bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2022, tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x

naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅     = ⋅ d x d g d x

Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠

regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

opgave 1Blindsimultaandammen

Blindsimultaandammen is een tak van de damsport waarbij een dammer het gelijktijdig opneemt tegen meerdere tegenstanders. De dammer in kwestie ziet de speelborden en tegenstanders niet en speelt dus alle partijen uit zijn hoofd. Deze opgave gaat over deze damsportvariant. De puntentelling bij…

Blindsimultaandammen is een tak van de damsport waarbij een dammer het gelijktijdig opneemt tegen meerdere tegenstanders. De dammer in kwestie ziet de speelborden en tegenstanders niet en speelt dus alle partijen uit zijn hoofd. Deze opgave gaat over deze damsportvariant. De puntentelling bij dammen is als volgt: de winnaar krijgt 2 punten, de verliezer 0. Bij gelijkspel (dat wordt remise genoemd) krijgen beide spelers 1 punt. Een dammer die het wereldrecord blindsimultaandammen wil verbreken, moet tegen meer tegenstanders spelen dan de zittende wereldrecordhouder. Bovendien moet hij minstens 70% van het maximaal te behalen aantal punten scoren. In 1950 scoorde de Nederlandse dammer Piet Roozenburg tegen in totaal 5 tegenstanders precies 70%. Met deze score werd hij toen recordhouder.

Telproblemen 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p

Onderzoek op welke manieren deze partijen van Piet Roozenburg verdeeld kunnen zijn in aantallen keren winst, verlies en remise. Bij een latere recordpoging in 2014 speelde de Nederlandse dammer Ton Sijbrands tegen 32 dammers. Hij won 14 partijen en verloor er geen. Een sportjournalist beweerde:…

Onderzoek op welke manieren deze partijen van Piet Roozenburg verdeeld kunnen zijn in aantallen keren winst, verlies en remise. Bij een latere recordpoging in 2014 speelde de Nederlandse dammer Ton Sijbrands tegen 32 dammers. Hij won 14 partijen en verloor er geen. Een sportjournalist beweerde: “Gelukkig heeft hij geen wedstrijd verloren, want anders had hij geen 70%-score gehaald”.

Procenten, verhoudingen en eenheden 3p

Onderzoek of deze bewering juist is. Sinds 1982 heeft Ton Sijbrands het wereldrecord behoorlijk stevig in handen. De tabel geeft een overzicht van zijn wereldrecords. tabel jaar partijen winst remise verlies score(%)
In de rest van deze opgave bekijken we deze ontwikkeling nader. We letten daarbij eerst op het verloop van het aantal partijen p in de tijd. We noteren de tijd t in jaren, waarbij t = 0 overeenkomt met het jaar 1982. Hiermee maken we figuur 1. figuur 1 De punten in figuur 1 liggen bij benadering op…

In de rest van deze opgave bekijken we deze ontwikkeling nader. We letten daarbij eerst op het verloop van het aantal partijen p in de tijd. We noteren de tijd t in jaren, waarbij t = 0 overeenkomt met het jaar 1982. Hiermee maken we figuur 1. figuur 1 De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een lijn. Deze lijn is in figuur 1 ook getekend. De lijn suggereert dat Sijbrands in de toekomst een record van 38 partijen kan behalen.

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire functies 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p

Bereken in welk jaar dit, uitgaande van deze lijn, het geval zou zijn. Vervolgens kijken we naar de duur van de recordpogingen. In figuur 2 is deze duur d in uren uitgezet tegen de tijd t in jaren. Ook hier komt t = 0 overeen met het jaar 1982. figuur 2
In figuur 2 kun je onder andere aflezen dat de duur van de recordpoging van Sijbrands in 1987 en 1991 ongeveer 11 uur was en in 2014 ongeveer 48 uur. We noemen figuur 1 een p - t -diagram en figuur 2 een d - t -diagram. Door deze figuren te combineren, kunnen we een d - p -diagram maken. In figuur…

