opgave 1Windenergie
In een krant stond eind 2013 bij een artikel over de toekomst van
windenergie de onderstaande figuur. In de figuur wordt de kostprijs voor
het produceren van windenergie vergeleken met de kosten voor het
produceren van energie in een traditionele kolencentrale (de marktprijs).
figuur
De grafieken zijn gebaseerd op een model van de werkelijkheid. Met
behulp van dit model is het mogelijk om op ieder willekeurig tijdstip de
kostprijs van energie uit te rekenen.
De formule voor de marktprijs km luidt:
km = 0,28 ⋅ t + 4,3
De formule voor de kostprijs van windenergie kl van windmolens op land
luidt:
kl = −0,31⋅ t + 10,0
Voor beide formules geldt: k is de prijs in cent per kWh (kilowattuur) en t
is de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2009.
We nemen in deze opgave aan dat de prijzen zich ook na 2020 volgens
deze lineaire verbanden blijven ontwikkelen.
Door de duurdere windmolens op zee is de kostprijs van windenergie van
die windmolens op dit moment nog steeds hoger dan die van windmolens
op land. Maar door de voortdurende innovaties gaat dat veranderen.
24pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar de marktprijs tweemaal zo hoog zal zijn als de
kostprijs van windenergie van windmolens op land.
In 2009 werd er in totaal 23,4 miljoen MWh energie door kolencentrales
geproduceerd (1 MWh is 1 megawattuur, dat is 1000 kWh). De overheid
heeft als doelstelling dat op den duur alle energie duurzaam moet worden
geproduceerd. Energie die in kolencentrales wordt geproduceerd valt niet
onder duurzaam geproduceerde energie.
We willen nu een model maken voor de totale kosten TK van de door
kolencentrales geproduceerde energie in de jaren 2009-2050. Daarvoor
doen we twee aannames:
1 De totale hoeveelheid energie TE die per jaar door kolencentrales
geproduceerd wordt, neemt lineair af van 23,4 miljoen MWh in 2009
tot 0 MWh in 2050. Er geldt dan:
In deze formule is TE in miljoenen MWh en j in jaren met j = 0 het
jaar 2009. Bovendien is j een geheel getal.
2 Om de totale kosten TK van energie te berekenen in een bepaald jaar,
gebruiken we de gemiddelde marktprijs gm in euro per MWh in dat
jaar. Er geldt:
gm = 2,8 ⋅ j + 44,4
In deze formule is gm in euro per MWh en j in jaren met j = 0 het jaar
2009. Ook nu is j een geheel getal.
De totale kosten TK in een bepaald jaar zijn te berekenen door de
door kolencentrales geproduceerde energie te vermenigvuldigen met de
gemiddelde marktprijs in dat jaar. De formule voor TK is te schrijven als
TK = a ⋅ j2 + b ⋅ j + c.
In deze formule is TK in miljoenen euro’s en j in jaren met j = 0 het jaar
2009 en is j een geheel getal.
opgave 2Shannon-index
De Shannon-index H is een maat voor de diversiteit (verscheidenheid)
van een dieren- of plantenpopulatie in een gebied. Hoe hoger de
Shannon-index, hoe groter de diversiteit.
We kijken naar een gebied met twee soorten bomen. De formule voor de
Shannon-index is dan:
H = −(p1 ln(p1) + p2 ln(p2))
waarin p1 en p2 de aandelen van elke soort binnen het gebied zijn. Er
geldt bijvoorbeeld dat p1 = 0,37 als 37% van de bomen uit soort 1
bestaat.
Bos A bestaat voor 70% uit eiken en voor 30% uit beuken en bos B
bestaat voor 90% uit eiken en voor 10% uit beuken.
43pRekenen met een gegeven formule 3p
Onderzoek met de formule voor H van welk van beide bossen de
Shannon-index het grootst is.
