bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3

opgave 1Zuigflesje

Zuigflesjes voor baby’s hebben soms bijzondere vormen. Op de foto is
goed de gebogen vorm van zo’n zuigflesje te zien.
foto
foto
In deze opgave bekijken we een model van het vooraanzicht van het
doorzichtige deel van het zuigflesje op de foto. In dit model zijn alle maten
in cm.
In het model is de bovenrand van het zuigflesje de grafiek van een
functie f, en de onderrand van het zuigflesje de grafiek van een functie g.
^D^e^f^uf^n(^cx^t)^i^e =^s −^f0,^e0^n1x^g^3^w +^o0^r,^d2^e0^nx^2^v^o −^o1,^r0^06x^ ≤ +^x6^ ≤ ,^14^14^g^e^g^e^v^e^n^d^o^o^r^:
g(x) = − 0,01x^3 + 0,16x^2 − 0,50x + 0,44
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur 1
figuur 1
De verticale afstand d(x) = f(x) − g(x) is niet voor elke waarde van x
gelijk.
14p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de verticale afstand d het
kleinst is.
Op de foto is midden op het zuigflesje een gebogen lijn te zien. Hierop
zijn maatstreepjes aangebracht. In het model is deze lijn de grafiek van
een functie h.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
Voor elke x is h(x) het gemiddelde van f(x) en g(x).
23p

Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 2p · Formules herleiden en omwerken 1pGR mag

Geef een functievoorschrift van h. Schrijf dit functievoorschrift zo
eenvoudig mogelijk.

opgave 2Hyperbool met cirkels

De functie f is gegeven door f(x) = (− 6)/(2x − 3) + 2.
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A(3,0) en lijn m is de
raaklijn aan de grafiek van f in het punt B(0,4). Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt (4)/(3).
34p

Kettingregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 2pexact

Toon dit met behulp van differentiëren aan.
Cirkel c1 raakt l in A. Bovendien raakt c1 aan m.
Punt M1 is het middelpunt van c1. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
De coördinaten van M1 zijn ((27)/(25),(36)/(25)).
46p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 5p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bewijs dit.
M1 ligt op de lijn k met vergelijking y = (4)/(3)x.
Cirkel c2 is gegeven door de vergelijking x2 + y2 − 3x − 4y = 0.
53p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1pexact

Bewijs dat het middelpunt van c2 ook op k ligt.

opgave 3Het rendement van warmtemotoren

In een warmtemotor, bijvoorbeeld de motor van een auto, wordt de totale
hoeveelheid energie die in brandstof aanwezig is nooit helemaal omgezet
in bewegingsenergie. Het rendement van een warmtemotor is het
percentage van de totale hoeveelheid energie dat wel wordt omgezet in
bewegingsenergie.
Door technische vooruitgang neemt het rendement van warmtemotoren
toe. Men gaat ervan uit dat deze ontwikkeling zich de komende jaren blijft
voortzetten.
Om deze groei van het rendement in de tijd te onderzoeken, gebruikten
de Amerikaan Ausubel en de Italiaan Marchetti de formule
K = log (R)/(100 − R) (1)
Hierin is R het rendement in procenten.
63p

Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pGR mag

Leg met behulp van formule (1) uit dat een toename van R zorgt voor een
toename van K.
In de figuur hieronder, afkomstig uit een artikel van Ausubel en Marchetti,
is voor verschillende warmtemotoren (vaak aangeduid met de naam van
de uitvinder) K uitgezet tegen het jaartal waarin deze uitgevonden zijn.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
figuur
In de figuur is te zien dat de warmtemotor die Charles Parsons aan het
begin van de twintigste eeuw ontwikkelde een – voor die tijd – zeer hoog
rendement had.
74puitwerkbijlage

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het rendement van
deze warmtemotor in procenten. Geef je eindantwoord als geheel getal.
In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het
rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule
K = 0,00667t − 2
(2)
Hierin is t het aantal jaren na 1700.
Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar
is.
84p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken in welk jaar dit rendement voor het eerst behaald zal worden.
Met behulp van formules (1) en (2) kan R uitgedrukt worden in t.

opgave 5Wortelfunctie

De functie f is gegeven door f (x) = √(x). Het punt A(1,1) ligt op de
grafiek van f.
Lijn k is de horizontale lijn door A. Deze lijn snijdt de y-as in het punt S.
We bekijken nu een functie g met de volgende kenmerken:
− de grafiek van g gaat door het midden M van lijnstuk AS;
− de grafiek van g kan uit de grafiek van f ontstaan door middel van een
vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as;
− de grafiek van g kan ook uit de grafiek van f ontstaan door middel van
een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as.
Lijn l is de verticale lijn door A. Deze lijn snijdt de grafiek van g in
het punt N. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
124p

Afstanden met coördinaten 1p · Transformaties van grafieken 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · +1exact

Bereken exact de y-coördinaat van N.
Punt ^B(^b^,√(b)) met b > 0 ligt op de grafiek van f, zodanig dat OA = AB.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
134p

Afstanden met coördinaten 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken b. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 6Brug

Op de foto is een boogbrug te zien. De vorm van de onderrand van de
boog van de brug wordt benaderd met behulp van een wiskundig model.
foto
foto
In de figuur hieronder is de onderrand van de boog schematisch
weergegeven.
figuur
figuur
In deze figuur is x de lengte in meters van het wegdek gemeten vanaf het
meest linkse punt van de brug en y de hoogte in meters van de onderrand
van de boog ten opzichte van het wegdek. We nemen aan dat de
onderrand van de boog begint en eindigt op het wegdek.
De onderrand van de boog begint bij x = 1,4 in punt P en eindigt bij
x = 12,0 in punt Q. Het hoogste punt is T bij x = 4,1 en y = 2,4.
De boog kan benaderd worden met een formule van de vorm
y = a x + b + (c)/(x).
147p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 4p · Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch de waarden van a, b en c. Geef je eindantwoord zo
nodig in twee decimalen.

opgave 7Ingeschreven cirkel

De ingeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die raakt aan
alle zijden van de driehoek. Het punt M is het middelpunt van deze cirkel
en r is de straal van deze cirkel. Zie figuur 1.
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
Elke driehoek ABC kan met behulp van punt M in drie aparte driehoeken
AMB, BMC en AMC worden verdeeld. Zie figuur 2.
Wanneer we de zijden AB, BC en AC als basis kiezen voor respectievelijk
de driehoeken AMB, BMC en AMC, dan is r de bijbehorende hoogte van
elk van deze driehoeken. Voor elke driehoek ABC kan de oppervlakte G
daarom worden uitgedrukt in de omtrek P van de driehoek en de straal r
van de ingeschreven cirkel van de driehoek.
Er geldt: G = (1)/(2) ⋅ P ⋅ r
153p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dit.
We bekijken nu een driehoek ABC met zijden AB = 14, BC = 13 en
AC = 15.
166p

Sinusregel en cosinusregel 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · +1GR mag

Bereken de straal van de ingeschreven cirkel van deze driehoek. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.