bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2013, tijdvak 2

opgave 1Windenergie

Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de
bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst
een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening gaan leveren.
Men voorspelt dat in het jaar 2050 in Nederland 60 000 gigawattuur (GWh)
aan windenergie opgewekt zal worden. Dat zal dan 40% tot 50% van de
totale behoefte aan elektrische energie in Nederland zijn.
Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale
totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt
voorspeld.
13p
Bereken deze voorspelde maximale totale behoefte.
In de figuur is voor de periode 1993 - 2011 de ontwikkeling van het
wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW)
weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering)
exponentieel gegroeid.
figuur
300000 Wereldwijd door windmolens vermogen in MW 200000 100000 0 5 0 5 0 9 0 0 1 9 0 0 0 1 2 2 2
In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen
2900 MW. In 2011 was dit 239 000 MW.
24p
Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van
het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens
volgt.
Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door
windmolens geleverde vermogen verwacht.
34p
Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het
jaar 2011.

opgave 2Afgeknotte piramide

Gegeven is de piramide T.ABCD. Het grondvlak ABCD van deze piramide
is een vierkant met zijde 6. De top T ligt recht boven D. De hoogte van de
piramide is dus gelijk aan de lengte van DT. Deze is 8.
De piramide wordt afgeknot op hoogte 4. Hierdoor ontstaat de afgeknotte
piramide ABCD.EFGH. Zie onderstaande figuur.
figuur
T 4 H G E F 4 D C 6 A 6 B
43p
Teken het bovenaanzicht van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH. Zet
de letters bij de hoekpunten.
56p
Bereken de totale oppervlakte van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH.

opgave 3Debiet

figuur 1 Via een rechthoekige goot loost een fabriek koelwater op een rivier. De hoeveelheid koelwater die per seconde een dwarsdoorsnede van een goot passeert, wordt het debiet van de goot genoemd. In figuur 1 is dit uitgebeeld. Het debiet van de goot van de fabriek is te berekenen met de formule:…

figuur 1 Via een rechthoekige goot loost een fabriek koelwater op een rivier. De hoeveelheid koelwater die per seconde een dwarsdoorsnede van een goot passeert, wordt het debiet van de goot genoemd. In figuur 1 is dit uitgebeeld. Het debiet van de goot van de fabriek is te berekenen met de formule: Hierbij geldt: − Q is het debiet in m 3 per seconde; − A is de oppervlakte van de rechthoekige dwarsdoorsnede van het water in m 2 ; − P is de totale lengte van de randen van de dwarsdoorsnede die onder water liggen in m. In figuur 1 zijn deze randen dikgedrukt aangegeven. De rechthoekige goot waarmee de fabriek het koelwater loost, is 3,0 meter breed en 1,0 meter hoog. In figuur 2 is de dwarsdoorsnede van deze goot getekend bij een maximaal debiet. figuur 2 De fabriek loost 5000 m 3 koelwater per uur.

Bereken het maximale debiet en leid daaruit af of de goot tijdens deze lozing zal overstromen.
De waterhoogte in de goot noemen we h , met h in m. Zie figuur 3. figuur 3 Bij normale lozing stroomt er continu 1,0 m 3 koelwater per seconde door de goot.
Bereken in dit geval de waterhoogte in de goot. Geef je antwoord in centimeter nauwkeurig.

opgave 4Cosinus met lijnen

De functie f is gegeven door f(x) = x + cos x en de lijn k is gegeven door
y = x − 1. In figuur 1 zijn de grafiek van f en de lijn k getekend op het
interval [0,14].
figuur 1
y 10 5 k f 0 x 5 10
De grafiek van f en de lijn k hebben op het interval [0,14] twee
gemeenschappelijke punten.
83p
Bereken exact de coördinaten van deze punten.
In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van f en de lijn k raakt
de lijn k aan de grafiek van f.
In figuur 2 zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k en de lijn l die is
gegeven door y = x + 1.
figuur 2
y 10 5 l k f 0 x 5 10
De grafiek van f en de lijn l hebben op het interval [0,14] drie
gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt
de lijn l aan de grafiek van f.
94p
Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan.
In figuur 3 zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k die is gegeven door
y = x − 1 en de lijn m die is gegeven door y = x + 4.
figuur 3
y 10 m 5 k f 0 x 5 10
De functie g is gegeven door g(x) = x + 1(1)/(2) + a ⋅ cos x.
Voor een bepaalde positieve waarde van a raken de lijnen k en m beide
aan de grafiek van g.
103p
Onderzoek voor welke positieve waarde van a dit het geval is.