In figuur 2 kun je onder andere aflezen dat de duur van de recordpoging van Sijbrands in 1987 en 1991 ongeveer 11 uur was en in 2014 ongeveer 48 uur. We noemen figuur 1 een p - t -diagram en figuur 2 een d - t -diagram. Door deze figuren te combineren, kunnen we een d - p -diagram maken. In figuur 3 is hiermee een begin gemaakt. Figuur 3 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 3

opgave 2Levensverwachting

De levensverwachting is het aantal jaren dat mensen naar verwachting
gemiddeld zullen leven vanaf hun geboorte. In 2013 was de
levensverwachting in Nederland 81,04 jaar. Dat betekent dus dat mensen
die in 2013 in Nederland geboren zijn, gemiddeld 81 jaar en 15 dagen oud
zullen worden.
In Nederland stijgt de levensverwachting al geruime tijd. In figuur 1 is de
ontwikkeling van de levensverwachting in Nederland sinds 1950
weergegeven. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
figuur 1
In figuur 1 is te zien dat de levensverwachting vrijwel lineair stijgt.
Volgens een recente schatting zal in 2099 de levensverwachting van
Nederlanders 90,78 jaar zijn.
54puitwerkbijlage

Lineaire functies 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p

Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of deze
schatting overeenkomt met een schatting die uitgaat van een lineaire
toename van de levensverwachting.
Uit onderzoek is bekend dat mensen met een hoog inkomen gemiddeld
langer leven dan mensen met een laag inkomen. Het is dan ook niet
verwonderlijk dat de levensverwachting in landen met een hoog
gemiddeld inkomen per persoon doorgaans hoger is dan in landen met
een laag gemiddeld inkomen per persoon. In figuur 2 is voor een groot
aantal landen de levensverwachting uitgezet tegen het gemiddelde
inkomen per persoon. Hierbij stelt iedere stip een land voor. Op de
horizontale as staat het gemiddelde inkomen per persoon P (in dollars) en
op de verticale as de levensverwachting L (in jaren). Alle gegevens gaan
over 2012.
figuur 2
figuur 2
In figuur 2 heeft zowel de horizontale als de verticale as een logaritmische
schaalverdeling. Ook is er een trendlijn toegevoegd die het verband
tussen gemiddeld inkomen per persoon en levensverwachting benadert.
Met een gemiddeld inkomen per persoon van $128 722 is Qatar het land
met het hoogste gemiddelde inkomen per persoon ter wereld. Toch was
de levensverwachting daar in 2012 lager dan je volgens de trendlijn mag
verwachten.
63p

Procenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p

Bereken met behulp van schattingen in de grafiek hoeveel procent lager
dit is. Geef je antwoord als een geheel getal.
De trendlijn in figuur 2 is een rechte lijn, dus er bestaat een lineair
verband tussen log(L) en log(P). Dit verband ziet er als volgt uit:
log(L) = 0,084 ⋅ log(P) + 1,509
Je kunt deze formule ook schrijven als een machtsverband. Dat verband
ziet er dan als volgt uit:
L = 32,28 ⋅ P0,084
74p

Formules herleiden en omwerken 4p

Laat zien hoe de tweede formule uit de eerste formule is af te leiden.
In figuur 2 is duidelijk te zien dat wanneer het gemiddelde inkomen per
persoon stijgt, de levensverwachting volgens de trendlijn dat ook doet.
Door de logaritmische schaal is echter niet te zien of dit een toenemende
of een afnemende stijging is.
84p

Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 3p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p

Onderzoek met behulp van de afgeleide van L of er sprake is van
toenemende of afnemende stijging.

opgave 3Formule van Camp

Voor een winkelier zijn zowel aan het bestellen van producten als aan het in voorraad houden van producten kosten verbonden. Daarom doen economen onderzoek naar een juiste balans tussen het aantal bestellingen per jaar en het aantal producten per bestelling. Veronderstel dat een winkelier jaarlijks…

Voor een winkelier zijn zowel aan het bestellen van producten als aan het in voorraad houden van producten kosten verbonden. Daarom doen economen onderzoek naar een juiste balans tussen het aantal bestellingen per jaar en het aantal producten per bestelling. Veronderstel dat een winkelier jaarlijks 100 stuks van een bepaald product verkoopt. Hij wil dat er per jaar in totaal 100 exemplaren besteld worden in n even grote bestellingen, bijvoorbeeld 4 bestellingen van elk 25 stuks.

