opgave 2De Nederlandse bevolking
In figuur 2 is de groei van de Nederlandse bevolking tussen 1900 en 1974 weergegeven.
Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Zo kun je aflezen dat
Nederland in 1900 ruim 5 miljoen inwoners telde. Ook zie je in de figuur een ‘inzetje’
waarin informatie staat over het stijgingspercentage van grafieken bij een logaritmische
schaalverdeling.
figuur 2
De bevolking groeide in de beschreven periode bij benadering exponentieel.
Tussen 1 januari 1900 en 1 januari 1974 is de Nederlandse bevolking van 5 miljoen naar
13,4 miljoen mensen gegroeid. Hieruit kunnen we de volgende formule afleiden:
N = 5 ⋅1,142t
In deze formule is N het aantal inwoners van Nederland in miljoenen en t de tijd in
tientallen jaren met t = 0 op 1 januari 1900.
54p
Toon aan dat deze formule klopt door de formule af te leiden uit de aantallen van 1900 en
1974.
De grafiek van N vertoont een knikje bij het jaar 1945. Volgens een demograaf die deze
grafiek in een artikel gebruikt, betekent deze knik dat er in 1945 ruim 80 000 inwoners
minder waren dan er volgens bovenstaande formule voor N zouden zijn.
63p
Leg uit hoe de demograaf dit getal gevonden kan hebben. Maak daarbij gebruik van de
grafiek in figuur 2 en de formule voor N.
Neem voor de volgende vraag eens aan dat het aantal inwoners van Nederland zich ook na
1974 zou hebben ontwikkeld volgens de formule voor N.
74p
Bereken in welk jaar het aantal van 18 miljoen mensen dan zou worden bereikt.
Met behulp van het inzetje in figuur 2 kun je groeipercentages aflezen.
Voor de Nederlandse bevolking kun je aflezen dat het groeipercentage tussen 5% en 10%
lag. Aan het inzetje is echter niet te zien wat men precies bedoelt. Het zou hier kunnen gaan
om
A) een groeipercentage per jaar;
B) een groeipercentage per 5 jaar;
C) een groeipercentage per 10 jaar of
D) een groeipercentage per 15 jaar.
84p
Geef met behulp van een berekening aan welke mogelijkheid van de hierboven genoemde
mogelijkheden A, B, C of D bedoeld wordt.
opgave 3Reislust
Reislust is een reisorganisatie die klassieke reizen organiseert. Bij een grote deelname geeft
Reislust doorgaans aantrekkelijke kortingen.
Een klassiek reisdoelIn 2002 organiseerde Reislust een reis naar Griekenland. Reislust deed geïnteresseerden een
aanbod waarbij men uitging van een basisprijs van 2000 euro per persoon. Deze basisprijs
werd verlaagd met 10 euro per deelnemer. Als er bijvoorbeeld 12 personen mee zouden
gaan, dan zou men per persoon 2000 – 12 × 10 = 1880 euro betalen.
Na enige tijd bleek dat zich 25 personen hadden opgegeven. Op het laatste moment meldde
zich echter nog één persoon meer aan.
93p
Bereken hoeveel Reislust door deze extra aanmelding
in totaal meer ontving dan bij een
deelname van 25 personen.
Het aantal personen dat meedoet aan de reis noemen we n.
103p
Stel een formule op waarbij je de totale opbrengst van Reislust uitdrukt in
n.
Omdat de belangstelling in 2002 toch wat tegenviel, overweegt Reislust voor 2003 een
ander aanbod. Dit aanbod betreft een reis voor maximaal 53 personen, eveneens naar
Griekenland. Ook nu neemt men het basisbedrag van 2000 euro per persoon als
uitgangspunt. Vervolgens zorgt elke deelnemer voor een vermindering van het basisbedrag:
de eerste deelnemer levert een vermindering van 1 euro op, de tweede deelnemer een
vermindering van 2 euro, de derde deelnemer een vermindering van 3 euro, enzovoort. Elke
vermindering geldt telkens voor alle deelnemers. Bij een deelname van bijvoorbeeld 5
personen moet elke deelnemer 2000 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1985 euro betalen.
Dit aanbod is voor deelnemers pas aantrekkelijk bij grote deelname. Het is zelfs zo dat de
prijs per persoon kan zakken tot minder dan 1000 euro.
