bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2007, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Hoogtetraining

Het was eind vorige eeuw onder topsporters erg populair om enkele weken op
grote hoogte te trainen. Vanwege de ijlere lucht worden in een dergelijke
trainingssituatie door het lichaam extra rode bloedlichaampjes aangemaakt. De
rode bloedlichaampjes zorgen voor het transport van zuurstof in het lichaam.
Hoe meer rode bloedlichaampjes aanwezig in het lichaam, hoe beter er
gepresteerd zou kunnen worden omdat bij het leveren van zware prestaties veel
zuurstof nodig is in de spieren. Inmiddels heeft men ontdekt dat er ook nadelige
effecten optreden zodat het netto effect voor de sporter nihil lijkt.
Wanneer de hoogte toeneemt, neemt de luchtdruk af. Deze afname van de
luchtdruk verloopt exponentieel. De luchtdruk kan worden gemeten in mm Hg
(Hg staat voor kwik).
Op een gegeven moment is op een bepaalde plaats de luchtdruk op zeeniveau
(hoogte = 0) gelijk aan 760 mm Hg en op één kilometer hoogte is deze gelijk aan
648 mm Hg. Volgens het exponentiële model is de luchtdruk op 100 meter
hoogte vrijwel gelijk aan 748 mm Hg.
14p
Toon dit door middel van een berekening aan.
Een andere eenheid om de luchtdruk te meten is hectopascal (hPa).
Er geldt bij benadering dat 1 mm Hg = (4)/(3) hPa.
Voor kleine hoogtes, tot ongeveer 100 meter, gebruikt men de volgende
vuistregel:
De daling van de luchtdruk bedraagt 1 hPa per 8 meter toename van de hoogte.
24p
Bereken in bovengenoemde situatie het verschil tussen de luchtdruk op
100 meter hoogte, berekend volgens de vuistregel, en de waarde volgens het
exponentiële model in mm Hg.
Door de verminderde luchtdruk bij toenemende hoogte kan er minder zuurstof
worden opgenomen in de longen. De maximale hoeveelheid zuurstof die de
longen per minuut kunnen opnemen wordt het maximale
zuurstofopnamevermogen (VO2max) genoemd en wordt gemeten in liter per
minuut (liter/min).
In figuur 1 is het verband weergegeven tussen deze VO2max en de hoogte.
Hierbij is de VO2max op zeeniveau gelijkgesteld aan 100%. In figuur 1 is te zien
dat vanaf een hoogte van 1500 meter de VO2max lineair afneemt en wel met
10% per 1000 meter stijging.
figuur 1
100 VO max 2 (%) 90 80 70 60 0 0 2000 4000 6000 hoogte (m)
Een wielrenner heeft op zeeniveau een VO2max van 5,8 liter/min. Hij traint op
de wielerbaan van Mexico City op een hoogte van 2278 meter.
34p
Bereken het maximale zuurstofopnamevermogen in Mexico City van deze
wielrenner in liter per minuut. Geef je antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.
Een atleet wil een bepaald trainingsschema volgen. De hoogte waarop hij gaat
trainen is nog niet vastgesteld. Het verband tussen de hoogte en het percentage
van zijn VO2max dat hij nodig heeft voor dit trainingsschema wordt gegeven
door de formule:
P = (6000)/(115 − 0,01h)
Hierin is h de hoogte in meter met h ≥ 1500 en P het percentage van de
VO2max van de atleet op hoogte h dat nodig is voor het trainingsschema.
45p
Bereken op algebraïsche wijze op welke hoogte het percentage P gelijk is aan
80%.
Voor een atleet is het interessant om te weten op welke hoogte hij moet gaan
trainen om een bepaald percentage van zijn VO2max te behalen. Hiervoor is het
handig om h te schrijven als functie van P.
54p
Schrijf met behulp van bovenstaande formule h als functie van P.

opgave 2Kartonnen snoepdoosje

Een kartonnen snoepdoosje heeft de vorm van een recht prisma. Zie foto 1. De boven- en onderkant van dit prisma hebben elk de vorm van een regelmatige achthoek. Alle zijden van de regelmatige achthoek zijn 7,0 cm lang. Het doosje is 4,3 cm hoog. In deze opgave verwaarlozen we de dikte van het…

Een kartonnen snoepdoosje heeft de vorm van een recht prisma. Zie foto 1. De boven- en onderkant van dit prisma hebben elk de vorm van een regelmatige achthoek. Alle zijden van de regelmatige achthoek zijn 7,0 cm lang. Het doosje is 4,3 cm hoog. In deze opgave verwaarlozen we de dikte van het karton. foto 1 figuur 1 In figuur 1 zie je een uitslag van het prisma zonder bovenkant. Op de achthoekige bodem zijn enkele stippellijnen getekend. Er geldt dat AS = DS en ∠ ASD = 90 ° . De afstand van punt A tot punt S is ongeveer 4,95 cm.