Telproblemen 2p

Bepaal welke andere aantallen bestellingen in deze situatie mogelijk zijn. Bij een veel gebruikt algemeen model nemen economen aan dat de winkelier voor elke bestelling en voor elk in voorraad gehouden product een vast bedrag rekent. De formule bij dit model is: K = + 2 ⋅ n ⋅ V (1) Hierin is: − K…

Bepaal welke andere aantallen bestellingen in deze situatie mogelijk zijn. Bij een veel gebruikt algemeen model nemen economen aan dat de winkelier voor elke bestelling en voor elk in voorraad gehouden product een vast bedrag rekent. De formule bij dit model is: K = + 2 ⋅ n ⋅ V (1) Hierin is: − K de totale jaarlijkse kosten in euro’s; − A het aantal producten dat jaarlijks besteld wordt; − B de bestelkosten per bestelling in euro’s; − n het aantal producten per bestelling; − V de voorraadkosten per product per jaar in euro’s. Voor een bepaald product hanteert een winkelier € 8,- bestelkosten per bestelling. De voorraadkosten zijn € 0,60 per product per jaar. Per jaar verkoopt de winkelier 1000 stuks van dit product en hij wil dus ook dat er 1000 producten per jaar besteld worden. De winkelier wil dat de totale jaarlijkse kosten maximaal € 110,- zijn.

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Ongelijkheden oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p

Bereken welk aantal bestellingen per jaar minimaal mogelijk is.
In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het algemene model waarbij we geen rekening meer houden met het feit dat n eigenlijk een geheel getal moet zijn. Dat n positief moet zijn, blijft wel een eis. De optimale bestelgrootte is het aantal producten per bestelling waarbij de totale jaarlijkse…

In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het algemene model waarbij we geen rekening meer houden met het feit dat n eigenlijk een geheel getal moet zijn. Dat n positief moet zijn, blijft wel een eis. De optimale bestelgrootte is het aantal producten per bestelling waarbij de totale jaarlijkse kosten minimaal zijn. In formule (1) zijn A , B en V getallen die bij een bepaald product bekend zijn. Daarom kan de optimale bestelgrootte worden berekend door de vergelijking = 0 op te lossen. Hieruit volgt de zogeheten formule van Camp: (2) Met deze formule van Camp kun je de optimale bestelgrootte direct berekenen als je A , B en V weet.

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p

Laat zien dat de formule van Camp inderdaad volgt uit d/d K/n Door formule (2) en formule (1) te combineren, kan een uitdrukking gevonden worden voor de minimale kosten. Er blijkt dat deze minimale kosten evenredig zijn met de wortel uit A ⋅ B ⋅ V . Er geldt dus: K min = c ⋅ A ⋅ B ⋅ V (3) Hierin is…

Laat zien dat de formule van Camp inderdaad volgt uit d/d K/n Door formule (2) en formule (1) te combineren, kan een uitdrukking gevonden worden voor de minimale kosten. Er blijkt dat deze minimale kosten evenredig zijn met de wortel uit A ⋅ B ⋅ V . Er geldt dus: K min = c ⋅ A ⋅ B ⋅ V (3) Hierin is c de evenredigheidsconstante. De waarde van c kan onder andere berekend worden door de waarden A = 1000 , B = 8 en V = 0,60 (zie eerder in deze opgave) te gebruiken. Die waarden moeten dan zowel in formule (3) als in formule (2) ingevuld worden. Daarna kan met deze resultaten en gebruikmakend van formule (1) de waarde van c berekend worden.

