Eindexamen wiskunde A vwo 2015 tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) toevalsvariabelen X en Y geldt: n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde geldt voor de som S en het gemiddelde X van de Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: = = n ⋅ k ⋅ − n − k P( X k ) p (1 p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Differentiëren naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) g ( x ) q' ( x ) ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ d x d g d x

Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log a log b log b g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a p log g

opgave 1Diabetesrisicotest

In de apotheek is voor mensen ouder dan 45 jaar

een test verkrijgbaar om het risico op diabetes

(suikerziekte) te voorspellen. Dit is een vragenlijst

met zeven vragen, onder andere over gewicht en

hoeveelheid beweging. Elk antwoord levert een

bepaald aantal punten op. Het totale aantal punten

is een voorspeller van het risico op diabetes. Zie

tabel 1. Verborgen diabetes betekent dat iemand

zonder het te weten al diabetes heeft of dit binnen

vijf jaar krijgt. Voor de duidelijkheid: mensen die al

weten dat ze diabetes hebben, doen deze test niet.

tabel 1

aantal punten risico op verborgen diabetes 6 of minder kans 0,02 op verborgen diabetes 7, 8 of 9 kans 0,10 op verborgen diabetes 10 of meer kans 0,20 op verborgen diabetes

Een willekeurige groep mensen ouder dan 45 jaar heeft op zeker moment

de test gedaan. Het blijkt dat 400 personen een score van 10 punten of

meer hebben.

14p

Bereken, uitgaande van tabel 1, de kans dat 100 of meer van deze

400 mensen verborgen diabetes hebben.

Iemand met een score van 7, 8 of 9 krijgt het advies goed te letten op

gewicht en hoeveelheid beweging. Als iemand een score van 10 of hoger

heeft, wordt hij doorverwezen naar de huisarts voor verder onderzoek

naar diabetes.

Veronderstel dat in totaal 12 000 mensen ouder dan 45 jaar deze

diabetesrisicotest invullen en dat van deze groep 27% een score van

10 of hoger heeft en 29% een score van 7, 8 of 9.

Van die 12 000 mensen heeft, uitgaande van de kansen in tabel 1, naar

verwachting een bepaald gedeelte ook echt verborgen diabetes. Van deze

groep met verborgen diabetes wordt slechts een gedeelte doorverwezen

naar de huisarts, namelijk alleen die mensen die in de test 10 of meer

punten scoren.

26p

Bereken hoeveel procent van deze groep mensen met verborgen diabetes

door deze diabetesrisicotest naar de huisarts doorverwezen wordt.

In 2006 is in Korea een onderzoek gedaan waarbij in totaal 8199 mensen

een dergelijke diabetesrisicotest invulden. Er deden geen mensen mee

die al wisten dat ze diabetes hadden. Bij deze test waren er slechts twee

uitslagen mogelijk: bij 7 punten of meer scoorde iemand positief op de

test (dat betekent dat de test aangeeft dat deze persoon diabetes heeft),

bij 6 punten of minder scoorde iemand negatief op de test. Na het invullen

van de test werden alle 8199 mensen onderzocht op diabetes. De

resultaten staan in tabel 2.

tabel 2

aantal personen diabetes geen diabetes test positief (7 punten of meer) 125 790 test negatief (6 punten of minder) 474 6810

Zoals te zien is in tabel 2, is het mogelijk dat iemand met een positieve

test bij verder onderzoek geen diabetes blijkt te hebben. Ook is het

mogelijk dat iemand met een negatieve test toch diabetes blijkt te hebben.

Men wil natuurlijk graag dat een test zoveel mogelijk correcte

voorspellingen geeft.

Het percentage van alle mensen met een bepaalde ziekte die door een

test ‘ontdekt’ wordt, heet de sensitiviteit van de test. De sensitiviteit is in

dit geval dus het percentage van de mensen met diabetes waarbij de

diabetesrisicotest terecht een positieve uitslag geeft.

Het percentage van alle mensen zonder de ziekte waarbij de

diabetesrisicotest terecht een negatieve uitslag geeft, heet de

specificiteit van de test.

In formulevorm:

= aantal mensen met diabetes en een positieve test ⋅100%

sensitiviteit

aantal mensen met diabetes

= aantal mensen zonder diabetes en een negatieve test ⋅100%

specificiteit

aantal mensen zonder diabetes

33p

Bereken de sensitiviteit en de specificiteit van deze diabetesrisicotest voor

dit onderzoek in Korea.