In een bos met twee soorten bomen, eiken en beuken, geldt: als p het
aandeel eiken is, is het aandeel beuken gelijk aan 1–p. De formule voor
de Shannon-index kan dan geschreven worden als:
H = −(pln(p) + (1 − p)ln(1 − p))
53pEigenschappen van functies en grafieken 3p
Onderzoek met de grafische rekenmachine tot welke waarde de Shannon-
index nadert als het aandeel eiken in het bos steeds kleiner wordt.
Met behulp van de afgeleide van H kunnen we onderzoeken bij welke
verhouding eiken en beuken de Shannon-index maximaal is.
Er geldt:
opgave 3Bitcoins
De bitcoin is een digitale munteenheid die alleen online bestaat. Hij
bestaat sinds 1 januari 2009 en kan worden gebruikt om te betalen in
webwinkels of voor andere online diensten.
Bitcoins worden niet, zoals normaal geld, door een centrale bank in
omloop gebracht. In plaats daarvan zijn alle bitcoins die in omloop zijn,
gecreëerd door computers mee te laten werken aan oplossingen van
geselecteerde wiskundige problemen. Dat werkt als volgt:
Iedereen kan op zijn of haar computer speciale software laten draaien die
meewerkt aan het oplossen van zo'n wiskundig probleem. De eigenaar
van de computer die de oplossing voor een probleem vindt, krijgt daarvoor
25 (nieuw gecreëerde) bitcoins als beloning. Omdat er in 2014 iedere
10 minuten zo'n probleem werd opgelost, werden er op deze manier
iedere 10 minuten 25 bitcoins in omloop gebracht.
Op 1 januari 2014 waren er (ongeveer) 12,2 miljoen bitcoins in omloop.
73pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken uitgaande hiervan in welk jaar het aantal bitcoins in omloop
boven de 18 miljoen uitstijgt als de snelheid waarmee bitcoins in omloop
gebracht worden niet verandert.
In werkelijkheid blijft de snelheid waarmee bitcoins in omloop worden
gebracht niet gelijk aan 25 bitcoins per 10 minuten. Deze snelheid neemt
namelijk af. Gedurende de eerste vier jaar, van 1 januari 2009 tot
1 januari 2013, was de beloning per oplossing nog 50 bitcoins. De
beloning voor het vinden van een oplossing wordt elke vier jaar
gehalveerd: van 1 januari 2013 tot 1 januari 2017 is de beloning per
oplossing 25 bitcoins, voor de vier jaar erna 12,5 bitcoins per oplossing
enzovoorts.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken vanaf welk jaar de beloning per oplossing minder dan één bitcoin
zal zijn.
Het totale aantal bitcoins dat in omloop gebracht kan worden, is begrensd.
Dat is een gevolg van (onder andere) het feit dat de beloning per
oplossing steeds gehalveerd wordt. Het totale aantal bitcoins dat in
omloop is, kan worden benaderd met de formule:
C = 21 − 21⋅ 0,50,25⋅t
Hierin is C het totale aantal bitcoins in miljoenen en t de tijd in jaren met
t = 0 op 1 januari 2009.
93pEigenschappen van functies en grafieken 3p
Bepaal met behulp van een redenering aan de hand van de formule de
grenswaarde van het totale aantal bitcoins dat in omloop is.
Om het totale aantal bitcoins dat in omloop is te reguleren, wordt niet
alleen het aantal bitcoins per oplossing kleiner gemaakt, maar wordt ook
de moeilijkheidsgraad van de wiskundige problemen steeds groter
gemaakt. Er zijn namelijk steeds meer mensen die hun computers mee
laten rekenen.
De moeilijkheidsgraad van de problemen stijgt exponentieel volgens de
formule D = 3,65 ⋅ e0,533⋅t.
Hierin is D een maat voor de moeilijkheidsgraad en t de tijd in maanden
met t = 0 op 1 januari 2013. Hierbij geldt dat hoe groter D is, hoe
moeilijker het op te lossen probleem is.
