opgave 1Tonregel van Kepler
In het verleden gebruikte men vaak een ton voor
het opslaan en vervoeren van goederen. Tonnen
worden ook nu nog gebruikt voor bijvoorbeeld de
opslag van wijn. Zie de foto.
Voor handelaren was het belangrijk om de inhoud
van de ton te kunnen bepalen. De astronoom en
wiskundige Kepler (1571 - 1613) vond een manier
om de inhoud van een ton te benaderen.
De tonregel van Kepler luidt:
In deze formule is:
- I de inhoud van de ton;
- h de hoogte van de ton;
- G de oppervlakte van het grondvlak;
16p- M de oppervlakte van de doorsnede
op halve hoogte, evenwijdig aan
het grondvlak en het bovenvlak;
- B de oppervlakte van het bovenvlak.
Zie de figuur.
Van de ton op de foto is zowel het grondvlak als
het bovenvlak een cirkel met diameter 58 cm. De
doorsnede op halve hoogte is een cirkel met
omtrek 223 cm. De hoogte van deze ton is 93 cm.
Bereken de inhoud van deze ton met de tonregel
van Kepler. Rond je antwoord af op een geheel aantal liters.
De tonregel van Kepler geldt niet alleen voor tonnen. Ook voor heel andere
soorten lichamen geeft de tonregel een goede benadering van de inhoud. De
tonregel van Kepler geeft voor een aantal lichamen zelfs exact de juiste inhoud,
bijvoorbeeld voor een kegel, een bol en een piramide.
Een piramide met hoogte 9 heeft als grondvlak een vierkant met zijde 10.
24pToon aan dat met de tonregel van Kepler voor deze piramide exact de juiste
inhoud wordt berekend.
opgave 2Inkomensverdeling
Niet iedereen in een land heeft een even hoog inkomen. Om inzicht te krijgen in de verdeling van de inkomens in een land worden lorenzcurves gebruikt. Bij een lorenzcurve wordt de figuur bevolking gerangschikt van lage inkomens naar hoge inkomens. In de figuur staat een voorbeeld van de lorenzcurve van een land. Deze curve is de grafiek van I als functie van B . Hierin is I het percentage van het totale inkomen van dit land en B het percentage van de bevolking, waarbij de bevolking van lage inkomens naar hoge inkomens is gerangschikt. Uit de figuur valt bijvoorbeeld af te lezen dat de minst verdienende 30% van de bevolking van dit land tezamen bijna 10% van het totale inkomen van dit land heeft. De formule die bij de lorenzcurve in de figuur hoort, is I = 0,25 B + 0,000075 B 3 waarbij 0 ≤ I ≤ 100 en 0 ≤ B ≤ 100 . Als in dit land iedereen een even hoog inkomen zou hebben, dan zou de lorenzcurve het lijnstuk zijn met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100). Het punt op de lorenzcurve waar de raaklijn aan de curve evenwijdig is aan het lijnstuk met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100), is de grens tussen een bovengemiddeld en een benedengemiddeld inkomen.
Bereken met behulp van differentiëren hoeveel procent van de bevolking van dit land een bovengemiddeld inkomen heeft. In het algemeen is de formule die bij een lorenzcurve hoort van de vorm I = a ⋅ B + 100 1 − p ⋅ (1 − a ) ⋅ B p . Hierbij is 0 ≤ a ≤ 1 en p ≥ 1 . De grafiek bij deze formule gaat voor alle waarden van a en p door de punten (0, 0) en (100, 100).
opgave 3Mosselen
Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage
leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen
in het water. Zij ‘filteren’ het water.
De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we de
filtercapaciteit van een mossel. Er bestaat een verband
tussen de filtercapaciteit van een driehoeksmossel en zijn
schelplengte. Hiervoor geldt bij benadering de volgende formule:
Hierin is C de filtercapaciteit in ml/uur en L is de schelplengte in mm.
Er wordt beweerd dat een driehoeksmossel van 29 mm lang per dag (24 uur)
meer dan 1 liter water kan filteren.
63pOnderzoek of deze bewering overeenstemt met de gegeven formule.
In de praktijk blijkt dat de filtercapaciteit van een driehoeksmossel van 29 mm
nauwelijks toeneemt als deze driehoeksmossel verder groeit. Dit is in
overeenstemming met de formule.
73pLeg uit hoe uit de formule volgt dat de grafiek die bij deze formule hoort een
horizontale asymptoot heeft.
Een mossel bestaat voor een deel uit schelp en voor een deel uit vlees. Er
bestaat een verband tussen de schelplengte L (in mm) en het gewicht van het
vlees W (in grammen) van mosselen.