opgave 4Bloeddruk

Het hart pompt bloed door het menselijk lichaam. Als het hart samentrekt,
wordt bloed in de bloedvaten gepompt, met als gevolg dat deze onder
druk komen te staan. Als het hart zich weer ontspant, neemt de druk in de
bloedvaten weer af.
Dit proces herhaalt zich voortdurend en het aantal keren per minuut dat
dit gebeurt, noemen we de hartslag. Tijdens dit proces neemt de druk in
de bloedvaten dus steeds toe en weer af. De hoogste druk wordt de
bovendruk genoemd en de laagste druk noemt men de onderdruk. Van
een bepaalde persoon is in figuur 1 de bloeddruk uitgezet tegen de tijd.
figuur 1
figuur 1
132p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p

Bepaal met behulp van figuur 1 de hartslag van deze persoon.
Als model van de bloeddruk wordt vaak een sinusoïde van de vorm
P = a + bsin(c ⋅ t) gebruikt. Hierin is P de bloeddruk, t de tijd in seconden
en zijn a, b en c constanten. Deze constanten zijn afhankelijk van de
hartslag en worden zo gekozen dat maximum en minimum van de
sinusoïde overeenkomen met bovendruk en onderdruk.
Een tweede persoon heeft een hartslag van 66 slagen per minuut. Zijn
bovendruk is 124 en zijn onderdruk is 82.
144p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4p

Stel een formule voor P op van de bloeddruk van deze persoon, horend
bij het model van de sinusoïde.
De eenheid van bloeddruk is ‘millimeter kwikdruk’, afgekort mmHg. Een
modernere maat voor bloeddruk is kilopascal (kPa). Het is vrij eenvoudig
om mmHg om te rekenen naar kPa. Daarvoor gebruiken we dat het
verband tussen kPa en mmHg recht evenredig is en dat de gemiddelde
luchtdruk op aarde gelijk is aan 760 mmHg, maar ook gelijk is aan
101,325 kPa.
153p

Evenredigheden en machtsverbanden 3p

Stel een formule op voor het verband tussen K, de bloeddruk in kilopascal
en H, de bloeddruk in mmHg. Rond daarbij zonodig af op twee decimalen.
Bloeddruk meten wordt meestal gedaan met de methode van Riva-Rocci,
genoemd naar de Italiaanse uitvinder ervan.
Die werkt als volgt: met een opblaasbare band om de bovenarm wordt de
polsslagader afgekneld, zodat er geen bloed meer doorheen stroomt.
Daarna laat men langzaam de lucht uit de band lopen, totdat er voor het
eerst weer een bloedstroming waarneembaar is. De bijbehorende druk is
de bovendruk. Daarna laat men de band nog verder leeglopen, totdat de
bloedstroming niet meer waarneembaar is. De druk die daarbij hoort is de
onderdruk.
In figuur 2 staat een schets die bij deze methode past.
figuur 2
figuur 2
In figuur 2 gaat de lijn van de bloeddrukmeter precies door twee toppen
van de bloeddruk. In werkelijkheid is dit meestal niet zo, omdat het
verloop van deze lijn afhangt van hoe ver de band opgeblazen wordt en
hoe snel deze leegloopt. Daarom is een dergelijke bloeddrukmeting nooit
helemaal nauwkeurig. Boven- en onderdruk (of eigenlijk benaderingen
daarvan) worden gevonden door te bepalen waar de twee grafieken
elkaar voor het eerst en voor het laatst snijden.
Van een patiënt kan de bloeddruk benaderd worden met de formule:
P = 110 + 23sin(2πt) (met P in mmHg en t in seconden)
Bij een bloeddrukmeting volgens de methode van Riva-Rocci pompt een
verpleegkundige een bloeddrukmeter op tot een waarde van 170 mmHg.
Daarna laat hij, vanaf t = 0, de druk gelijkmatig afnemen met 10 mmHg
per seconde.
165p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 4p · Lineaire functies 1p

Bereken welke bovendruk en onderdruk de verpleegkundige rapporteert.
Geef je antwoord in gehele getallen.