Toon dit met een berekening aan.
Bereken de inhoud van het doosje.
Als het deksel van het doosje gehaald wordt, gaan de zijkanten van het doosje naar buiten staan. Zie foto 2. In werkelijkheid wordt het doosje dus niet gemaakt van een uitslag zoals in figuur 1. In figuur 2 is op schaal 1:2 een gedeelte te zien van het doosje als het nog een plat stuk karton is.…

Als het deksel van het doosje gehaald wordt, gaan de zijkanten van het doosje naar buiten staan. Zie foto 2. In werkelijkheid wordt het doosje dus niet gemaakt van een uitslag zoals in figuur 1. In figuur 2 is op schaal 1:2 een gedeelte te zien van het doosje als het nog een plat stuk karton is. foto 2 figuur 2 Om het doosje te maken, wordt het karton langs de stippellijnen gevouwen. Als het deksel erop zit, staan de zijkanten van het doosje loodrecht op het grondvlak. De vouwlijnen AB en AH komen dan tegen elkaar aan. De vouwlijn AE steekt daarbij naar binnen. Als het deksel eraf gehaald wordt, maken de zijkanten van het doosje een hoek van 60º met het grondvlak. Van deze situatie is een bovenaanzicht te tekenen. Vanwege de symmetrie bekijken we slechts een gedeelte hiervan met de twee zijvlakken ABCD en AFGH , en de driehoeken AEB en AHE . Op de uitwerkbijlage is op ware grootte een begin gemaakt met het bovenaanzicht.

Voltooi dit deel van het bovenaanzicht door de genoemde ontbrekende delen te tekenen. Licht je werkwijze toe.
De fabrikant wil een kleiner doosje ontwerpen, eveneens in de vorm van een regelmatig achthoekig prisma. Hij wil dat de uitslag van dit doosje zonder deksel precies past op een vierkant stuk karton van 18,0 bij 18,0 cm. In figuur 3 is hiervan een voorbeeld te zien. figuur 3 18,0 cm De zijden van de…

De fabrikant wil een kleiner doosje ontwerpen, eveneens in de vorm van een regelmatig achthoekig prisma. Hij wil dat de uitslag van dit doosje zonder deksel precies past op een vierkant stuk karton van 18,0 bij 18,0 cm. In figuur 3 is hiervan een voorbeeld te zien. figuur 3 18,0 cm De zijden van de achthoekige bodem kunnen kleiner of groter genomen worden. De hoogte van het doosje verandert dan ook. Noem de zijde van de regelmatige achthoek x . Dan geldt voor de oppervlakte O van de achthoek en voor de hoogte h van het doosje: − O = 2(1 + 2) x 2 Voor de inhoud van het doosje (als het deksel er op zit) geldt I = O ⋅ h . Hiermee en met bovenstaande formules voor O en h kan worden aangetoond dat bij benadering geldt: I = 43,46 x 2 − 5,83 x 3 .

Leid op algebraïsche wijze de formule voor de inhoud I af met behulp van de formules voor O en h .
Bereken met behulp van differentiëren de maximale inhoud van het doosje. Geef je antwoord in hele cm 3 nauwkeurig.

opgave 3Wortel en logaritme

In onderstaande figuur zie je twee grafieken getekend. Het functievoorschrift van
f is f(x) = √(x) en het functievoorschrift van g is g(x) = 2 +3 log(x − 3).
figuur
y 5 B A f O 5 10 x g
113p
Bereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van g met de
x-as.
A is een punt op de grafiek van f en B is een punt op de grafiek van g. De
x-coördinaat van zowel A als B is 8. Zie de figuur.
De raaklijn aan de grafiek van f in punt A en de raaklijn aan de grafiek van g in
punt B lopen vrijwel parallel. Dit betekent dat de helling van de grafiek van f in
punt A bijna gelijk is aan de helling van de grafiek van g in punt B. Er is een
waarde van x waarvoor geldt dat f'(x) = g'(x).
125p
Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van x in 1 decimaal
nauwkeurig.
De twee grafieken snijden elkaar in precies twee punten.
134p
Los op: g(x) < f(x).

