bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2008, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Koffiekan

Bij het zetten van koffie wordt soms een koffiezetapparaat gebruikt.
Deze opgave gaat over een koffiezetapparaat waarbij de koffiekan, zonder het
handvat en de bovenrand, de vorm heeft van een aan twee kanten afgeknotte
bol.
De hoogte h (in cm) van de vloeistofspiegel in de koffiekan wordt gemeten ten
opzichte van de onderkant van de koffiekan. Zie figuur 1.
figuur 1
10 cm h
V(h) is het volume (in cm3) van de vloeistof (koffie) in de koffiekan als de hoogte
van de vloeistofspiegel h cm is.
Er geldt: V(h) = 33πh + 4πh^2 − (1)/(3)πh^3
In deze opgave gaan we ervan uit dat de hete koffie vanaf het begin met
constante snelheid de koffiekan in stroomt. Na precies 8 minuten staat de
vloeistofspiegel op 9,2 cm hoogte. Hieruit kun je afleiden dat er 2,5 cm3 koffie
per seconde in de koffiekan stroomt.
13p
Toon dit met een berekening aan.
23p
Bereken na hoeveel seconden de vloeistofspiegel in de koffiekan op 3,0 cm
hoogte staat. Rond je antwoord af op een geheel getal.
In één kopje gaat 120 ml (120 cm3) koffie. Op de koffiekan staan streepjes die
horen bij het vloeistofniveau voor 2, 3, 4,..., 10 kopjes.
In de figuur op de uitwerkbijlage zijn deze streepjes voor 2 en 10 kopjes al
aangegeven. De schaal van deze figuur is 1: 2.
34puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het streepje dat hoort bij 6 kopjes.
Licht je werkwijze toe.
Nadat er koffie is gezet, wordt het koffiezetapparaat uitgeschakeld. De koffie in
de kan koelt vervolgens af. Bij het uitschakelen heeft de koffie een temperatuur
van 80 °C. In tabel 1 is het temperatuurverloop van de koffie te zien. Je ziet dat
de tijd t is gemeten in minuten, waarbij t = 0 het moment van uitschakelen is. De
temperatuur T is gemeten in °C.
tabel 1
t ( in minuten ) 0 10 20 30 40 50 60 T (in ºC) 80 59 50 44 40 37 35
De temperatuur in de keuken waar het koffiezetapparaat staat, is 23 °C.
Een formule die het temperatuurverloop van de koffie redelijk benadert, is van
de vorm T = 23 + b ⋅ gt.
Je kunt de waarden van b en g berekenen door gebruik te maken van het eerste
meetpunt (0, 80) en het laatste meetpunt (60, 35).
46p
Bereken op algebraïsche wijze de waarden van b en g. Rond daarna de waarde
van g af op twee decimalen.
Een formule gebaseerd op alle meetgegevens uit de tabel is: T = 23 + 49 ⋅ 0,975t
met t in minuten en T in °C. Met behulp van deze laatste formule kan berekend
worden voor welke waarde van t de koffie afkoelt met een snelheid van 1,0 °C
per minuut.
55p
Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van t. Rond je antwoord af
op één decimaal.

opgave 2Balk en piramide

figuur 1
H 5 G E F 3 Q 6 3 D C A 4 2 R 3 B
Gegeven is een balk ABCD.EFGH. Het grondvlak ABCD is een rechthoek met
zijden AB = 5 en BC = 4. De hoogte AE is gelijk aan 6.
Op AB ligt punt R zodat AR = 2. Het punt Q is het midden van CG. Zie figuur 1.
Deze figuur (zonder de afmetingen en zonder de lijnstukken DR en DQ) staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
65puitwerkbijlage
Teken op de uitwerkbijlage de doorsnede van het vlak door de punten H, R en Q
met de balk ABCD.EFGH.
De punten D, H, Q en R zijn de hoekpunten van een piramide met grondvlak
DHQ en top R.
75p
Bereken de inhoud van deze piramide.
Van de piramide DHQ.R kan een uitslag getekend worden. Op de uitwerkbijlage
is hiermee een begin gemaakt. Daar is HD als een lijnstuk van 6 cm getekend.
85p
Teken van deze uitslag het deel dat bestaat uit de vlakken DHQ en DRQ.
Licht je werkwijze toe.
96p
Bereken de hoek tussen het vlak DRQ en het grondvlak ABCD.

