bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2007, tijdvak 2 (wiskunde A1,2)

opgave 1Vakanties

In het najaar van 2003 is een enquête gehouden onder 3000 Nederlanders waarin gevraagd werd op welke wijze zij hun vakantie hadden geboekt in de jaren 2002 en 2003. Men onderscheidde daarbij drie mogelijkheden: − boeken via reisbureau; − boeken via internet; − boeken op een andere manier. In tabel…

In het najaar van 2003 is een enquête gehouden onder 3000 Nederlanders waarin gevraagd werd op welke wijze zij hun vakantie hadden geboekt in de jaren 2002 en 2003. Men onderscheidde daarbij drie mogelijkheden: − boeken via reisbureau; − boeken via internet; − boeken op een andere manier. In tabel 1 zijn enkele resultaten uit deze enquête weergegeven. tabel Vakantieboekingen manier 1 van aantal boekingen overgangspercentages naar manier van Uit de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat 24% van de mensen die in 2002 hun vakantie via een reisbureau hadden geboekt, dit in 2003 via internet deden. En ook dat 90% van de mensen die in 2002 via internet hadden geboekt, dit in 2003 weer deden. Het aantal geënquêteerden dat via internet de vakantie had geboekt, was in 2003 groter dan in 2002.

Bereken met hoeveel procent dit aantal was toegenomen. Niet alleen bij de 3000 geënquêteerden nam het aantal internetboekingen toe, ook landelijk was dit het geval. Uit het onderzoek ‘Consumer’s Choice of Channels’ van Deloitte bleek namelijk dat in 2004 in Nederland de helft van alle reizen via…

Bereken met hoeveel procent dit aantal was toegenomen. Niet alleen bij de 3000 geënquêteerden nam het aantal internetboekingen toe, ook landelijk was dit het geval. Uit het onderzoek ‘Consumer’s Choice of Channels’ van Deloitte bleek namelijk dat in 2004 in Nederland de helft van alle reizen via internet was geboekt. In 2003 was dit nog maar 35%. Mede op grond van deze uitkomsten heeft men een formule opgesteld, die het percentage internetboekingen goed benadert. Deze formule ziet er als volgt uit: In deze formule is t in jaren, waarbij t = 0 correspondeert met het jaar 2000. P is het percentage van alle vakanties dat in dat jaar is geboekt via internet.

Onderzoek hoeveel procent van de vakanties volgens de formule voor P op den duur via internet zal worden geboekt.
Uit het onderzoek werd de conclusie getrokken dat het percentage internetboekingen in de loop van de jaren steeds verder zal toenemen. De formule van P moet dus een stijgende grafiek opleveren. Dat kunnen we controleren met behulp van de afgeleide van P .
Stel een formule op voor de afgeleide van P en toon met behulp daarvan aan dat de grafiek van P stijgend is. Niet alleen in Nederland is onderzoek gedaan naar de manier waarop een vakantie wordt geboekt. Uit een ander onderzoek is onderstaande figuur 1 afkomstig. Deze figuur heeft betrekking op de…

Stel een formule op voor de afgeleide van P en toon met behulp daarvan aan dat de grafiek van P stijgend is. Niet alleen in Nederland is onderzoek gedaan naar de manier waarop een vakantie wordt geboekt. Uit een ander onderzoek is onderstaande figuur 1 afkomstig. Deze figuur heeft betrekking op de totale omzet van de Europese reisindustrie. figuur 1 Totale omzet (in miljarden euro) en het percentage dat per internet is geboekt (in 0 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 In de figuur kun je de jaarlijkse omzet van de totale Europese reisindustrie aflezen voor de jaren 1998 tot en met 2004. Zo zie je bijvoorbeeld dat in het jaar 2000 de omzet 247 miljard euro was, waarvan 1,0% afkomstig was van boekingen via internet. Met behulp van figuur 1 kunnen we voor 2001, 2002, 2003 en 2004 de omzet berekenen van de reizen die geboekt zijn via internet. Die omzet is ieder jaar toegenomen.

