 9
verandert op het tijdsinterval 〈0, (1)/(2) π 〉
voortdurend. In figuur 9 is de grafiek
getekend van V als functie van t op dit
tijdsinterval.
De gemiddelde oppervlakte van het trapezium
OAPQ over het tijdsinterval 〈0, (1)/(2) π 〉 noemen
we k. In figuur 9 is de lijn y = k getekend.
Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat
wordt ingesloten door de grafiek van V, de
y 1 V k 0 0 1π 2 t
t-as en de lijn t π is gelijk aan de
oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn y = k, de t-as, de
y-as en de lijn t π .
216p
Bereken met behulp van integreren de exacte waarde van k.
√(Einde)
Lees verder