104pKettingregel 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
Stel de formule van de afgeleide van D op en beredeneer hoe je aan deze
formule kunt zien dat de grafiek van D toenemend stijgend is.
De formule kan zó worden herschreven dat je een moeilijkheidsgraad kunt
invullen en zo de tijd in maanden kunt berekenen die nodig is om die
moeilijkheidsgraad te bereiken.
opgave 4Jaarringen
Op de foto zie je een doorgezaagde boomstam.
Hierin zijn zogenaamde jaarringen te zien. Deze
ontstaan doordat de boom in de zomer snel
groeit: dan wordt er licht gekleurd hout gevormd.
In de winter groeit de boom langzaam en wordt er
donker gekleurd hout gevormd. Zo komt er elk
jaar een ring bij, die uit een licht en een donker
gedeelte bestaat: een jaarring.
In deze opgave kijken we eerst naar de
groeisnelheid van de diameter (G) van een grove
den. Omdat een boom afwisselend snel en langzaam groeit, kun je deze
groeisnelheid modelleren met behulp van sinusoïden.
Voor de groeisnelheid van de diameter van een grove den gelden de
volgende eigenschappen:
− de groeisnelheid is drie maanden na het ontkiemen van het zaadje
maximaal;
− de groeisnelheid is negen maanden na het ontkiemen minimaal;
− dit patroon herhaalt zich elk jaar;
− de maximale groeisnelheid is 2,1 cm per jaar;
− de minimale groeisnelheid is 0,3 cm per jaar.
Voor de groeisnelheid van de grove den kun je op basis van deze
eigenschappen een formule opstellen van de vorm G = a + bsin(c(t − d)).
Hierin is G de groeisnelheid in cm per jaar en t de tijd in jaren na het
ontkiemen.
124pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4p
Bereken de waarden van a, b, c en d in deze formule. Licht je antwoord
toe.
Nu bekijken we de diameter van de stam van deze grove den. Daarbij kan
de volgende formule worden opgesteld:
D = 1,2t + 0,14 + 0,14sin(2π(t − 0,25))
Hierin is D de diameter van de stam in cm en t de tijd in jaren na het
ontkiemen met t = 0 op het moment van ontkiemen.
De grafiek van D is in de figuur getekend. De grafiek staat ook vergroot
op de uitwerkbijlage.
figuur
133pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p
Bereken met behulp van de formule op welk tijdstip de diameter een dikte
van 5 cm bereikt. Rond je antwoord af op hele maanden.
In de grafiek is te zien dat de diameter schommelt rondom een lijn. De
formule van deze lijn is T =1,2t+0,14.
In plaats van de diameter te berekenen met de formule voor D is deze ook
te benaderen met behulp van de formule van de lijn. Deze benadering zal
in de meeste gevallen iets afwijken van de diameter volgens de formule
van D.
153pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de formule van D hoeveel procent van de
jaarlijkse groei in de eerste helft van het jaar plaatsvindt. Rond je
antwoord af op gehele procenten.
In het begin van deze opgave staat vermeld dat de groeisnelheid van de
diameter G na negen maanden (t = 0,75) minimaal is, namelijk
0,3 cm per jaar. De minimale groeisnelheid bij t = 0,75 die met de formule
van D berekend wordt (zie punt A in de grafiek), is niet precies gelijk aan
0,3 cm per jaar.
naslag3p 18 Bereken de waarde van r in drie decimalen nauwkeurig.
De kunstenaar had er ook voor kunnen kiezen om de ribbe met een vaste
lengte te laten afnemen. De lengten van de ribben van de opeenvolgende
achtvlakken vormen dan een rekenkundige rij. Deze rij kan benaderd
worden met de directe formule in de vorm van een lineaire formule:
Hierin is n het nummer van het achtvlak. In de formule is un de lengte in
cm van de ribbe van het n-de achtvlak. Bij n = 0 hoort de lengte van de
ribbe van de voet.
voor welke percentages eiken en beuken de