Bij het onderzoek in Korea scoorde iemand positief op de test bij

7 of meer punten en negatief bij 6 of minder punten. Stel dat men met

deze test meer mensen met diabetes zou willen ‘ontdekken’. Men zou dan

kunnen besluiten dat bij deze test (met dezelfde 8199 mensen) de uitslag

bij 6 of meer punten positief is en bij 5 of minder negatief. Je mag

aannemen dat er dan meer mensen met een positieve testuitslag zijn en

dat hierbij zowel mensen met als mensen zonder diabetes zitten.

44p

Toon aan dat de sensitiviteit van de test nu groter is en beredeneer of in

deze situatie de specificiteit groter of kleiner geworden is.

Het onderzoek in Korea maakte deel uit van een internationaal onderzoek.

Hierbij vulden mensen uit verschillende landen dezelfde diabetesrisicotest

in.

In Denemarken deden 6271 mensen aan deze test mee. Ook deze

mensen wisten niet of ze diabetes hadden. Na afloop werden ook daar

alle deelnemers onderzocht op diabetes. Hieruit kon voor Denemarken

geconcludeerd worden dat de sensitiviteit 41,8% was en de specificiteit

84,0%. Er bleken in totaal 263 van de 6271 personen diabetes te hebben.

Dat is een ander aantal dan het aantal mensen met een positieve uitslag

op de diabetesrisicotest.

55p

Bereken voor het onderzoek in Denemarken hoeveel procent van de

mensen met een positieve diabetesrisicotest uiteindelijk diabetes bleek te

hebben.

opgave 2Kosten van betalingsverkeer

Winkeliers maken kosten bij elke betaling die een klant voor een aankoop

doet. Uit een onderzoek van het Hoofdbedrijfschap Detailhandel uit 2002

blijkt dat deze kosten afhangen van de manier waarop de klant zijn

aankoop betaalt. Alle bedragen in deze opgave hebben betrekking op het

jaar 2002.

Om de kosten voor de detailhandel bij contant betalen, pinnen en chippen

met elkaar te kunnen vergelijken, is de onderstaande figuur gemaakt.

Daarin zie je de kosten voor deze drie betaalmiddelen in grafieken

weergegeven. De figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

Langs de verticale as staan de transactiekosten per euro K voor elk type

betaling. Die transactiekosten K zijn in euro’s. Langs de horizontale as

staat het transactiebedrag B in euro’s.

figuur

0,050 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 transactiebedrag B in euro’s Legenda: K K K cont pin chip

In deze figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een transactiebedrag van

€ 20 chippen het voordeligst is, namelijk ongeveer € 0,006 per euro. Nu

kunnen we de transactiekosten voor een transactie van € 20 chippen

berekenen, namelijk (ongeveer) € 0,006 × 20 = € 0,12.

64puitwerkbijlage

Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het verschil in

transactiekosten bij contant betalen en chippen bij een transactiebedrag

van € 80.

Bij de grafieken in de figuur kunnen we formules opstellen. Voor contant

betaKle_cn_o_n_tg = eld0,t:00488 + (0,0744)/(B)

Hierin is K_cont de transactiekosten per euro bij contant betalen in euro’s.

Uitgaande van de formule voor K_cont kunnen we een formule opstellen

voor de transactiekosten bij contant betalen. Deze kosten geven we aan

met TK_cont. De formule heeft de vorm TK_cont = aB + b.

74p

Laat dit zien en bepaal a en b.

Bij de grafiek van transacties met pinnen kunnen we de volgende formule

opstKel_pl_ie_nn = :0,00093 + (0,193)/(B)

Hierin is K_pin de transactiekosten per euro bij pinnen in euro’s.

Omdat de meeste betalingen contant of per pin uitgevoerd worden, is het

snijpunt van K_cont en K_pin belangrijk voor de detailhandel.

83p

Bereken met behulp van de formules voor K_cont en K_pin bij welke bedragen

de transactiekosten per euro voor het pinnen lager zijn dan voor contant

betalen. Rond je antwoord af op centen.

De formule voor de transactiekosten per euro bij chippen heeft ook de

vorm

met p en q constanten. We vergelijken nu deze

formule met de formule K_c_o_n_t = 0,00488 + (0,0744)/(B)

Op basis van de figuur is vast te stellen of p groter of kleiner is dan

0,00488 en ook of q groter of kleiner is dan 0,0744.

