opgave 1Gevaar op zee
Schepen die elkaar te dicht naderen worden
gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen
niet op zo’n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de
Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek in.
De tekening in de figuur is afkomstig uit een
onderzoeksrapport. Er is te zien dat de vaarroutes van
de UK143 en de Kaliakra elkaar snijden in punt S.
In het onderzoeksrapport wordt ervan uitgegaan dat in
de beginsituatie de UK143 zich op 1,2 zeemijl afstand
van S bevindt en vaart met een snelheid van
7,0 zeemijl per uur. De Kaliakra bevindt zich op dat
moment op 2,8 zeemijl van S en vaart met een snelheid
van 16,5 zeemijl per uur.
De afstanden van de twee schepen tot S zijn gegeven door de volgende
formules:
U(t) = 1,2 − 7,0t en K(t) = 2,8 − 16,5t
Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie, U de afstand op
tijdstip t van de UK143 tot S in zeemijlen en K de afstand op tijdstip t van
de Kaliakra tot S in zeemijlen. We gaan er in deze opgave van uit dat de
beide schepen hun koers en snelheid niet veranderen.
De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.
13pBereken hoeveel seconden verschil hier tussen zit.
De hoek die de vaarroutes van de twee schepen met elkaar maken is 90º.
Met behulp van bovenstaande formules voor U en K en de stelling van
Pythagoras kan een formule opgesteld worden voor de afstand D tussen
de twee schepen in zeemijlen als functie van de tijd. Deze formule luidt:
Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie.
23pToon op algebraïsche wijze de juistheid aan van deze formule voor D.
Er is sprake van een gevaarlijke situatie als de afstand tussen de
twee schepen kleiner is dan 0,2 zeemijl.
33pBereken na hoeveel minuten dit volgens de formule voor het eerst het
geval is. Geef je antwoord in hele minuten.
opgave 2Functies met een wortel
De functie
f is gegeven door
.
De lijn
k met vergelijking
heeft met de grafiek van
f behalve de
oorsprong ook nog het punt S gemeenschappelijk.
44pBereken exact de x-coördinaat van S.
De functie
g is gegeven door
. De grafiek van
g heeft een top.
54pBereken exact de coördinaten van deze top.
De functie
h is gegeven door
. Het punt
ligt op de
grafiek van h.
63pBereken exact de waarde van p.
opgave 3Karaf
Op de foto zie je een glazen karaf. De karaf is aan de bovenkant open. In
deze opgave wordt een wiskundig model van deze karaf bekeken. In dit
model is de karaf een afgeknotte kegel met daarop een cilinder. Het
schenktuitje en de dikte van het glas worden hierbij verwaarloosd. Zie de
figuur.
De afgeknotte kegel is 16,0 cm hoog en de straal van het grondvlak is 6,0
cm. De cilinder past precies op het bovenvlak van de afgeknotte kegel. De
cilinder is 6,5 cm hoog en de straal van het grondvlak is 3,3 cm.
De afgeknotte kegel kan worden gezien als het onderste deel van een
hele kegel. Uit de gegevens volgt dat de hoogte van deze hele kegel
ongeveer gelijk is aan 35,6 cm.
74pToon dit op algebraïsche wijze aan.
86pBereken de oppervlakte van de buitenzijde van de karaf. Geef je antwoord
in hele dm2 nauwkeurig.
In de lege karaf wordt 1,25 liter water geschonken.
96pBereken hoe hoog het water in de karaf komt te staan. Geef je antwoord
in hele mm nauwkeurig.
opgave 4Zwabberende functie
Op het domein
![[0,6π]](fx/p05-191-82-227-ee5845d0.webp)
is de functie
f gegeven door
f(x) = x ⋅ sin
x.
De lijn met vergelijking y = x heeft behalve de oorsprong nog drie punten
gemeenschappelijk met de grafiek van f.
104pBereken exact de coördinaten van deze punten.
De raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong is horizontaal.
113pToon dit met behulp van differentiëren aan.
opgave 5Getint glas
Getint glas laat slechts een deel van het invallende licht door. De hoeveelheid doorgelaten licht neemt exponentieel af met de dikte van het glas: hoe dikker het glas, hoe minder licht wordt doorgelaten. Voor een bepaald soort getint glas geldt dat het bij een dikte van 1 mm 90% van het licht doorlaat. Bij een zekere grotere dikte van hetzelfde soort glas zal nog maar 50% van het licht worden doorgelaten.
Bereken deze dikte in mm. Rond je antwoord af op één decimaal. De extinctie geeft de mate aan waarin getint glas invallend licht opneemt. − E L/L uit/in Voor de extinctie E geldt de formule: 10 = Hierin is L in de hoeveelheid invallend licht en L uit de hoeveelheid doorgelaten licht. Een ruit van getint glas neemt 15% van het invallende licht op.
Bereken de extinctie van deze ruit. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. foto De extinctie hangt af van de dikte van het getinte glas en van de concentratie absorberende stof in het glas. Voor een bepaald type autoruit geldt: E = 0,1 ⋅ C ⋅ d Hierin is C de concentratie van de absorberende stof (in mol per liter) en d de dikte van het glas in mm. Voor getinte autoruiten gelden wettelijk vastgestelde eisen. Voorruiten moeten minimaal 75% van het invallende licht doorlaten. Een fabrikant wil getinte voorruiten van 6 mm dik maken die precies 75% van het invallende licht doorlaten.
opgave 6Prisma
Gegeven is het prisma ABC.DEF. Het grondvlak ABC is een gelijkzijdige
driehoek met zijde 4. De hoogte van het prisma is 8. Verder zijn het punt
G op ribbe AD en het punt H op ribbe BE gegeven met DG = BH = 2. Zie
figuur 1.
Lichaam ABC.GHF ontstaat door van het prisma uit figuur 1 een stuk af te
snijden met als snijvlak het vlak FGH. Zie figuur 2.
Driehoek FGH is een rechthoekige driehoek, met de rechte hoek bij G.
154pToon dit met behulp van exacte berekeningen aan.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van ABC.GHF.
165pMaak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze
toe.
Punt M is het midden van ribbe AB. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook op
de uitwerkbijlage.
figuur 3
174puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage de doorsnede van ABC.GHF met
het vlak door M evenwijdig aan FGH. Licht je werkwijze toe.
opgave 7Gebroken functies
y-as in punt A en de x-as in punt B. Punt S is het snijpunt van de
asymptoten van de grafiek van f. Zie de figuur.
figuur
187pOnderzoek met behulp van een berekening of A, B en S op één lijn liggen.
De functie
g is gegeven door
. De grafiek van de functie
h ontstaat
uit de grafiek van g door de volgende twee transformaties: eerst de
vermenigvuldiging met 6 ten opzichte van de x-as, gevolgd door de
translatie
.
193pToon op algebraïsche wijze aan dat de grafiek van h door de oorsprong
gaat.
