opgave 1Kentekens
Elk land geeft kentekens uit voor personenauto’s. Op een kenteken staat een code die
bestaat uit een combinatie van cijfers en/of letters. In Nederland gebruikt men al sinds de
jaren vijftig een systeem met drie groepjes van elk twee letters of twee cijfers. Men begon
toen met: 2 letters − 2 cijfers − 2 cijfers (bijvoorbeeld: FK – 17 – 34). In tabel 1 staat een
overzicht van het verdere verloop. Ga ervan uit dat elke periode uit tabel 1 op 1 januari
begint.
periode kentekenserie voorbeeld aantal gebruikte kentekens totaal aantal gebruikte kentekens ....... − 1964 1965 − 1972 1973 − 1977 1978 − 1990 1991 − 1998 1999 − ....? 2 letters − 2 cijfers − 2 cijfers 2 cijfers − 2 cijfers − 2 letters 2 cijfers − 2 letters − 2 cijfers 2 letters − 2 cijfers − 2 letters 2 letters − 2 letters − 2 cijfers 2 cijfers − 2 letters − 2 letters FK − 17 − 34 54 − 23 − GD 78 − PH − 12 ZR − 95 − DD KM − MN − 05 19 − JP − PL 2 000 000 3 000 000 3 000 000 5 000 000 5 000 000 5 000 000 2 000 000 5 000 000 8 000 000 13 000 000 18 000 000 23 000 000
Niet alle 26 letters van het alfabet worden gebruikt voor de kentekens van personenauto’s:
sommige letters worden bijvoorbeeld gebruikt voor vrachtauto’s of motoren. De cijfers
worden wel alle tien (0 tot en met 9) gebruikt. Uiteindelijk zijn er in de periode tot en met
1964 voor personenauto’s ongeveer 2 miljoen kentekens van de vorm
2 letters − 2 cijfers − 2 cijfers gebruikt. Dat is veel minder dan het aantal kentekens dat
gebruikt had kunnen worden als men voor personenauto’s wel alle 26 letters en alle
10 cijfers had kunnen gebruiken.
14p
Bereken hoeveel minder dat is.
Je kunt je afvragen of het totaal aantal gebruikte kentekens in Nederland gedurende de
periode 1965-1998 exponentieel groeide.
24p
Toon aan dat het totaal aantal gebruikte kentekens vanaf 1965 tot en met 1998
nietexponentieel is gegroeid.
Neem aan dat het totaal aantal gebruikte kentekens voor personenauto’s vanaf 1978 wel
exponentieel groeide.
33p
Bereken voor de periode vanaf 1978 de groeifactor per jaar in twee decimalen nauwkeurig.
Als de kentekenserie waarmee in 1999 begonnen wordt uitgeput geraakt is, zal overgestapt
moeten worden op een nieuwe serie kentekens. Neem het volgende aan:
• de nieuwe serie kentekens is van de vorm 2 letters – 2 letters – 2 letters;
• 10% van alle mogelijke kentekens van deze serie zal gebruikt worden voor personenauto’s;
• het totaal aantal gebruikte kentekens voor personenauto’s groeit exponentieel vanaf 1999
met een groeifactor van 1,04 per jaar.
46p
In welk jaar zal ook de serie 2 letters – 2 letters – 2 letters voor personenauto’s uitgeput
raken? Licht je antwoord toe.
opgave 4Master Mind
Master Mind is een denkspel voor 2 spelers: een speler (codemaker) maakt een geheime
kleurencode. De andere speler (codebreker) probeert door raden en combineren achter die
kleurencode te komen in zo weinig mogelijk beurten. Het spel kan in verschillende
varianten worden gespeeld. Deze opgave gaat over één van die varianten.
De kleurencode bestaat uit 4 posities. De codemaker kiest voor elk van die vier posities een
kleur. De codemaker moet daarbij kiezen uit de 7 kleuren rood, geel, groen, blauw, oranje,
zwart en wit. Elke kleur mag maximaal één keer in de geheime code voorkomen. Voor de
kleuren zullen we achtereenvolgens de volgende afkortingen gebruiken: ro, ge, gr, bl, or,
zw en wi. Een voorbeeld van een code is [ro, bl, or, ge]. Bij deze code is de eerste positie
rood, de tweede blauw, de derde oranje en de vierde geel.
Bij elke beurt doet de codebreker een poging om de geheime code te raden; de codemaker
geeft bij elke beurt het resultaat, dat wil zeggen:
hoeveel kleuren staan op de juiste positie en
hoeveel kleuren komen wel in de code voor, maar staan niet op de juiste positie.
Een voorbeeld:
De geheime code is [ro, or, zw, bl]. De codebreker raadt [bl, or, zw, wi]. De codemaker
geeft dan als resultaat: 2 kleuren staan op de juiste positie, 1 kleur komt wel in de code
voor maar staat niet op de juiste positie. We geven dit resultaat verkort weer met [2, 1]. In
de volgende beurt raadt de codebreker [or, zw, zw, wi]. Het resultaat is nu: [1, 1].
Merk op dat het bij het raden is toegestaan om een kleur meer dan één keer te gebruiken.
142p
Waarom is het niet mogelijk om [3, 1] als resultaat te krijgen?