114p
Onderzoek hoeveel deelnemers zich ten minste moeten opgeven om ervoor te zorgen dat de
te betalen prijs op minder dan 1000 euro per persoon uit zal komen.
Wanneer de reis van 2003 is volgeboekt en er dus 53 deelnemers zijn, wordt de prijs per
persoon 569 euro. Dat zou Reislust dan in totaal 53 × 569 = 30 157 euro opleveren. Je kunt
eenvoudig nagaan dat dit bedrag niet het maximale totale bedrag voor Reislust is, door uit
te rekenen dat Reislust bij een deelname van 52 personen een grotere opbrengst heeft.
123p
Bereken hoeveel Reislust in totaal
meer ontvangt bij 52 deelnemers.
Reislust berekent dat de totale opbrengst bij het aanbod voor 2003 maximaal is bij
36 deelnemers. De leiding van de reisorganisatie vindt dit aantal te weinig en besluit
daarom het aanbod te wijzigen. Uiteindelijk ziet dit er als volgt uit.
Het basisbedrag wordt verlaagd tot 1950 euro. Ook nu zorgt elke deelnemer voor een
vermindering van dit basisbedrag: de ne deelnemer levert niet een vermindering van n euro
totaal ontvangt bij een deelname van n personen:
opgave 4Strike it rich
Bij het Engelse televisiespelletje Strike it rich speelt een deelnemer in de finale tien rondes.
Bij elke ronde krijgt de deelnemer drie beeldschermen voor zich, waar nog niets op te zien
is. De deelnemer moet willekeurig één van deze beeldschermen kiezen. Nadat hij een
scherm heeft aangewezen, worden alle schermen zichtbaar. Op één van de drie
beeldschermen komt Ga door te staan, op een ander beeldscherm Hot Spot, en op het derde
beeldscherm Vraag. Voor alle duidelijkheid: deze woorden worden op aselecte wijze op de
beeldschermen geplaatst voordat de deelnemer kiest maar worden pas na zijn keuze
zichtbaar voor hem.
Het is mogelijk dat een deelnemer in de tien rondes precies één keer een beeldscherm met
Vraag erop aanwijst.
143p
Bereken de kans dat dit het geval is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
De deelnemer kan bij elke ronde een strafpunt krijgen. Daarvoor gelden de volgende regels.
Wanneer op het aangewezen scherm Ga door verschijnt, gaat de deelnemer zonder strafpunt
door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Hot Spot verschijnt, krijgt de deelnemer een strafpunt
en gaat door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Vraag verschijnt, krijgt de deelnemer een vraag gesteld
die hij met ja of met nee moet beantwoorden. Wanneer het antwoord fout is, krijgt hij een
strafpunt en gaat door naar de volgende ronde. Wanneer het antwoord goed is, gaat hij
zonder strafpunt door naar de volgende ronde.
Uit het bovenstaande volgt dat voor een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt bij
iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk is aan
.
Maar voor een deelnemer die de vragen puur op de gok beantwoordt, dus met 50% kans op
het juiste antwoord, is bij iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk aan
.
153p
Toon de juistheid van deze laatste kans met een berekening aan.
163p
Bereken voor deze gokkende deelnemer ook de kans dat hij in de tien rondes hoogstens
twee strafpunten krijgt. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Vóór het begin van het spel moet de deelnemer kiezen of hij voor maximaal 2, maximaal 3
of maximaal 4 strafpunten speelt. Alle strafpunten die de deelnemer gedurende de tien
rondes oploopt, worden opgeteld. Als hij na tien rondes niet meer dan het gekozen aantal
strafpunten heeft, krijgt hij een prijs, zoals vermeld in de volgende tabel 2. (£ betekent
Britse pond.)
Als een deelnemer bijvoorbeeld voor maximaal 3 strafpunten heeft gekozen en hij heeft na
de tien rondes 3 of minder strafpunten, dan krijgt hij de geldprijs van £ 7000. Heeft hij 4 of
meer strafpunten, dan krijgt hij in dat geval niets.
Voor een deelnemer die alle vragen puur op de gok beantwoordt, is de verwachtingswaarde
van de geldprijs zo hoog mogelijk wanneer hij voor maximaal 4 strafpunten speelt.
We vragen ons nu af hoe dat zit met een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt.