Laat zien dat deze omzet in de periode 2001-2004 niet exponentieel is toegenomen.

opgave 2Kangoeroe

Veel middelbare scholen doen jaarlijks mee aan de Europese Kangoeroe reken-
en wiskundewedstrijd. Deze wedstrijd dankt zijn naam aan zijn Australische
oorsprong.
figuur bij de opgave
Tijdens de wedstrijd krijgen de leerlingen 30 vragen voorgelegd. Bij elke vraag
worden 5 mogelijke antwoorden gegeven, waarvan er precies één goed is.
Elke goed beantwoorde vraag levert punten op, maar een fout antwoord levert
strafpunten op. Het aantal punten en strafpunten hangt af van het nummer van
de vraag; de vragen zijn daarbij in 3 groepen verdeeld.
− de vragen 1 tot en met 10 leveren 3 punten per goed antwoord op en
(3)/(4) strafpunt per fout antwoord;
− de vragen 11 tot en met 20 leveren 4 punten per goed antwoord op en
1 strafpunt per fout antwoord;
− de vragen 21 tot en met 30 leveren 5 punten per goed antwoord op en
1(1)/(4) strafpunt per fout antwoord.
Per vraag mag je slechts één antwoord kiezen. Als je geen antwoord invult, krijg
je geen punten, maar ook geen strafpunten voor die vraag.
Wieke vraagt zich af of het niet beter is om een vraag waarvan je het antwoord
niet weet, onbeantwoord te laten. Je kunt dan weliswaar geen punten verdienen,
maar je krijgt in elk geval ook geen strafpunten.
Wieke berekent dat bij gokken de verwachtingswaarde van het aantal punten bij
de vragen 1 tot en met 10 gelijk is aan 0. Het maakt dus bij deze vragen niet uit
of je gokt of geen antwoord invult.
54p
Onderzoek hoe dat zit bij de andere vragen door de verwachtingswaarde van
het aantal punten bij gokken te berekenen bij een van de vragen 11 tot en met
20 en bij een van de vragen 21 tot en met 30.
Naast de genoemde punten en strafpunten krijgt elke deelnemende leerling
30 punten om mee te beginnen. Wanneer je hier de behaalde punten bij optelt
en de strafpunten er van aftrekt, krijg je de eindscore.
We gaan onderzoeken wat er kan gebeuren met de eindscore van een leerling
die bij elke vraag willekeurig een antwoord invult en geen vragen open laat.
In de tabel op de uitwerkbijlage staan de kansen op verschillende eindscores.
Daarnaast staan ook de cumulatieve kansen. De kans dat een leerling die alle
antwoorden gokt een eindscore van bijvoorbeeld 40 punten haalt, is gelijk aan
0,02744. De kans op een eindscore van 40 punten of minder is 0,82869.
In de tabel kun je zien dat een eindscore van 0 punten wel mogelijk is, maar een
eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet.
64p
Leg uit waarom een eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet mogelijk is.
Bij de vragen 1 tot en met 10 krijg je bij elke vraag 3 punten bij een goed
antwoord en (3)/(4) strafpunt bij een fout antwoord. We weten dat de kans op een
goed antwoord gelijk is aan (1)/(5) voor een leerling die het antwoord gokt. Met
behulp hiervan kan voor elk van de vragen 1 tot en met 10 de
standaardafwijking van de score worden berekend.
74p
Bereken deze standaardafwijking.
Door een dergelijke berekening uit te voeren voor alle vragen, heeft men de
standaardafwijking van de eindscore berekend. Deze is 11,18. De gemiddelde
eindscore voor een leerling die alle antwoorden gokt, is 30 punten.
We kunnen de kansverdeling van de eindscores benaderen met een normale
verdeling met gemiddelde 30 en standaardafwijking 11,18.
De werkelijke kansverdeling staat in de tabel op de uitwerkbijlage. We kunnen
controleren of deze normale verdeling een goede benadering is van de
werkelijkheid. We kijken bijvoorbeeld naar de kans om een eindscore van
hoogstens 15 punten te behalen. Om deze kans met de normale verdeling te
benaderen, moeten we goed kijken naar de grenswaarden en bij het gebruik van
de continuïteitscorrectie rekening houden met de mogelijke waarden van de
eindscores.
85p
Bereken het verschil tussen de normale benadering en de werkelijke kans bij het
halen van een eindscore van hoogstens 15 punten.