94p

Beredeneer aan de hand van de figuur, zonder p of q te berekenen, of de

waarde van p groter of kleiner is dan 0,00488 en beredeneer vervolgens

of de waarde van q groter of kleiner is dan 0,0744.

opgave 3Piramiden

Een kunstenaar ontwerpt een kunstwerk. Hij wil een serie piramiden

maken, elk met een vierkant grondvlak. Hij wil dat het grondvlak van de

opeenvolgende piramiden steeds groter wordt en de hoogte steeds

kleiner. In onderstaande figuur zie je de eerste drie piramiden van een

mogelijk ontwerp.

figuur

De kunstenaar gaat de piramiden uitvoeren in beton. Hij moet dus weten

hoeveel beton hij nodig heeft. Daarom rekent hij met de formule voor de

inhoud van een piramide. De zijde van het vierkante grondvlak, uitgedrukt

in dm, noemt hij x. De hoogte van een piramide in dm noemt hij h. Zie de

figuur.

De kunstenaar kiest voor een lineair verband tussen h en x en daarvoor

gebruikt hij de volgende formule: h = 9 − ax. Omdat hij nog niet wil

vastleggen hoe snel de hoogte afneemt, gebruikt hij de letter a in deze

formule.

Voor de inhoud van een piramide geldt de volgende formule:

oppervlakte grondvlak ⋅ hoogte

In eerste instantie neemt de kunstenaar a = 1.

103p

Bereken in die situatie de inhoud van zo’n piramide met een grondvlak

van 2,5 bij 2,5 dm.

Als de waarde van a nog niet gekozen is, geldt voor de inhoud van zo’n

piramide de volgende formule:

Hierin is I de inhoud in dm³ en x de lengte van de zijde van het grondvlak

in dm.

Als de kunstenaar eenmaal een waarde voor a gekozen heeft, liggen de

afmetingen en dus de inhoud van de piramide nog niet vast. Als x

verandert, verandert ook de inhoud I.

Neem voor de volgende vraag weer a = 1.

114p

Toon met behulp van differentiëren aan dat de inhoud van zo’n piramide

dan maximaal is voor x = 6.

De kunstenaar maakt een nieuw ontwerp. Hij wil de breedte van het

grondvlak van de piramiden constant houden en zowel de lengte als de

hoogte laten veranderen.

In zijn nieuwe ontwerp is de breedte van het grondvlak van een piramide

gelijk aan 2 dm en de lengte van dat grondvlak gelijk aan x dm. Voor de

hoogte in dm van een piramide neemt hij weer: h = 9 − ax.

Voor de inhoud van een piramide in dit nieuwe ontwerp geldt dan de

formule:

123p

Toon dit aan door deze formule af te leiden uit de gegevens.

De kunstenaar wil nu die waarde van a berekenen waarbij de inhoud van

zo’n nieuwe piramide maximaal is als x gelijk is aan 6.

135p

Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van a geldt dat

een piramide van het nieuwe ontwerp voor x = 6 de grootste inhoud heeft.

opgave 4Bevingen in Japan

De laatste jaren waren de zeebevingen in de buurt van Japan regelmatig

in het nieuws.

De zeebeving van 11 maart 2011 met de daaropvolgende tsunami zorgde

voor grote problemen bij de kerncentrale Fukushima I. Om de reactoren te

koelen, werd zeewater in de reactoren gepompt. Dit water lekte,

radioactief geworden, weer terug in zee. Hierdoor raakte vis besmet met

radioactief jodium en moest de visvangst tijdelijk worden stopgezet.

Radioactief jodium verdwijnt volgens een exponentieel proces. De

halveringstijd van radioactief jodium is 8 dagen. Op 6 april 2011 gaven

metingen aan dat er 4800 keer de maximaal toegestane hoeveelheid

radioactief jodium in het zeewater aanwezig was. De maximaal

toegestane hoeveelheid radioactief jodium is 5 becquerel/liter.

Op het moment dat de maximaal toegestane hoeveelheid werd bereikt,

mocht er weer gevist worden. We gaan ervan uit dat er na 6 april 2011

geen nieuw radioactief jodium meer in zee lekte.

145p

Bereken na hoeveel dagen er weer gevist mocht worden.

De zeebeving van Sendai in 2011 en de aardbeving van 2004 die een

enorme tsunami in de Indische Oceaan veroorzaakte, zijn allebei

bevingen met een kracht van 9,0 of meer op de schaal van Richter.

De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de

magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je

een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten

trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het

seismogram heet de maximale amplitude.

figuur

3 uitwijking (in mm) 2 maximale amplitude 1 0 00 5 1100 15 -1 tijd (in sec) -2 -3

Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule

van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:

M = log(A) + 3

In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.

Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot

wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.

