Eindexamen wiskunde A vwo 2019, tijdvak 1

Tijdens hun verblijf in Nederland bouwen de goudplevieren een reserve op voor de komende trektochten. Hierdoor nemen ze toe in gewicht. In figuur 2 zie je het resultaat van een onderzoek naar deze gewichtstoename: van een aantal op verschillende tijdstippen gevangen goudplevieren is het gewicht en/of de hoeveelheid vet bepaald. De open stippen horen bij waarnemingen in het najaar en de dichte stippen bij waarnemingen in het voorjaar. Ook zijn de trendlijnen getekend. figuur 2 lichaamsgewicht (g) hoeveelheid vvoooorrjjaaaarr 0 10 20 30 40 50 60 dagen na het begin van gewichtstoename Op grond van specifieke biologische kenmerken kunnen de onderzoekers bepalen wanneer de gewichtstoename van een goudplevier begint. Aan de hand van de trendlijnen in figuur 2 kun je onderzoeken of de volgende stellingen waar zijn. I In het voorjaar is de gemiddelde gewichtstoename per dag van een goudplevier ongeveer 2 keer zo groot als in het najaar. II De gewichtstoename in het voorjaar bestaat niet uit vet.

Het vetpercentage van een vogel is de hoeveelheid lichaamsvet als percentage van het totale gewicht van de vogel. Met behulp van de trendlijnen in het voorjaar van zowel lichaamsgewicht als vethoeveelheid leiden de onderzoekers het volgende verband af: P voorjaar = 1600 2,3 ⋅ t + 198 Hierbij is P voorjaar het vetpercentage van de vogel in het voorjaar en t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

Beredeneer uitsluitend met behulp van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, of het vetpercentage in het voorjaar toeneemt of juist afneemt. Voor het vetpercentage in het najaar gaan we uit van de volgende formule: 2300 + 60 t P najaar = 207 + 0,6 t Hierin is P najaar het vetpercentage van de vogel in het najaar en t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename. Met behulp van de afgeleide van P najaar kan men onderzoeken of het vetpercentage P najaar afnemend stijgend is.

Bereken het aantal verschillende kentekens met sidecode 7. Geef je antwoord in gehele honderdduizendtallen. In deze opgave gaan we echter van de volgende beperkingen uit: − Een kenteken mag niet met 00 beginnen − De eerste letter is G, H, J, K, L, N, P, R, S, T, X of Z − Klinkers (A, E, I, O, U, Y) worden niet gebruikt − De letters C en Q worden niet gebruikt − Bepaalde drielettercombinaties (zoals NSB) kunnen als aanstootgevend worden gezien en als gevolg daarvan zijn 82 drielettercombinaties uitgesloten. Een verslaggever van een autotijdschrift schrijft in een artikel dat door al deze beperkingen minder dan 20% van alle mogelijke kentekens uiteindelijk op een personenauto terecht zal komen.

Ga met een berekening na of de verslaggever gelijk heeft. Vanaf 1 maart 2013 werd voor kentekens de serie sidecode 8 gebruikt. Sidecode 8 bevat eerst een cijfer, dan drie letters en tenslotte twee cijfers. Sidecode 8 lijkt dus erg op sidecode 7 maar omdat er andere beperkingen gelden, zijn in totaal 1,46 miljoen kentekens beschikbaar voor personenauto’s. In oktober 2013 vraagt de verslaggever zich af tot wanneer deze serie (ongeveer) mee zal gaan. Hij maakt zelf een grafiek met daarin de verkoop van nieuwe personenauto’s vanaf 2011. Ook maakt hij als bijpassend model een trendlijn met een afname van de verkoop van 375 nieuwe auto’s per maand.

figuur Autoverkoop januari 2011 - september 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 j a n - m r t - m e i - j u l - s e p - n o v - j a n - m r t - m e i - j u l - s e p - n o v - j a n - m r t - m e i - j u l - s e p - Legenda: autoverkoop trend De formule die bij dit model hoort, is: A n = − 375 n + 37250 Hierbij is A n het aantal verkochte nieuwe auto’s in maand n met n = 0 voor maart 2013, de eerste maand waarin sidecode 8 gebruikt wordt. Het model geeft voor mei 2013 een hoger aantal verkochte nieuwe auto’s dan er volgens de grafiek werden verkocht.