176p
Onderzoek voor welk maximum aantal strafpunten deze deelnemer moet spelen om te
zorgen dat de verwachtingswaarde van de geldprijs zo hoog mogelijk is.
opgave 5Sportprestaties
In de atletiek kent men verschillende onderdelen. De ene atleet is goed in hardlopen, de
andere atleet in hoogspringen of speerwerpen. Iemand die de 100 meter binnen de
11 seconden loopt is een goede sprinter, terwijl iemand die met een polsstok hoger springt
dan 5 meter een goede polsstokhoogspringer is. Men kan zich afvragen wie van de twee de
betere atleet is. Om prestaties bij verschillende atletiekonderdelen te kunnen vergelijken,
hanteert de Koninklijke Nederlandse Atletiek Unie (KNAU) een puntensysteem. Met dit
systeem worden sportprestaties omgerekend tot een aantal punten met behulp van
verschillende formules. Vanzelfsprekend hoort bij een betere prestatie een groter aantal
punten. Zie tabel 3.
KNAU-puntensysteem
soort sport formule onderdeel mannen vrouwen a b a b 100 meter 29550 1881,5 30672 1682,5 200 meter 52611,4 1547,1 54720 1342 loop- a 400 meter 111960 1433,5 111720 1084,5 P= −b nummers t 800 meter 248544 1323,2 247200 975,5 1500 meter 489971,4 1224,7 557448 1181,5 3000 meter 1077300 1234,9 1197450 1176 hoogspringen 2440 2593,5 2635,6 2501,5 spring- P=a r−b verspringen 1094,4 2075,3 1076,3 1729,4 nummers hinkstapsprong 762,9 2074,5 750,3 1730,6 polsstokhoogspringen 1040 1272,5 1225,8 1500,2 kogelstoten 462,5 1001,8 429,5 768,3 werp- P=a r−b discuswerpen 249,8 893,5 224,8 686,5 nummers speerwerpen 190,2 711,3 197,5 482,5
In tabel 3 lezen we af dat voor hardlopen het behaalde aantal punten P wordt berekend met
de formule
P 
b. Hierbij is
t de tijd in seconden die de atleet nodig heeft om de
afstand te lopen. De getallen a en b worden afgelezen in de betreffende kolommen voor
mannen of vrouwen. Bijvoorbeeld bij 100 meter hardlopen voor mannen lezen we af dat
a = 29 550 en voor vrouwen dat a = 30 672.
Een man en een vrouw lopen allebei de 3000 meter in 8 minuten en 25 seconden.
184p
Bereken hoeveel punten de vrouw meer heeft behaald dan de man.
Als een man de 100 meter in 10,70 seconden loopt, dan heeft hij daarmee 880,2 punten
behaald.
193p
Bereken hoeveel seconden, in 2 decimalen nauwkeurig, een man over de 400 meter moet
doen om ook 880,2 punten te behalen.
Voor de spring- en werpnummers wordt de formule
P = a
b gebruikt. Hierin is
r de
gesprongen hoogte of afstand in meters of de geworpen afstand in meters. De getallen a en
b staan in tabel 3 weer in de kolommen ernaast. Deze formule is alleen maar zinvol als er
een niet te kleine afstand wordt gehaald. Bij zeer kleine afstanden kan het behaalde aantal
punten zelfs negatief zijn.
204p
Bereken hoeveel meter een vrouw de discus moet werpen om geen negatief aantal punten te
halen. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De International Association of Athletics Federations (IAAF) kent ook een puntensysteem.
Voor het berekenen van de punten gebruikt de IAAF andere formules dan de KNAU. Zo
gebruikt de IAAF bij het speerwerpen voor mannen de formule P = 10,14 ⋅ (r − 7)1,08.
Wanneer we de formule van speerwerpen voor mannen van de KNAU met die van de IAAF
vergelijken, dan blijkt dat voor sommige geworpen afstanden r de formule van de KNAU
meer punten oplevert dan de formule van de IAAF.
215p
Onderzoek voor welke waarden van
r dat het geval is.
Bij het verspringen voor mannen gebruikt de IAAF de formule
P = 0,14354 ⋅ (100 ⋅ (r − 2,2))1,4. Deze formule kan ook in de ‘IAAF-werpnummer’-vorm
geschreven worden. In dat geval ziet de IAAF-verspringformule voor mannen eruit als
P = a(r − 2,2)1,4 voor een bepaalde waarde van a.
223p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot de waarde van
a in dat geval moet zijn.