opgave 3Kopieermachines

Het bedrijf PrintLease verhuurt twee types kopieermachines, de H570T en de
H320L. De huurprijs bestaat uit twee delen, de vaste kosten en de kosten per
gemaakte kopie. In tabel 2 is te zien hoe de maandelijkse huurprijs wordt
berekend.
tabel 2
Maandelijkse kosten verhuur kopieermachines
kosten per maand in euro’s H570T H320L vaste kosten 340 375 kosten per kopie tot en met het aantal van 12 000 0,0095 0,01 voor elke kopie boven het aantal van 12 000 0,0095 0,0058
In deze tabel kun je zien dat de prijs voor elke kopie boven de 12 000 kopieën bij
de H320L goedkoper is dan bij de H570T.
PrintLease wil op de website aan de klanten laten weten bij welk aantal kopieën
per maand het huren van de H320L voordeliger is dan de H570T.
95p
Onderzoek bij welke aantallen kopieën dit het geval is.
Naast de verhuur verkoopt PrintLease ook nog elk jaar 240 kopieermachines.
Men verwacht dat dit de komende jaren zo zal blijven.
Om er voor te zorgen dat het bedrijf steeds kopieermachines in voorraad heeft,
doet PrintLease een aantal keren per jaar een bestelling bij de fabrikant. Om na
te gaan welke kosten daarmee gemoeid zijn, hanteert PrintLease de volgende
aannames:
− per jaar worden gemiddeld 240 kopieermachines besteld;
− per keer worden evenveel kopieermachines besteld;
− nieuwe bestellingen worden steeds precies afgeleverd als de voorraad op is;
− de verkoop van kopieermachines verloopt gelijkmatig over het jaar;
− de kosten voor het beheren van de voorraad zijn 60 euro per
kopieermachine per jaar;
− elke bestelling kost 480 euro.
Bij PrintLease wil men weten of de kosten bij twee bestellingen per jaar hoger
zijn dan de kosten bij vier bestellingen per jaar.
104p
Onderzoek met bovenstaande gegevens of dit het geval is.
De kosten per jaar K kunnen we weergeven met de volgende formule:
K = (115200)/(q) + 30q
In deze formule is K in euro’s en is q het aantal kopieermachines dat PrintLease
per keer bestelt.
114p
Leid deze formule af uit de aannames op de vorige bladzijde.
Op een gegeven moment bestelt PrintLease telkens 40 kopieermachines per
keer. Iemand beweert dat PrintLease minstens 10% kan bezuinigen op de
kosten die hier bij horen. PrintLease moet dan wel een andere bestelgrootte
kiezen.
125p
Onderzoek of deze bewering juist is.

opgave 4Voetbalstress

In Nederland sterven jaarlijks duizenden mannen aan een hartaanval. In figuur 2
staat een grafiek van de sterfte ten gevolge van een hartaanval.
figuur 2
Sterfte ten gevolge van een hartaanval bij mannen
100 80 60 40 20 0
1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000
Omdat de omvang van de bevolking voortdurend verandert, geeft men de sterfte
ten gevolge van een hartaanval aan met het sterftecijfer. Dat is het aantal
sterfgevallen ten gevolge van een hartaanval per 100 000 personen. In 1979
was dit sterftecijfer voor mannen 203,0. De grafiek in figuur 2 is geïndexeerd ten
opzichte van het sterftecijfer van 1979.
In 1995 waren in Nederland ongeveer 7,6 miljoen mannen.
135p
Laat met een berekening zien dat er in 1995 per dag gemiddeld ongeveer
23 mannen aan een hartaanval zijn overleden.
Het aantal mensen dat aan een hartaanval overlijdt, is niet elke dag even groot.
In figuur 3 zie je een staafdiagram met de aantallen sterfgevallen bij mannen ten
gevolge van een hartaanval in de periode van 17 tot en met 27 juni 1996.
figuur 3
50
aantal
40
30
20
10
0
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
juni 1996
Het aantal mannen dat in de zomermaanden per dag overlijdt aan een hartaanval is
bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde 27,6 en standaardafwijking 4,1.
In figuur 3 zijn de 90%-grenzen van deze verdeling met stippellijnen aangegeven. Dat
betekent dat naar verwachting 90% van de staafjes een lengte heeft die tussen deze
twee grenzen ligt. Deze twee grenzen liggen symmetrisch ten opzichte van het
gemiddelde. In figuur 3 is te zien dat de grenzen in de buurt van 20 en 35 liggen.
Met behulp van de hierboven genoemde normale benadering kun je deze twee
grenzen nauwkeurig berekenen.
144p
Bereken deze twee grenzen in één decimaal nauwkeurig.
De periode van 17 tot en met 27 juni 1996 is interessant omdat op 22 juni 1996
een voetbalwedstrijd werd gespeeld: Nederland – Frankrijk in de kwartfinale van
het Europees Kampioenschap. Die wedstrijd was tot het einde spannend.
Uiteindelijk moest de beslissing vallen door middel van een serie strafschoppen.
Omdat Nederland de laatste strafschop miste, verloor Nederland. Op die dag
was het aantal sterfgevallen bij mannen ten gevolge van een hartaanval
opvallend hoog. In figuur 3 kun je zien dat het er die dag 41 waren. Dat zijn er
veel meer dan de gemiddeld 27,6 die je op een willekeurige zomerse dag mag
verwachten.
155p
Onderzoek of dit aantal significant hoger is dan je op een willekeurige zomerse
dag mag verwachten. Neem als significantieniveau 1%.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Koffers