Geef van elke bewering aan of deze waar is of niet. Gebruik in je toelichting gegevens uit figuur 1 en gebruik daarbij eventueel de figuur op de uitwerkbijlage. De magnitude , de kracht van een aardbeving, wordt uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter. In figuur 2 zijn de Groningse aardbevingen vanaf 1994 verzameld en ingedeeld naar sterkte. Dat geeft bij een logaritmische schaalverdeling langs de verticale as een opvallend patroon: alle grafieken zijn bij benadering evenwijdige rechte lijnen.

Elke stip in deze figuur stelt een aardbeving van een zekere magnitude voor: zo kun je zien dat er vlak voor juli 2009 een aardbeving van magnitude > 3,0 heeft plaatsgevonden: die aardbeving zie je dus ook terug bij de aardbevingen van de klassen > 2,5 ; > 2,0 en > 1,5 . figuur 2 In het onderzoek werden alleen aardbevingen bekeken die schade zouden kunnen veroorzaken. Omdat aardbevingen met een magnitude van minder dan 1,5 geen schade aanrichten, zijn deze niet in figuur 2 opgenomen.

Bereken voor augustus 2012 hoeveel procent van het aantal aardbevingen van magnitude > 2,0 een magnitude van 2,5 of hoger heeft. Geef je antwoord in gehele procenten. Het feit dat de grafieken in figuur 2 evenwijdige rechte lijnen zijn, betekent dat het aantal aardbevingen van elke klasse exponentieel toeneemt met dezelfde groeifactor. Het totaal aantal aardbevingen A voor magnitudes > 1,5 is te beschrijven met de volgende formule: A = 12 ⋅ e 0,013 t met t = 0 voor april 1994 en t in maanden.

De formules van de overige lijnen in figuur 2 kunnen worden afgeleid van die voor de magnitudes > 1,5 . Bekijk de grafiek voor de magnitudes > 2,0 . Deze grafiek is 85 maanden later op dezelfde hoogte als de grafiek voor magnitudes > 1,5 . Hieronder staan vier formules. Een van de vier is juist voor de magnitudes > 2,0 : A A 2,0 = 12 ⋅ e 0,013( t + 85) met t = 0 voor april 1994 B A 2,0 = 12 ⋅ e 0,013( t − 85) met t = 0 voor april 1994 C A 2,0 = 12 ⋅ e 0,013 t + 85 met t = 0 voor april 1994 D A 2,0 = 12 ⋅ e 0,013 t − 85 met t = 0 voor april 1994

Beredeneer welke van de vier formules juist is. In een rapport van het Staatstoezicht op de Mijnen wordt geconstateerd dat er een duidelijk verband is tussen de magnitude en het percentage aardbevingen boven die magnitude. In figuur 3 is dat verband weergegeven. figuur 3 magnitude aardbeving op de schaal van Richter ( M ) Zo is bijvoorbeeld af te lezen dat 10% van de aardbevingen een magnitude boven de 1,0 heeft. Bij deze grafiek hoort de volgende formule: N = 10 a − M Hierbij is M de magnitude en N het percentage van de aardbevingen boven magnitude M .

Laat met een berekening zien dat geldt: a = 2 . Omgekeerd kun je je ook afvragen welke magnitude de (bijvoorbeeld) 20% zwaarste aardbevingen minstens hadden. Om vragen als deze te beantwoorden, is het handig de formule te herschrijven. De formule N = 10 2 − M is te herleiden tot M = p + q ⋅ log( N ) .