bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2

bij dit examen

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 1Wortelgrafiek en parabool

De functies f en g worden gegeven door f(x) = √(2x + 6) en
g(x) = x2 + 6x + 9.
De grafiek van f heeft een randpunt en de grafiek van g heeft een top.
14p

Eigenschappen van functies en grafieken 3p · Kwadratische functies en parabolen 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of deze top hetzelfde punt is als dat randpunt.
De lijn k met vergelijking y = 4 snijdt de grafiek van g in de punten A en B,
waarbij B rechts ligt van A. De lijn k snijdt de grafiek van f in het punt C.
Zie de figuur.
figuur
figuur
25p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de afstand BC.
De lijn l raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 15.
De lijn m met vergelijking 6x + y = −27 raakt de grafiek van g.
35p

Kettingregel 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Raaklijnen aan grafieken 1pexact

Bewijs dat l en m loodrecht op elkaar staan.

opgave 2Zonsopkomst en zonsondergang

Voor elke dag van het jaar is te bepalen hoe laat de zon opkomt en hoe
laat de zon ondergaat.
Op elke dag van het jaar 2015 is volgens de lokale zomertijd bepaald hoe
laat de zon in de Australische stad Sidney opkomt1). De 365 meetpunten
zijn in een assenstelsel getekend. Ze liggen bij benadering op een
sinusoïde. In figuur 1 is deze sinusoïde getekend; een deel daarvan is
gestippeld.
Onder het gestippelde deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen
van zonsopkomst volgens de wintertijd. De zonsopkomst volgens de
wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd.
figuur 1 Zonsopkomst in Sydney
figuur bij de opgave
Het laagste punt van de grafiek van de zomertijd is (341; 5,62).
Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het
vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min).
Het hoogste punt van het gestippelde deel van de grafiek van de
zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00.
noot 1 In Sidney is het zomer als het in Nederland winter is. De periode waarin de zomertijd
wordt gebruikt, is daarom in Sidney anders dan in Nederland.
De grafiek van de wintertijd is te benaderen met een formule van de
vorm:
S(t) = p + qsin((2π)/(365)(t − r)), met 95 ≤ t ≤ 277
Hierin is S het tijdstip van zonsopkomst en t het dagnummer met t = 1 op
1 januari.
Door gebruik te maken van de grafiek van de zomertijd kunnen mogelijke
waarden voor p, q en r worden berekend.
44p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4pGR mag

Bereken mogelijke waarden voor p, q en r van S(t). Geef je
eindantwoorden in twee decimalen.
Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney
volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald.
Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald.
De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in figuur 2 weergegeven.
figuur 2 Zonsopkomst en zonsondergang in Nederland
figuur bij de opgave
Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule:
P(t) = 7,57 + 2,27sin((2π)/(365)(t − 270,9)), met 1 ≤ t ≤ 365
en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule:
N(t) = 19,78 + 2,33sin((2π)/(365)(t − 74,07)), met 1 ≤ t ≤ 365
Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van
zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t = 1 op 1 januari. Voor
t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld.
Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden
bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is.
54p

Extremen en optimaliseren 3p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1pGR mag

Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste
dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten.

opgave 4Borstcrawl

Bij het zwemmen van de borstcrawl is er een
foto
verband tussen de handkracht waarmee de handen
van de zwemmer tegen het water duwen en de
zwemsnelheid. Zie foto en figuur 1.
Het verband tussen de handkracht F en de
zwemsnelheid v kan worden benaderd door de
foto
formule:
F = 500 ⋅ A ⋅ C ⋅ v2
Hierin geldt:
− F is de handkracht in newton (N);
− v is de zwemsnelheid in meters per seconde
(m/s);
− A is de oppervlakte van het vooraanzicht van de
zwemmer in m2 gedurende een zwemslag;
A wordt frontaal oppervlak genoemd;
− C is een positieve constante die afhankelijk is
van de zwemtechniek van de zwemmer.
Tijdens een zwemwedstrijd over 100 m zwemt Ian
een persoonlijk record. Tijdens elke zwemslag is zijn
handkracht 105 N en zijn frontaal oppervlak is 0,2 m2.
Zijn waarde van C is 0,35.
Samy wil bij een toekomstige zwemwedstrijd over
100 m 0,5 seconden sneller zwemmen dan de
snelste tijd van Ian. Om dit te bereiken, gaat hij extra
figuur 1
op handkracht trainen. Het frontaal oppervlak van Samy is 0,21 m2. Zijn
waarde van C is 0,33. In dit model nemen we aan dat Samy’s waarden
voor A en C gelijk blijven. Verder nemen we aan dat beide zwemmers met
constante snelheid zwemmen.
76p