153p

Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat log(10A) + 3

altijd 1 groter is dan log(A) + 3.

Met de formule M = log(A) + 3 kan M berekend worden als A bekend is.

Men kan echter ook A berekenen als M bekend is. Dat kan met de formule

A = 0,001⋅10^M.

Deze laatste formule is af te leiden uit de formule M = log(A) + 3.

163p

Toon dit aan.

Bij een beving komt heel veel energie vrij. Hierbij wordt een andere

formule van Richter gebruikt:

M = 0,67 ⋅ log(E) − 0,9

Hierin is E de energie die vrijkomt in kilojoule en M de magnitude op de

schaal van Richter.

Een van de naschokken van de aardbeving van 2004 had een maximale

amplitude van 120 mm.

175p

Bereken de hoeveelheid energie die bij deze naschok vrijkwam.

opgave 5Statistiek in de auto-industrie

Bij een productieproces worden voortdurend controlemetingen uitgevoerd. Bijvoorbeeld bij de productie van slangen voor achterruitsproeiers mag de lengte van de slang niet al te veel afwijken van de streefwaarde . Die lengte van de slang moet binnen bepaalde specificatiegrenzen blijven. Slangen van achterruitsproeiers De streefwaarde van de lengte van de slang voor de achterruitsproeier van een bepaald type auto is 280 cm. In werkelijkheid zullen niet alle slangen precies 280 cm lang zijn. De lengte van de slang moet liggen tussen de specificatiegrenzen 276 en 284 cm. Als de lengte van de slang hierbuiten valt, dan wordt de slang afgekeurd. Het productieproces wordt zo figuur 1 ingericht, dat het percentage dat buiten de specificatiegrenzen valt, erg klein is. In figuur 1 zie je hier een voorbeeld van: de lengte van de geproduceerde slangen is gemiddeld 280 cm met een standaardafwijking van 0,65 cm. Hierbij is het gemiddelde dus de streefwaarde. Neem hierbij aan dat de lengte van de geproduceerde slangen normaal verdeeld is.

Bereken hoeveel procent van de geproduceerde slangen een lengte heeft die meer dan 2 cm afwijkt van de streefwaarde. Het is mogelijk dat er iets mis is figuur 2 met het productieproces. In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de gemiddelde lengte van de geproduceerde slangen groter is dan de streefwaarde 280 cm. Neem aan dat de standaardafwijking niet veranderd is. We kijken nu naar het percentage van de geproduceerde slangen met een lengte groter dan 284 cm.

Bereken vanaf welk gemiddelde dit percentage groter is dan 5%. Rond je antwoord af op gehele cm.

Om vast te stellen of het productieproces van slangen voor achterruitsproeiers nog goed verloopt, neemt men regelmatig een steekproef uit de geproduceerde slangen. Hierbij bepaalt men het steekproefgemiddelde g en berekent men de procescapaciteitsmaat C . Er geldt: g − linkerspecificatiegrens C = en C links 3 s Hierin is g het steekproefgemiddelde. We nemen aan dat s , de standaardafwijking van het proces, constant is en steeds gelijk is aan 0,65. De procescapaciteitsmaat C is de kleinste van deze twee waarden C links en C rechts . Als bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde g gelijk is aan 281 cm en 284 − 281 s = 0,65 , dan geldt: C = rechts 3 ⋅ 0,65 Hieruit volgt dat in dit voorbeeld geldt: C = C rechts We nemen verder aan dat het steekproefgemiddelde g binnen de specificatiegrenzen ligt. De standaardafwijking s verandert ook nu niet. Het productieproces verloopt slechter als het steekproefgemiddelde g verder van de streefwaarde af komt te liggen.

Beredeneer aan de hand van de formules of de waarde van C in dit geval groter wordt of juist kleiner. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

Koplampen Ook de koplampen van een auto moeten aan strenge eisen voldoen. De koplampen moeten tussen 0 ° en 2,5 ° naar beneden wijzen, zodat tegenliggers niet verblind worden. Neem aan dat de hoek van een koplamp normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1,25 ° . In figuur 3 zie je het resultaat van een steekproef: een grafiek met de hoeken van 50 koplampen. De streefwaarde 1,25 ° is in de grafiek te zien als een horizontale lijn. figuur 3 De standaardafwijking van de hoek van een koplamp in het productieproces is gelijk aan 0,25 ° . We nemen aan dat de standaardafwijking niet verandert als het proces verstoord wordt. De gemiddelde hoek van de koplampen uit de steekproef in figuur 3 is 1,32 ° .