Controle
Op luchthavens in de Verenigde Staten controleert de TSA (Transportation
Security Administration) ongeveer 10% van alle koffers van vluchten die
arriveren van buiten de Verenigde Staten. Hierbij worden de koffers geopend.
Koffers die op slot zijn, worden opengebroken. Dat zorgt voor schade aan de
koffer en vaak ook aan de bagage. De reizigers wordt dan ook aangeraden hun
koffers niet op slot te doen maar dicht te maken met een kofferriem. Ondanks
alle waarschuwingen heeft de TSA de ervaring dat 15% van alle koffers toch op
slot is gedaan.
In een bepaalde week zijn er 68 vluchten van Nederland naar de Verenigde
Staten. Op zo’n vlucht worden gemiddeld 450 koffers vervoerd. Stel dat 15% van
alle koffers ondanks alle waarschuwingen toch op slot wordt gedaan.
164p
Bereken in 4 decimalen de kans dat er bij zo’n vlucht meer dan 60 maar minder
dan 80 koffers op slot worden gedaan.
173p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal door de TSA opengebroken
koffers in deze week.
Fabricage
Een leerfabriek maakt 2 typen leren koffers: de ‘traveller’ en de ‘mondial’.
Het maken van de traveller kost 2 manuren en het maken van de mondial 3
manuren. Voor de fabricage van deze koffers kan maximaal 616 manuren per
week ingezet worden.
Voor elk van beide koffers is 1,5 m2 leer nodig. Wekelijks is hiervoor in totaal
387 m2 leer beschikbaar.
Het aantal travellers dat per week geproduceerd wordt, noemen we t. Het aantal
mondials dat per week geproduceerd wordt, noemen we m.
Naast de beperkende voorwaarden t ≥ 0, m ≥ 0 met t en m geheel, zijn er nog
twee beperkende voorwaarden.
184p
Leid uit de gegevens deze twee voorwaarden af.
Op de uitwerkbijlage zijn de grenslijnen bij deze twee beperkende voorwaarden
getekend.
De leerfabriek maakt op de traveller € 44,- winst en op de mondial € 56,-. Voor
de wekelijkse winst W geldt dan: W = 44t + 56m.
195puitwerkbijlage
Onderzoek met behulp van de uitwerkbijlage bij welke aantallen van de twee
typen koffers de wekelijkse winst maximaal is en bereken deze winst.
In de praktijk blijkt dat er twee keer zoveel travellers als mondials worden
verkocht. Bij de leerfabriek is men van plan daar op in te spelen. Dat betekent
dat er elke week twee keer zoveel travellers als mondials geproduceerd zullen
worden. Maar dit heeft gevolgen voor de wekelijkse winst.
204puitwerkbijlage
Onderzoek met behulp van de uitwerkbijlage hoe groot de maximale winst in dat
geval zal zijn.