opgave 3Een symmetrische grafiek

De grafiek in figuur 1 hoort bij de functie f
figuur 1
104p
die gegeven is door f(x) = e^ − (1)/(2)^x^2. Deze
grafiek is symmetrisch ten opzichte van de
y-as en heeft de x-as als horizontale
asymptoot.
Er zijn punten op de grafiek waarvoor geldt
f(x) = (1)/(2).
Bereken algebraïsch de exacte waarden
y f -3 -2 -1 O 1 2 3 x
van de x-coördinaten van deze punten.
114p
Op de grafiek van f worden twee
transformaties na elkaar toegepast. Eerst
wordt de afstand van de punten van de
grafiek tot de x-as twee maal zo groot
gemaakt en daarna wordt de afstand tot de
y-as gehalveerd. Zie figuur 2.
Geef een functievoorschrift dat past bij de
nieuwe grafiek. Leg uit hoe je aan je
antwoord gekomen bent.
figuur 2
y f -3 -2 -1 O 1 2 3 x

opgave 4Droogrek

Op de foto staat een droogrek afgebeeld.
foto
foto
figuur 1
figuur 2
G T T F E 10 85 F G E R 55 45 60 D C D C 65 65 grond grond A 120 B A B Q
In figuur 1 is het vooraanzicht getekend van een model van het droogrek met
slechts één hanggedeelte. In dit vooraanzicht geldt:
− driehoek ABT is gelijkzijdig,
− het hanggedeelte EG is 85 cm lang en is draaibaar om het punt E,
− de steun CF is draaibaar om het punt C,
− het eindpunt F blijkt op 10 verschillende plekken op EG vastgezet te
kunnen worden,
− de aangegeven afmetingen zijn in centimeter.
Het hanggedeelte EG maakt een hoek met EB. De grootte van deze hoek
noemen we α. Zie figuur 2. De grootte van α hangt af van de plaats waar
punt F wordt vastgezet. Wanneer het hanggedeelte in de laagste stand wordt
gezet, geldt EF = 85. De punten F en G vallen dan samen.
124p
Bereken α in deze situatie in hele graden nauwkeurig.
De afstand van het punt E tot de grond is ongeveer 95 cm.
133p
Toon dit met een berekening aan.
De hoogte h boven de grond van het punt G is afhankelijk van α. Er geldt:
h = 95 + 85 ⋅ sin(α − 60°), met h in cm en α in graden.
144p
Toon de juistheid van deze formule aan.
Men vraagt zich af wat de maximale lengte van een rechthoekige lap stof is
die over het droogrek te drogen kan worden gehangen zonder dat de
uiteinden de grond raken. Beide hanggedeelten, EG en KM, worden daarbij
steeds in dezelfde positie geplaatst. In figuur 3 is van deze situatie een
vooraanzicht getekend.
figuur 3
lap stof M G L T F K E D C grond P A B Q
Het punt F kan slechts op 10 verschillende standen worden vastgezet. In
tabel 1 staat weergegeven hoe groot α is bij 9 verschillende lengten van EF.
(In de tabel ontbreekt de tiende lengte, EF = 85. Deze is niet van belang voor
het beantwoorden van vraag 15.)
tabel 1
EF (cm) α (graden) 17,5 144 25 115 32,5 100 40 90 47,5 81 55 73 62,5 66 70 58 77,5 51
156p
Onderzoek met behulp van tabel 1 hoe groot de maximale lengte van de lap
stof is. Rond je antwoord af op hele centimeters.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Halve cirkel en derdegraadsfunctie

De functies f en g zijn gegeven door g ( x ) = − 30 1 x 3 + x 2 − 1,9 x + 1,58 . De grafieken van f en g lijken elkaar te raken. Zie figuur 1. figuur 1 De grafieken van f en g raken elkaar echter niet. De vergelijking f ( x ) = g ( x ) heeft twee oplossingen.
Los op voor welke x geldt f ( x ) < g ( x ) . Rond de grenswaarden van x af op twee decimalen. De grafiek van f is een halve cirkel. Van het vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en D op de x -as zodat OA = OD . De hoekpunten B en C liggen op de halve cirkel. Om de oppervlakte van vierkant ABCD uit…

Los op voor welke x geldt f ( x ) < g ( x ) . Rond de grenswaarden van x af op twee decimalen. De grafiek van f is een halve cirkel. Van het vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en D op de x -as zodat OA = OD . De hoekpunten B en C liggen op de halve cirkel. Om de oppervlakte van vierkant ABCD uit te rekenen, moet eerst de lengte van een zijde worden bepaald. We stellen daartoe OA = p . Hieruit volgt AD = 2 p . Met behulp van vinden we

Bereken op algebraïsche wijze de exacte oppervlakte van het vierkant. Het punt T in de figuur is een top van de grafiek van de functie g .
Bereken op algebraïsche wijze de x -coördinaat van het punt T .