Rekenen met een gegeven formule 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de handkracht die Samy nodig heeft om 0,5 seconden sneller te
zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Geef je eindantwoord als geheel
getal.
Van twee zwemmers is 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende
snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de
andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor
beide zwemmers 0,2 m2.
In figuur 2 zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel,
waarbij v2 is uitgezet tegen F. Voor beide zwemmers is een lijn getekend
die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante
waarde van C, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer. Figuur 2
staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
figuur 2
83puitwerkbijlage

Rekenen met een gegeven formule 2p · Evenredigheden en machtsverbanden 1pGR mag

Bereken met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage de waarde van C
van de zwemmer met de betere techniek. Geef hierbij aan welke lijn je
hebt gebruikt en licht deze keuze toe. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.

opgave 5Twee logaritmische functies

Voor x > 0 wordt de functie f gegeven door f(x) = log(x).
Voor x > −10 wordt de functie g gegeven door g(x) = 2 − log(x + 10).
De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt A. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
96p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Ongelijkheden oplossen 1pexact

Bereken exact de oplossing van de ongelijkheid f(x) < g(x).
De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door een serie
transformaties. Hiervoor zijn verschillende mogelijkheden.
104p

Transformaties van grafieken 4pGR mag

Geef één zo’n serie transformaties en geef daarbij aan in welke volgorde
ze worden toegepast.
De grafiek van g snijdt de y-as in het punt B en snijdt de x-as in het punt
C. De lijn l gaat door B en C. Lijn l snijdt de grafiek van f in het punt D.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
116p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · +1GR mag

Bereken de coördinaten van D. Geef de coördinaten in je eindantwoord in
twee decimalen.
Op de grafiek van f wordt een willekeurig punt S gekozen. Punt T, met
een x-coördinaat die 7 keer zo groot is als de x-coördinaat van S, ligt ook
op de grafiek van f. In figuur 3 is de grafiek van f weergegeven met een
mogelijke positie van S en van T.
figuur 3
figuur 3
In S en T kan met behulp van de grafische rekenmachine de helling
worden bepaald.
Voor elke keuze van is de uitkomst van de breuk hetzelfde.
123p

Helling en snelheid met de afgeleide 3pGR mag

Bereken deze uitkomst. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 6Rondom exponentiële grafieken

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2x.
De functie g wordt gegeven door ^g^(^x^)^ = (√(2))^x^2^ −^x.
De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A(0,1) en B(3,8).
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g en de punten A en B weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De punten A en B zijn de enige snijpunten van de grafieken van f en g.
133p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.
In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f en g met hun snijpunten A en B
weergegeven. Ook zijn twee cirkels c1 en c2 weergegeven.
Het lijnstuk AB is een middellijn van c1. Cirkel c2 heeft hetzelfde
middelpunt als c1. De oppervlakte van c2 is drie keer zo groot als de
oppervlakte van c1.
figuur 2
figuur 2
145p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Evenredigheden en machtsverbanden 2p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c2.

opgave 7Vuurtorens

In figuur 1 is een rechte kustlijn weergegeven die van west naar oost
loopt. Op deze kustlijn staat in punt O een vuurtoren. In punt S bevindt
zich een schip op 9 km van de kustlijn. Het schip vaart evenwijdig aan de
kustlijn. De horizontale afstand tussen O en S is 20 km. Het licht van de
vuurtoren is zichtbaar binnen een straal van 11 km rondom de vuurtoren.
Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
figuur 1
In positie S is het licht van de vuurtoren nog niet zichtbaar voor de
kapitein van het schip.
155p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 5pGR mag

Bereken na hoeveel kilometer varen het licht van de vuurtoren zichtbaar
wordt. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
In een andere situatie staan twee vuurtorens A en B met een onderlinge
afstand van 14 km op een rechte kustlijn. De kustlijn loopt van west naar
oost.
De afstand van een schip tot de kustlijn wordt tegenwoordig met moderne
navigatieapparatuur bepaald. Er is ook een methode zonder deze
apparatuur, die in het verleden werd gehanteerd. Hierbij wordt het licht
van de twee vuurtorens gebruikt. Vanaf het schip worden de hoeken
gemeten waaronder het licht van de vuurtorens ten opzichte van de
noordrichting N wordt gezien.
Vanaf een schip op positie T is deze hoek voor vuurtoren A 52° en voor
vuurtoren B 65°. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
figuur 2
Op basis van de twee gemeten hoeken en de onderlinge afstand van de
vuurtorens, kan de afstand van het schip tot de kustlijn worden berekend.
164p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Sinusregel en cosinusregel 2pGR mag

Bereken deze afstand in km. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.