bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2003, tijdvak 1

opgave 1Voetstuk

Een pijler onder een brug rust op een betonnen voetstuk. Het voetstuk staat op de grond en
bestaat uit twee delen. Het onderste deel heeft de vorm van een balk, het bovenste deel
ABCD.EFGHKLMN zorgt voor de overgang naar de pijler die achtzijdig is. Zie figuur 1.
M N 40 L 40 E K 40 F 40 H G C 40 A B 100 100
figuur 1
E10F 40 G10H 40 A B 100 40
In figuur 2 is een vooraanzicht van het voetstuk getekend.
In beide figuren zijn de afmetingen gegeven in centimeters.
Met behulp van dit vooraanzicht kan de hoek berekend worden die het schuine vlak BCKH
met het vlak ABCD maakt.
15p
Bereken die hoek. Rond je antwoord af op gehele graden.
Op de bijlage is een begin getekend van het bovenaanzicht van het voetstuk op
schaal 1: 10.
25p
Maak dit bovenaanzicht af. Zet de letters erbij.
Er wordt een lint evenwijdig aan vlak ABCD om het voetstuk gespannen. Het lint is 500 cm
lang. Als het lint om het balkgedeelte wordt gespannen, is er 100 cm over. Gaat het lint
door de punten E, F, G, H, K, L, M en N, dan is er ongeveer 283 cm over.
34p
Toon met een berekening aan dat er dan inderdaad ongeveer 283 cm over is.
Het lint wordt nu op een hoogte van 50 cm (gerekend vanaf de grond) om het voetstuk
gespannen.
46p
Bereken hoeveel cm van het lint op deze hoogte over is. Rond je antwoord af op een geheel
getal.
Het gedeelte van het voetstuk tussen de vlakken ABCD en EFGHKLMN wordt geschilderd:
de vier vierhoekige zijvlakken worden rood en de vier driehoekige zijvlakken worden
zwart.
Om te weten hoeveel verf nodig is, moet men de oppervlakte weten.
55p
Bereken de totale oppervlakte van de delen die rood geschilderd worden. Rond je antwoord
af op gehele cm2.
Op 200 meter afstand van deze pijler met voetstuk staat een volgende pijler met voetstuk.
Zie figuur 3.
figuur 3
A' D' P' S' 100 B' C' Q' R' 100 200 100
Op de bijlage is in perspectief getekend het grondvlak A'B'C'D' van het eerste voetstuk en
de projectie Q' van het punt Q van het volgende voetstuk.
67p
Teken in de figuur op de bijlage het grondvlak van de tweede pijler. Licht je werkwijze toe.

opgave 2Medicijnen

Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één tablet van 500 mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt exponentieel af. Na precies één week is…

Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één tablet van 500 mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt exponentieel af. Na precies één week is nog 30% van de oorspronkelijke hoeveelheid medicijn aanwezig in zijn lichaam. Uit de gegevens is te berekenen dat de groeifactor per 24 uur ongeveer 0,842 is.

→ Schrijf deze berekening op.
→ Bereken in hoeveel tijd 40% van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren. De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van 500 mg in. We nemen aan dat hij dat steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam…

→ Bereken in hoeveel tijd 40% van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren. De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van 500 mg in. We nemen aan dat hij dat steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt na inname weer exponentieel af met groeifactor 0,842 per 24 uur. M ( t ) is de hoeveelheid medicijn in mg in zijn lichaam, t dagen nadat de eerste tablet is ingenomen. In figuur 4 is de grafiek van M als functie van t getekend van t = 0 tot t = 9. figuur 4 800

→ Bereken de hoeveelheid medicijn in het lichaam op tijdstip t = 10. Rond je antwoord af op een geheel aantal milligrammen.
→ Stel een formule op voor M ( t ) voor 14 < t < 21.