opgave 4Kerstlicht

In een warenhuis is rond Kerstmis allerlei kerstverlichting te koop, zoals het
kerstlicht dat op de foto is te zien.
foto
foto
Dit kerstlicht bestaat uit een vijfzijdig prisma, waarbij op de rechthoekige
zijvlakken vierzijdige piramides zijn geplaatst.
Een gedeelte van het kerstlicht, het vijfzijdig prisma met drie van de vijf
piramides, is in figuur 1 weergegeven.
De twee vijfhoekige zijvlakken van het prisma zijn regelmatige vijfhoeken met
zijden van 5,0 cm. De grondvlakken van de piramides zijn rechthoeken met
zijden van 5,0 en 3,0 cm. De opstaande ribben van alle piramides zijn even lang.
Zie figuur 1.
figuur 1
R S G D F C Q E B A
Het vooraanzicht van het kerstlicht is een vijfpuntige ster. Dit vooraanzicht is te
zien in figuur 2.
figuur 2
R D C 5,0 E B A T P
In het vooraanzicht zijn P, Q, R, S en T de snijpunten van de verlengde zijden
van de regelmatige vijfhoek ABCDE. De hoeken in de regelmatige vijfhoek
ABCDE zijn allemaal 108º.
Hieruit volgt dat de hoeken van de sterpunten, zoals bijvoorbeeld ∠DRC,
allemaal 36º zijn.
143p
Toon dit laatste aan.
De zijden van de regelmatige vijfhoek ABCDE zijn 5,0 cm. In het vooraanzicht
zijn de lijnstukken die de punten P, Q, R, S en T met de hoekpunten van deze
regelmatige vijfhoek verbinden, zoals bijvoorbeeld RD, RC en TE, allemaal even
lang. De lengte van elk van deze lijnstukken in het vooraanzicht is ongeveer
8,1 cm.
154p
Toon dit met een berekening aan.
De opstaande ribben van alle piramides van het kerstlicht zijn even lang.
164p
Bereken de lengte van de opstaande ribben van de piramides.
Het kerstlicht wordt liggend verpakt in een cilindervormig doosje waar het
precies in past. Dit doosje heeft een hoogte van 3,0 cm. De punten van de ster
liggen tegen de opstaande randen van het doosje aan.
177p
Bereken de diameter van het grondvlak van het doosje. Geef je antwoord in cm
in 1 decimaal nauwkeurig.

opgave 5Kettinglijn

Als we een vrij hangend, volkomen buigzaam, overal even dik en even zwaar
touw tussen twee punten A en B ophangen, dan hangt het touw in een gebogen
lijn. Deze lijn wordt een kettinglijn genoemd.
We bekijken een kettinglijn waarbij de punten A en B zich beide 5 meter boven
de grond bevinden op een afstand van 8 meter van elkaar. We brengen in het
verticale vlak waarin het touw hangt, een assenstelsel aan zo dat het laagste
punt van het touw op de y-as ligt en de x-as horizontaal langs de grond loopt. In
het assenstelsel in figuur 1 heeft A de coördinaten (−4,5) en B de coördinaten
(4,5).
figuur 1
6 h A B 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
De kettinglijn in figuur 1 is dan de grafiek van de functie h(x) = 2(e(1)/(4)^x + e^ − (1)/(4)^x) + c
met h en x in meter.
183p
Bereken de exacte waarde van c.
Als men touwen van verschillende lengte ophangt tussen A en B, dan zal het
langste touw het verste doorhangen. In figuur 2 is een aantal touwen van
verschillende lengte te zien. Hier is ook te zien dat het kortste touw het hoogste
hangt.
figuur 2
6 h A B 5 T 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Het is duidelijk dat hoe hoger het touw hangt, hoe kleiner de helling is in punt B.
Bij de bovenste kettinglijn in figuur 2 met als laagste punt T hoort de formule
hT(x) = 5(e0,1x + e−0,1x) − 5,81.
194p
Bereken van deze kettinglijn met behulp van differentiëren de helling in punt B.
Rond je antwoord af op 2 decimalen.
In figuur 2 zie je zeven kettinglijnen. Deze kettinglijnen lijken op dalparabolen.
De functievoorschriften voor deze dalparabolen hebben de vorm: f(x) = ax² + b.
Voor de dalparabool die door de punten A, B en T gaat, geldt dat a = 0,050625
en b = 4,19.
203p
Toon dit door middel van een berekening aan.
Hoewel de kettinglijnen uit figuur 2 lijken op dalparabolen, zijn ze dat niet. Zo
valt bijvoorbeeld de kettinglijn gegeven door de formule van hT(x) niet samen
met de dalparabool gegeven door de formule van f(x) met a = 0,050625 en
b = 4,19. De verticale afstand tussen de grafieken kan berekend worden met de
verschilfunctie v(x) = f(x) − hT(x).
213p
Bereken de maximale waarde van v(x) op het interval [−4, 4] in 3 decimalen
nauwkeurig.
Het functievoorschrift voor een willekeurige kettinglijn door de punten A en B
wordt gegeven door:
h(x) = (1)/(2k)(e^k^x + e^ −^k^x − e^4^k − e^ −^4^k) + 5 waarbij −4 ≤ x ≤ 4.
Hierin is k een constante die afhangt van de lengte van de ketting.
Er wordt een ander touw opgehangen tussen A en B. Het laagste punt van dit
touw valt precies samen met (0,0).
224p
Bereken de waarde van k van dit touw in 2 decimalen nauwkeurig.