opgave 5Zuinig inpakken

In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier
ingepakt. De hoogte van de doos noemen we h, de breedte b en de
lengte l. Zie foto 1. Alle maten zijn in centimeter. Er geldt h ≤ b ≤ l.
Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen.
Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan
komen. Zie foto 2. De lengte van het papier in centimeter is dus 2l + 2h.
Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de
doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier
precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 3. De breedte van het papier in
centimeter is dus b + h.
foto 1
foto 1
foto 2
foto 3
foto 2
foto 3
De oppervlakte van het papier in cm2 noemen we O.
113p
Druk O uit in b, l en h. Werk de haakjes weg.
We vragen ons af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige
doos is als we deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier
van 120 cm bij 50 cm verpakken.
Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt:
2l + 2h = 120 en b + h = 50.
Met behulp van bovenstaande gegevens is de inhoud I in cm3 uit te
drukken in de breedte b.
Er geldt: I = b(b + 10)(50 − b)
125p
Toon dit aan.
Er is een waarde van b waarvoor I maximaal is.
136p
Bereken met behulp van differentiëren de maximale inhoud van een
balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je
antwoord in cm3 nauwkeurig.

opgave 6Kegels en kubus

Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met
figuur 1
143p
T E F D M A B
ribbe 1. In deze kubus passen kegels
waarvan de grondcirkel in het grondvlak
van de kubus ligt en waarvan de top in het
bovenvlak van de kubus ligt. Van deze
kegels heeft de kegel waarvan de
grondcirkel raakt aan de zijden van
vierkant ABCD de grootste inhoud. Zie
figuur 1.
Bereken exact de inhoud van de kegel met
de grootste inhoud die in de kubus
ABCD.EFGH past.
Er zijn ook kegels die precies om de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1
passen. Hiermee bedoelen we dat geldt:
− het grondvlak ABCD van de kubus ligt in het grondvlak van de kegel;
− de hoekpunten E, F, G en H van het bovenvlak van de kubus liggen
op de kegelmantel;
− het middelpunt M van de grondcirkel van de kegel ligt recht onder de
top T van de kegel.
Zie bijvoorbeeld de figuren 2 en 3.
figuur 2
figuur 3
T H E N G F S D A M C R B Q
T H E N G F S D P A M C R B Q
In figuur 4 is een verticale doorsnede door A, C en T getekend.
Het punt N is het snijpunt van MT met het bovenvlak van de kubus.
De afstand van de top T van de kegel tot het bovenvlak van de kubus
noemen we x.
figuur 4
T x N E G 1
De lengte van de straal PM van de grondcirkel van de kegel kan uitgedrukt
worden in x. Er geldt:
PM = (1)/(2)√(2) ⋅ (x + 1)/(x)
154p
Leid deze formule af met behulp van gelijkvormigheid van driehoeken.
Voor de inhoud I van de kegel geldt:
I = (1)/(6)π ⋅ (x + 3 + 3x^ −^1 + x^ −^2)
Er bestaan twee kegels met inhoud (4)/(3)π die precies om kubus ABCD.EFGH
passen.
164p
Bereken de hoogten van deze twee kegels. Rond (indien nodig) je antwoord
af op één decimaal.
175p
Bereken met behulp van differentiëren de kleinst mogelijke inhoud van een
kegel die precies om kubus ABCD.EFGH past.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Wortel met raaklijn

De functie f is gegeven door f(x) = − 3 + √(2x + 6). De grafiek van f snijdt
de x-as in het punt A(1(1)/(2),0). Verder zijn gegeven de punten B(−3,0) en
C(−3, − 3). Zie onderstaande figuur.
figuur
y f B A O x C
De helling van de grafiek van f in punt A is (1)/(3).
183p
Toon dit langs algebraïsche weg aan.
De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de lijn BC in het punt S.
194p
Toon aan dat S het midden van BC is.