opgave 1Voornamen
Mensen die een kind krijgen, moeten dit melden bij de Sociale Verzekeringsbank (SVB) om kinderbijslag te ontvangen. De SVB beschikt hierdoor over de voornamen van vrijwel alle kinderen die in een bepaald jaar zijn geboren. In Nederland zijn in 1996 en 1997 in totaal ongeveer 200 000 jongens geboren. Sommige namen worden heel vaak gegeven terwijl andere namen zelden voorkomen. In alle aanmeldingen bij de SVB over de jaren 1996 en 1997 kwamen 15 788 verschillende voornamen van jongens voor. Het gaat dan alleen om de eerste naam van de jongens en niet om eventuele extra namen. In de tabel is een overzicht gegeven van het aantal jongens per voornaam ( a ) en het bijbehorende aantal voornamen ( n ) in deze periode. tabel Voornamen , s … , k de , s no m u i M i h ss c r a A C … … … … … … … … … … s/a m oh T Aantal jongens per voornaam ( a ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 2346 Aantal voornamen ( n ) 9726 2067 855 487 323 226 188 165 125 91 … 1 Thomas is de voornaam die in de jaren 1996 en 1997 het meest voorkwam. Uit de tabel blijkt dat deze naam in totaal aan 2346 jongens werd gegeven. Er zijn ook namen die in deze periode aan slechts één jongen zijn gegeven, bijvoorbeeld Monk, Archimedes en Cassius. In de tabel zie je dat er in deze twee jaren in totaal 9726 namen waren die elk één keer aan een jongen zijn gegeven. Van alle jongens geboren in 1996 en 1997 zijn er 19 988 die minder dan vijf naamgenoten hebben die ook in deze periode geboren zijn.
Exponentiële functies en groei 2pGR mag
In de figuur is log n figuur uitgezet tegen log a voor a = 1 tot en met a = 10 . Deze punten liggen bij benadering op de rechte lijn door de punten met a = 1 en a = 10 . Voor de punten op de rechte lijn geldt een lineair verband tussen log a en log n . Dus log n = p ⋅ log a + q . Voor de formule die hoort bij deze lijn geldt p ↔ − 2 en q ↔ 4 . Met behulp van de waarden uit de tabel die horen bij a = 1 en a = 10 kunnen p en q op algebraïsche wijze berekend worden.
Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 2pexact
Bereken de waarden van p en q op deze manier. Rond je antwoorden af op twee decimalen. Het punt dat hoort bij a = 4 ligt iets onder de lijn. Dit betekent dat het werkelijke aantal voornamen dat 4 keer is gegeven kleiner is dan het aantal dat hiervoor met behulp van de formule log n = − 2 ⋅ log a + 4 gevonden wordt.
opgave 2Cartridge verpakken
Voor veel printers zijn cartridges nodig waarin de inkt zit. Op foto 1 staat
de kartonnen verpakking van een inktcartridge afgebeeld. Op de
foto’s 2 en 3 staat dezelfde verpakking, alleen is de bovenste flap er
afgeknipt en wordt de verpakking opengevouwen.
foto 3
In opengevouwen toestand heeft de verpakking
zonder de bovenste flap de vorm van een balk
met lengte 83 mm, breedte 54 mm en hoogte
100 mm.
De punten I, J, en K zijn de middens van de
ribben AE, BF en CG. De punten M en N zijn de
middens van de randen FG en EH. Zie foto 3.
In de figuur is een ruimtelijk model getekend van
de verpakking in dichtgevouwen toestand zonder
de afgeknipte bovenste flap. In deze opgave
gebruiken we dit model voor het beantwoorden
van vragen over de kartonnen verpakking.
In dichtgevouwen toestand heeft het onderste
deel van de verpakking ook de vorm van een balk, nu met hoogte BJ.
Punt F ligt tegen punt G. Dit punt wordt in de dichtgevouwen toestand P
genoemd. Aan de achterkant ligt punt E tegen punt H. Dit punt wordt Q
genoemd. In dichtgevouwen toestand liggen de punten M en N op
lijnstuk PQ. Zie foto 1 en de figuur.
In dichtgevouwen toestand is de hoogte van de verpakking zonder de
bovenste flap afgerond 92 mm.
63pPythagoras, sinus, cosinus en tangens 3pGR mag
Toon dit aan.
De inhoud van de kartonnen verpakking in dichtgevouwen toestand is
gelijk aan de inhoud van een prisma met daaruit weggelaten twee even
grote piramides. Eén van die piramides is M.JKP.
opgave 3Gemeenschappelijke punten
De functie f is gegeven door f(x) = (x2 − 4)(x + 2).
In figuur 1 is de grafiek van f geschetst.
figuur 1
De grafiek van f heeft de punten A en B gemeenschappelijk met de x-as.
opgave 4Lichaam
Gegeven is kubus ABCD.EFGH
115pTekenen en construeren in een figuur 5pGR mag
met ribbe 4,0 cm. De punten P, Q,
en S liggen in het midden van de
zijvlakken. Het punt T ligt in het
midden van het bovenvlak. Het
lichaam L heeft als hoekpunten A,
B, C, D, P, Q, R, S en T. Zie de
figuur.