Elk jaar wordt er onderzoek gedaan naar het verband tussen de schelplengte en
het gewicht van het vlees van de gewone mossel in de Waddenzee. Hiervoor
worden van een groot aantal van deze mosselen de schelplengte en het gewicht
van het vlees gemeten. De resultaten voor het jaar 2005 zijn in de figuur
weergegeven. In de figuur is ook een lijn te zien die een benadering geeft van
het verband tussen logW en log L.
figuur
Deze lijn kan gebruikt worden om het gewicht van het vlees van een gewone
mossel te schatten als je de schelplengte van die mossel hebt gemeten. De
figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
84puitwerkbijlageBepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het gewicht van het vlees
van gewone mosselen met een schelplengte van 65 mm. Geef je antwoord in
grammen op één decimaal nauwkeurig.
Voor de lijn in de figuur geldt de volgende formule:
log W = −5,5 + 3,1⋅ log L
94pWerk deze formule om tot een formule van de vorm W = a ⋅ Lb.
opgave 4Vuilnisbak
Op de foto is een metalen vuilnisbak te zien. De stang waar de vuilnisbak aan
hangt, laten we in deze opgave buiten beschouwing. In deze opgave worden de
rondingen van de vuilnisbak en de dikte van het materiaal verwaarloosd. De
breedte van de vuilnisbak is 40 cm.
In figuur 1 is de vuilnisbak schematisch weergegeven. In figuur 2 is een
zijaanzicht van de vuilnisbak getekend. Hierin ligt punt L recht boven punt B en
punt G ligt recht boven punt C. BC en FG zijn beide horizontaal. In figuur 1 en
figuur 2 is een aantal maten in cm aangegeven.
De vuilnisbak heeft de vorm van een vijfzijdig prisma.
104pBereken de inhoud van de vuilnisbak.
Aan de bovenkant van de vuilnisbak, in vlak EFLK, zit een rechthoekige
opening. Om deze opening zit een rand, die in figuur 1 grijs is gemaakt.
We gaan er in deze opgave van uit dat deze rand overal 4,5 cm breed is.
116pTeken op schaal 1: 5 het bovenaanzicht van de vuilnisbak (met opening, zonder
stang). Licht je werkwijze toe.
In de vuilnisbak zit een metalen bak die er uitgehaald kan worden om de
vuilnisbak te legen. Deze metalen bak is gelijkvormig met het onderste deel van
de vuilnisbak: ABCD.EFGH. De inhoud van de metalen binnenbak is 10%
kleiner dan de inhoud van het deel ABCD.EFGH.
123pBereken de hoogte van de binnenbak. Geef je antwoord in cm nauwkeurig.
opgave 5Functies met een wortel
Voor elke waarde van
a is de functie
fa gegeven door
.
Er is een waarde van a waarvoor het punt (27,108) op de grafiek van fa ligt.
134pBereken exact deze waarde van a.
De functie
f18 is gegeven door
.
In de figuur zijn de grafiek van f18 en de lijn k met vergelijking y = 2x getekend.
figuur
De lijn k snijdt de grafiek van f18 in twee punten: O(0,0) en het punt P.
146pBereken exact de lengte van het lijnstuk OP.
De functie f18 heeft een minimum.
154pBereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van x dit minimum
wordt aangenomen.
opgave 6Kruis in cirkel
Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal 1. In deze cirkel is een kruis
met vier even brede en even lange armen aangebracht. In de onderstaande
figuren is dit kruis wit en zijn de vier vlakdelen die buiten het kruis en binnen de
cirkel liggen grijs gemaakt. In figuur 1 is voor de breedte van de armen
genomen en in figuur 2 is deze breedte 1. In figuur 2 is te zien welke punten P,
Q en S genoemd worden. Het punt R is het midden van PQ.
De breedte van de armen van het
163pkruis kan variëren. Hierdoor varieert
ook de plaats van de punten P en R.
Als voor de breedte van de armen van
het kruis 2x genomen wordt, betekent
dit dat MR = RP = x. Zie figuur 3.
Er geldt
.
Toon dit aan.
Als de breedte van de armen van het kruis toeneemt, komt het punt P dichter bij
punt S te liggen. Er is een waarde van x waarvoor geldt PS = 2 ⋅ MP.
173pBereken exact deze waarde van x.
In figuur 4 is te zien welke punten U en T genoemd worden. De breedte van de
armen van het kruis kan ook veranderen door hoek UMT in grootte te variëren.
De grootte van de helft van deze hoek in radialen noemen we t.
figuur 4
Als t verandert, dan verandert de oppervlakte A van het kruis ook. Er geldt:
A(t) = 4t + 2sin(2t) + 2cos(2t) − 2 met
In figuur 5 is de grafiek van A geschetst. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 5
De totale oppervlakte van de vier grijze delen hangt eveneens van t af.
184puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek die hoort bij de totale
oppervlakte van de vier grijze delen. Licht je werkwijze toe.
De helling van de grafiek van
A neemt af van 8 bij
t = 0 tot 0 bij
.
195pOnderzoek met behulp van differentiëren of de helling van de grafiek van A
halverwege het interval
![[0, (1)/(4)π]](fx/p09-229-724-266-d21e498a.webp)
gehalveerd is.