opgave 5Support

Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht
besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van
deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een
softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de
toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor
het ontwikkelen van nieuwe software.
Bij softwarebedrijf X-tent-O is geconstateerd dat men, als gevolg van deze
toenemende vraag naar support, elke maand 3% minder tijd dan in de
maand daarvoor besteedt aan het ontwikkelen van nieuwe software. Zie
de figuur.
figuur
figuur
Na twee jaar moet al meer dan de helft van de beschikbare werktijd
besteed worden aan support. En na vijf jaar kan nog maar 16% van de
beschikbare werktijd aan het ontwikkelen van nieuwe software besteed
worden.
Als er door de toename van de support elke maand 3% minder tijd
besteed kan worden aan het ontwikkelen van nieuwe software dan in de
maand daarvoor, dan kun je het percentage werktijd P dat aan support
^w^o^r^d^P^t^ =^b^e^1^s^0^t^0^e^e^ ⋅ (^d^1^,^ −^m^0^e^,^9^t^7^d^1^e^2^t^v)^o^l^g^e^n^d^e^f^o^r^m^u^l^e^b^e^r^e^k^e^n^e^n^:
Hierin is t de tijd in jaren vanaf de lancering van de nieuwe software.
Uit de figuur blijkt dus dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan
support wordt besteed en dat er na vijf jaar (ongeveer) 16% van de
beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
173p

Procenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p

Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het
percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf
jaar na de lancering van de nieuwe software. Geef je antwoord in gehele
procenten.
Veel beginnende softwarebedrijven houden er binnen een paar jaar mee
op, omdat ze zich verkijken op de tijd die in support moet worden
gestoken.
183p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p

Bereken met behulp van de formule hoelang het duurt totdat 90% van het
percentage werktijd bij X-tent-O aan support wordt besteed. Geef je
antwoord in hele maanden.
Met behulp van de afgeleide van P kan de verandering van het
percentage dat aan support wordt besteed, worden bepaald. Die afgeleide
is van de vorm P' = k ⋅ 0,9712t. Afgerond op één decimaal geldt: k = 36,6.
195p

Kettingregel 4p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p

Bereken k met behulp van differentiëren. Geef je antwoord in twee
decimalen.
Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in
de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt
afnemend naar die grenswaarde.
203p

Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 3p

Beredeneer aan de hand van de afgeleide van P dat het percentage
werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad steeds minder sterk
toeneemt.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

opgave 6Sjinkie

figuur bij de opgave
Begin 2015 werd Sjinkie Knegt
in Dordrecht voor de tweede maal
in zijn carrière Europees
kampioen shorttrack. Zo’n
kampioenschap bestaat uit het
schaatsen van de vier afstanden
500 m, 1000 m, 1500 m en
3000 m. Per afstand kun je
punten verdienen. Degene met
de meeste punten na vier
afstanden is de winnaar.
De beste acht deelnemers per afstand krijgen punten volgens de
onderstaande tabel:
plaats punten 1 34 2 21 3 13 4 8
plaats punten 5 5 6 3 7 2 8 1
Deelnemers die op plaats 9 of lager eindigen, krijgen voor die afstand
geen punten.
In werkelijkheid kunnen er op sommige afstanden extra punten worden
behaald in tussensprints. Deze laten we voor deze opgave buiten
beschouwing.
Tijdens het toernooi werd Sjinkie eerste op de 500 meter en op de
1000 meter, tweede op de 1500 meter en vierde op de 3000 meter. Hij
behaalde daarmee 34 + 34 + 21 + 8 = 97 punten.
Sjinkie’s classificering is niet de enige manier om 97 punten te behalen.
Hij had bijvoorbeeld ook eerste kunnen worden op de 500 en op de
1500 meter, tweede op de 3000 meter en vierde op de 1000 meter.
Je kunt, na een toernooi met vier afstanden, ook eindigen met een totaal
van 55 punten. Dan ben je waarschijnlijk geen kampioen, maar dan heb je
misschien wel een keer een afstand gewonnen en een keer een tweede
plaats gehaald. Het aantal van 55 punten is echter op veel meer manieren
te behalen.
218p

Telproblemen 8p

Onderzoek op hoeveel manieren je op de vier afstanden een totaal van
55 punten kunt behalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.