opgave 3Spitsboog

Al heel lang worden in bouwwerken
boogconstructies gebruikt om grote ruimten
te overspannen. In figuur 5 zie je enkele
soorten bogen, waaronder de spitsboog.
Een spitsboog is opgebouwd uit twee
cirkelbogen. Hierbij ligt het middelpunt van
de ene cirkelboog op een uiteinde van de
andere cirkelboog.
figuur 5
spitsboog lancetboog
rondboog
In figuur 6 is de vorm van een spitsboog OPQ figuur 6
in een assenstelsel getekend. O is het
middelpunt van cirkelboog PQ en Q is het
middelpunt van cirkelboog OP.
Voor de cirkelboog PQ in figuur 6 geldt de
volgende formule (met x en h in meter):
h = √(36 − x2) met 3 ≤ x ≤ 6
h (m) 6 P 4 2 O Q 2 4 6 x (m)
113p
Bereken de hoogte h van het punt P. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
We bekijken de grafiek van de functie h = √(36 − x2) met −6 ≤ x ≤ 6. De boog PQ is een deel
van deze grafiek. Door een ander deel van deze grafiek te verschuiven, kan de boog OP van
figuur 6 verkregen worden. Met behulp van deze verschuiving is een formule voor de boog
OP op te stellen.
124p
Stel een formule op voor de boog OP. Licht je werkwijze toe.
Een toegangspoort tot een kasteel heeft aan de bovenkant de vorm van een spitsboog en
heeft in een vooraanzicht de vorm zoals in figuur 7 is afgebeeld. Het gedeelte OPQ in dit
vooraanzicht heeft dezelfde afmetingen als in figuur 6. De top P van de spitsboog bevindt
zich 8 meter boven de grond.
figuur 7
P 8 O Q S R T 3 3 ?
In het punt P bevindt zich een bewakingscamera. Deze camera neemt niets waar van het
gebied onder de raaklijn PT. Het gedeelte RT op de grond in het vooraanzicht valt dus
buiten het bereik van deze camera.
Met behulp van de gegeven formule voor de cirkelboog kun je de helling van PT berekenen.
Deze helling is op twee decimalen afgerond −0,58.
134p
Bereken de helling van PT in drie decimalen nauwkeurig.
145p
Bereken de lengte van RT. Geef je antwoord in meters. Rond af op één decimaal.
156p
In figuur 8 is de toegangspoort met enkele figuur 8
afmetingen (in m) nogmaals weergegeven.
Bereken de oppervlakte van de
toegangspoort.
Geef je antwoord in gehele m2.
6 2,8 6

opgave 4De mathematische slinger

In de 16e eeuw werd de mathematische figuur 9
slinger onderzocht als model voor een echte
slinger. Dit model bestaat uit een draadje van
te verwaarlozen gewicht waaraan een kleine
loden kogel wordt opgehangen (zie figuur 9).
Als de slinger eenmaal beweegt, blijft hij
bewegen. De wrijving van de lucht wordt
hierbij verwaarloosd.
M α B A O
Bij de experimenten wordt het kogeltje in het figuur 10
punt A losgelaten. De grootte van de hoek van
de draad met de evenwichtsstand is dan α.
Het middelpunt van het kogeltje beschrijft
vervolgens een slingerbeweging langs een
cirkel van A via O naar B en terug naar A.
Deze cirkel heeft het ophangpunt M als
middelpunt en ℓ (de lengte van het draadje)
als straal.
De tijd die de slinger erover doet om één
beweging van A naar B en terug naar A te
maken heet de slingertijd.
De wiskundige Galilei (zie figuur 10)
ontdekte dat de slingertijd bij kleine waarden
van de hoek α (kleiner dan 5°) alleen
figuur bij de opgave
afhankelijk is van de lengte ℓ.
We bekijken nu de slingerbeweging waarvoor figuur 11
geldt: hoek α = 3°, ℓ = 25 cm, de slingertijd
is 1 seconde.
Bij een experiment laat men op t = 0 het
kogeltje los. De afstand na t seconden van het
kogeltje tot de verticale lijn door M en O
wordt de uitwijking u(t) genoemd, met u(t) in
cm. De uitwijking wordt negatief gerekend
als het kogeltje zich links van de lijn MO
bevindt.
In figuur 11 en op de bijlage staat de grafiek
2 u (t) O -2 0 1 2
van u(t) voor t = 0 tot t = 2.
Voor u(t) geldt de formule:
u(t) = 1,3 cos 2 t.
164p
Geef in de onderste figuur op de bijlage met een stip de positie van de slinger aan na
3 (1)/(6) seconden.
Licht je werkwijze toe.
175p
Bereken de gemiddelde snelheid van het kogeltje gedurende 1 periode.
185p
Bereken de snelheid waarmee de uitwijking u(t) verandert op tijdstip t = 0,2. Rond je
antwoord af op twee decimalen.
Voor de periode of slingertijd T van een mathematische slinger geldt de volgende formule:
T = 2π √(g), waarin ℓ de slingerlengte in meters en g ≈ 9,813 m/s2 de gravitatieversnelling
is.
Bij de eerstgenoemde slingerbeweging is gesteld dat een slingerlengte van ℓ = 25 cm een
slingertijd T = 1 seconde oplevert. Deze waarde van ℓ is niet nauwkeurig.
194p
Bereken de bijbehorende waarde van ℓ in tienden van mm nauwkeurig.
Bij een andere mathematische slinger is de periode (2)/(3) seconde en is de grootste uitwijking
2 cm.
203p
Stel een formule op voor de uitwijking bij deze slinger.
√(Einde)
Lees verder