Teken de uitslag van L op ware
grootte. Licht je werkwijze toe.
opgave 5Zuurstof in water
Water bevat zuurstof. Het zuurstofgehalte van water is de hoeveelheid zuurstof in het water in mg/l. Het zuurstofgehalte van water heeft een maximum: het verzadigingsniveau . Dit verzadigingsniveau is onder andere afhankelijk van de watertemperatuur. In de tabel wordt bij een aantal watertemperaturen het verzadigingsniveau van zuurstof in zuiver water gegeven. tabel temperatuur (°C) verzadigings- niveau (mg/l) 0 14,6 10 11,3 20 9,2 30 7,8 Een formule die goed past bij de gegevens in de tabel is van de vorm: Hierin is V het verzadigingsniveau in mg/l en T de watertemperatuur in °C. a en b zijn constanten.
Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag
Bereken met behulp van gegevens uit de tabel de waarden van a en b . Het zuurstofgehalte van water in de natuur is een belangrijke indicator voor de waterkwaliteit. Wanneer het zuurstofgehalte lager wordt dan 5 mg/l, treedt er vissterfte op. De belangrijkste oorzaak van een te laag zuurstofgehalte is een te hoge watertemperatuur. Het verband tussen het verzadigingsniveau van zuurstof in zuiver water V en de watertemperatuur T wordt ook gegeven door de formule V = Het zuurstofgehalte van water in de natuur is bij elke temperatuur 40% lager dan het verzadigingsniveau van zuurstof in zuiver water bij dezelfde temperatuur.
Ongelijkheden oplossen 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1pGR mag
Het zuurstofgehalte van water is niet alleen afhankelijk van de temperatuur maar ook van de hoeveelheid zonlicht. Hoe meer zonlicht er in het water doordringt, hoe meer zuurstof er geproduceerd wordt door de waterplanten. In de figuur staat de grafiek van het verloop van het zuurstofgehalte van het water in een bepaalde rivier gedurende een onbewolkte dag (24 uur). figuur De formule die hoort bij deze grafiek is: Z = 6 + 3sin( 12 1 π ( t − 11)) . Hierbij is Z het zuurstofgehalte in mg/l en t de tijd in uren. Als t = 0 is het middernacht.
opgave 6Cirkelbogen
Een manier om golven te beschrijven, is als een aaneenschakeling van
even grote cirkelbogen. Deze cirkelbogen zijn delen van cirkels van
gelijke grootte die elkaar raken.
figuur 1
In figuur 1 vormen de cirkelbogen OA en AB precies één golf. De golf
begint in de oorsprong O, gaat door het punt A(8,0) en eindigt in het punt
B(16,0). Vanuit punt B wordt op vergelijkbare wijze de aaneenschakeling
van even grote cirkelbogen voortgezet. Zo ontstaat de grafiek van f.
De cirkelboog OA wordt beschreven door de formule
met
0 ≤ x ≤ 8.
Het punt P met x-coördinaat 55 ligt op de grafiek van f. Met behulp van de
periodiciteit van f kan de y-coördinaat van punt P worden berekend.
153pSinusoïden: periode, amplitude en formule 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag
Bereken de y-coördinaat van punt P.
Een andere manier om golven te beschrijven, is door een sinusoïde te
gebruiken. De grafiek van f wordt benaderd door een sinusoïde die door
de toppen van deze grafiek en door de snijpunten van de grafiek met de
x-as gaat. Zie figuur 2.
figuur 2
Bij deze sinusoïde past een functievoorschrift van de vorm g(x) = bsin(c ⋅ x).
Er geldt dat
b = 2 en
.
173pExtremen en optimaliseren 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1pGR mag
Bereken het maximale verschil tussen f(x) en g(x). Geef je antwoord in
drie decimalen nauwkeurig.
In de gezamenlijke toppen van de grafieken van f en g zijn de hellingen
gelijk. In de oorsprong is de helling van de grafiek van f meer dan
anderhalf keer zo groot als de helling van de grafiek van g.
opgave 7Wig van Wallis
De wig van Wallis is een bijzonder ruimtelijk lichaam,
zie de foto.
In een bepaalde stand geldt: het zijaanzicht is een
vierkant, het vooraanzicht is een gelijkbenige driehoek
en het bovenaanzicht is cirkelvormig.
De constructie van een wig van Wallis met hoogte 8 is
als volgt:
− Neem als grondvlak een cirkel met straal 4.
− Loodrecht op de cirkel komt een vierkant ABCD van 8 bij 8. De
zijde AB van dit vierkant is een middellijn van de cirkel.
− Loodrecht op zowel de cirkel als het vierkant komen allemaal
gelijkbenige driehoeken. Deze driehoeken hebben hun top op het
lijnstuk CD. De overige twee hoekpunten van elk van deze driehoeken
liggen op de cirkel in het grondvlak.
− Alle opstaande zijden van deze driehoeken vormen samen met AD en
BC de mantel van de wig van Wallis.
In de figuren 1 en 2 wordt de constructie van de wig van Wallis
geïllustreerd.
Niet alle opstaande lijnstukken die de mantel van de wig van Wallis
vormen, zijn even lang.
194pPythagoras, sinus, cosinus en tangens 4pexact
Bereken exact de verhouding tussen de lengte van een kortste lijnstuk en
de lengte van een langste lijnstuk.
De volgende vraag gaat over een wig van Wallis waarvan de hoogte
8,0 cm is.
Punt Q ligt op lijnstuk AB op een afstand van 1,0 cm van punt A. De wig
van Wallis wordt verticaal doorsneden loodrecht op lijnstuk AB en door
punt Q.