Het is mogelijk dat de codebreker de eerste beurten gebruikt om te bepalen uit welke vier
kleuren de geheime code bestaat. Door steeds per beurt maar één kleur te nemen, kan
eenvoudig worden nagegaan of deze kleur wel of niet in de code is opgenomen. Zo kan in
de eerste beurt bijvoorbeeld [ro, ro, ro, ro] worden geraden, in de tweede beurt [or, or, or,
or], vervolgens [ge, ge, ge, ge], enzovoort.
Petra heeft op deze manier de eerste beurten gebruikt om te bepalen uit welke vier kleuren
de geheime code bestaat. Ze gebruikt in haar volgende beurt alleen deze vier kleuren.
153p
Bereken de kans dat het resultaat van haar volgende beurt [4, 0] is.
In de rest van de opgave gaan we ervan uit dat Petra altijd op de hiervoor beschreven
manier het spel begint om de vier kleuren van de geheime code te bepalen. Zij heeft
minimaal drie en maximaal zes beurten nodig om te bepalen uit welke vier kleuren de
geheime code bestaat.
Het is mogelijk dat zij precies vier beurten nodig heeft om te bepalen uit welke vier kleuren
de geheime code bestaat terwijl het resultaat van de vierde beurt [0, 0] is.
163p
Leg uit hoe dat kan.
Je kunt de kansverdeling berekenen van het aantal beurten dat nodig is voor het bepalen van
de vier kleuren van de geheime code. Deze kansverdeling staat gedeeltelijk in tabel 3.
177p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal beurten dat nodig is voor het bepalen van de
vier kleuren van de geheime code.
opgave 5Tanken
De onderstaande tekst is afkomstig uit een artikel uit een landelijk dagblad van
augustus 1997.
…………De enige reden waarom de benzine in Nederland niet veel duurder mag zijn dan in België of in
Duitsland is het benzinetoerisme. Hoe groter het prijsverschil, hoe meer kilometers mensen afleggen om
goedkoop te tanken aan gene zijde. Stel de prijs in Nederland is 5 gulden per liter en die in Duitsland is
2 gulden per liter. Dan levert een volle tank van 50 liter een voordeel op van 150 gulden. Bij een verbruik van
1 op 10 betaalt een benzinetoerist 20 cent per kilometer aan benzine (de Duitse prijs) en kan hij voor het
uitgespaarde bedrag 750 kilometer rijden, dat is 375 km heen en weer. Bij een dergelijk prijsverschil zou zelfs
iemand uit Den Helder nog in Duitsland kunnen gaan tanken, ware het niet dat hij met een halfvolle tank zou
moeten vertrekken om de grens te halen en met een half lege thuis zou komen…………..
Om meer inzicht te krijgen in de voor- en nadelen van ‘tanken in het buitenland’ bekijken
we in de vragen 18 en 19 een vereenvoudigd voorbeeld:
Jan gebruikt zijn auto voor het doen van boodschappen en voor het afleggen van
familiebezoekjes in de directe omgeving. Jan woont op 200 km afstand van het
dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation. Hij maakt een aparte rit als hij in het buitenland
gaat tanken. Als hij in Nederland tankt, hoeft hij daar niet extra voor te rijden. Hij rijdt 1
op 10, dat wil zeggen dat zijn auto met 1 liter benzine 10 km rijdt. Als hij tankt, tankt hij
altijd precies 50 liter.
Ga uit van de in het artikel genoemde benzineprijzen.
Jan redeneert op de manier van het artikel: “mijn voordeel is 3 gulden per liter; zelfs als ik
daar de kosten van het heen en weer rijden van aftrek, heb ik nog voordeel”.
184p
Laat met een berekening zien dat het voordeel van Jan per keer dat hij in het buitenland
gaat tanken volgens deze redenering 70 gulden bedraagt.
Jan merkt al snel dat er iets mis is met zijn redenering. Hij is meer geld kwijt dan toen hij in
Nederland tankte. Om een eerlijke vergelijking te maken tussen tanken in Nederland en
tanken in het buitenland moet hij voor beide situaties de kosten berekenen per
gebruikskilometer. Een gebruikskilometer is elke afgelegde kilometer die niet gereden
wordt om te tanken. In Jans geval is er dus sprake van het afleggen van gebruikskilometers
bij bijvoorbeeld familiebezoekjes of boodschappen doen.
195p
Hoe groot is het voordeel per gebruikskilometer bij tanken in Nederland vergeleken met
tanken in het buitenland voor Jan? Licht je antwoord toe met een berekening.
We bekijken nu een wat algemenere situatie: de benzineprijs in Nederland noemen we N (in
gulden per liter), de benzineprijs in het buitenland noemen we B (in gulden per liter) en de
afstand tot het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation noemen we x (in km). Voor het
voordeel bij tanken in het buitenland V (in gulden) per gebruikskilometer geldt dan:
V = 0,08
⋅ N 
Hierbij gaan we ervan uit dat:
• auto’s 1 op 12,5 rijden: elke auto rijdt 12,5 km op 1 liter benzine;
• een eigenaar van een auto bij een tankbeurt altijd 50 liter tankt;
• een eigenaar van een auto altijd een aparte rit maakt om in het buitenland te tanken.
205p
Toon aan dat deze formule juist is.
Men wil de benzineprijs in Nederland zodanig vaststellen dat er geen voordeel bij tanken in
het buitenland is voor mensen die 15 kilometer of verder van het dichtstbijzijnde
buitenlandse tankstation wonen. De benzineprijs in Nederland is dan een vast percentage
hoger dan de benzineprijs in het buitenland ongeacht de benzineprijs in het buitenland.
214p
Toon dat aan.
