bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2-kruistabel , met c d waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering” X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering” Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot” − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering” noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Plasticafval
Jaarlijks produceren wij een grote hoeveelheid plasticafval. Een groot
deel hiervan wordt ingezameld en daarna gerecycled, verbrand of op een
afvalberg gestort. Het deel dat niet wordt ingezameld, wordt niet verwerkt.
In de figuur zie je voor Europa welk deel van het plasticafval in 2005 en in
2019 werd gerecyled, verbrand, gestort of niet verwerkt.
figuur plasticafval in Europa
In 2005 werd er in Europa in totaal 12,26 miljoen ton plasticafval
geproduceerd. In 2019 was dit gestegen naar 15,26 miljoen ton.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken hoeveel miljoen ton plasticafval in 2019 meer werd gerecycled
dan in 2005. Geef je antwoord in twee decimalen.
In de figuur is te zien dat in 2005 in Europa 62% van het plasticafval werd
gestort. In 2019 was dit percentage gedaald naar 44%. We nemen aan
dat het percentage gestort plasticafval in de periode 2005 - 2019 lineair is
gedaald.
24pLineaire functies 4p
Bereken hoeveel procent van het plasticafval in 2011 werd gestort. Geef
je antwoord als geheel getal.
Het gewicht aan plasticafval dat jaarlijks wereldwijd wordt geproduceerd
neemt exponentieel toe. Elke 15 jaar komt er 132% bij.
34pExponentiële functies en groei 4p
Bereken de procentuele toename per jaar. Geef je antwoord in één
decimaal.
De afgelopen decennia nam wereldwijd het percentage verbrand
plasticafval
toe. Het percentage gestort plasticafval
Ps en het
percentage niet verwerkt plasticafval
namen wereldwijd juist af.
Bij benadering geldt:
Hierin is t het aantal jaren na 2005.
In 2005 was
kleiner dan
Ps. Volgens formule 1 en 2 komt er echter
een moment waarop
groter zal zijn dan
Ps.
43pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel gehele jaren na 2005 dit voor het eerst zo is.
Voor de toekomst zijn we vooral geïnteresseerd in het percentage
wereldwijd gerecyled plasticafval
. Omdat de vier percentages
,
Ps,
en
samen 100% moeten zijn, kun je met behulp van formule 1, 2
en 3 een formule opstellen voor
. Deze formule is van de vorm:
Hierin is t het aantal jaren na 2005.
Op de puntjes in formule 4 moeten getallen staan.
opgave 2Huisartsen
Een groot deel van de huisartsen in Nederland heeft een eigen praktijk of
werkt op vaste basis in de praktijk van een andere huisarts. Het andere
(kleinere) deel van de huisartsen vervangt op flexibele basis collega-
huisartsen. Deze huisartsen worden wisselende waarnemers genoemd.
Het aantal wisselende waarnemers HW stijgt snel en kan benaderd
worden met de volgende formule:
Hierin is t het aantal jaren, met t = 0 op 1 januari 2015.
63pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel gehele jaren het volgens formule 1 minimaal duurt
voordat het aantal wisselende waarnemers is verdubbeld.
Het totaal aantal huisartsen stijgt ook, maar minder snel. Tussen
1 januari 2006 en 1 januari 2015 is het totaal aantal huisartsen lineair
gestegen tot 11 622. Dit was een toename van 20%. Uit deze gegevens is
af te leiden dat in deze periode het totaal aantal huisartsen jaarlijks
toenam met 215 huisartsen (afgerond op gehelen). De berekening van
deze jaarlijkse toename op basis van de gegevens geeft een resultaat met
meer cijfers achter de komma.
73pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Lineaire functies 1p
Voer deze berekening uit en geef je antwoord in één decimaal.
We nemen aan dat de toename van het totaal aantal huisartsen zich na
2015 op dezelfde wijze voortzet. Voor het totaal aantal huisartsen HTotaal
geldt dan bij benadering:
HTotaal = 215 ⋅ t + 11622
Hierin is t het aantal jaren, met t = 0 op 1 januari 2015.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met behulp van formule 1 en 2 in welk jaar op 1 januari het
aantal wisselende waarnemers voor het eerst meer is dan de helft van het
totaal aantal huisartsen.
Ondanks het stijgende aantal huisartsen is er een tekort. Daarom is het
belangrijk dat voldoende geneeskundestudenten voor het beroep van
huisarts kiezen.
Aan geneeskundestudenten is gevraagd of ze huisarts willen worden.
In de figuur zie je de resultaten bij deze vraag.
figuur resultaten bij de vraag ‘Zou je huisarts willen worden?’
In de figuur is te zien dat er een verschil is in de mate waarin
geneeskundestudenten uit het eerste studiejaar en uit het zesde
studiejaar een voorkeur hebben om huisarts te worden.
94pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dit verschil groot,
middelmatig of gering is.
De vraag ‘Zou je huisarts willen worden?’ is slechts aan een deel van de
geneeskundestudenten in het zesde studiejaar gesteld. Het gaat dus om
een steekproef. Van de geneeskundestudenten uit het zesde studiejaar
die deelnamen aan de steekproef gaf 19% het antwoord ‘ja’. Op basis van
de steekproefomvang is berekend dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval
voor het percentage geneeskundestudenten uit het zesde studiejaar dat
‘ja’ heeft geantwoord [13,91;24,09] is.
opgave 3Spanwijdte en lichaamslengte
Bij de meeste mensen is de spanwijdte van de armen S net iets groter dan
de lichaamslengte L. Zie figuur 1.
figuur 1
Met de volgende formule kun je de
verhouding V tussen S en L berekenen:
met
S en
L in meter
Het vermoeden bestaat dat de grootte van
de verhouding V van invloed is op de
prestatie van sporters binnen de vechtsport.
In 2019 vochten de twee Nederlandse vechters Rico Verhoeven en
Badr Hari tegen elkaar. Rico was 1,96 m lang met V = 1,071 en Badr was
1,98 m lang met V = 1,079.
113pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken het verschil in spanwijdte tussen deze twee vechters. Geef je
antwoord in hele centimeters.
Onder andere bij de vechtsport MMA (mixed martial arts) is onderzocht of
de verhouding V van invloed is op de prestatie van de vechters. In het
onderzoek kwamen een laagste en een hoogste waarde van V voor:
− vechter A had de laagste waarde van V
− vechter B had de hoogste waarde van V
Stel dat vechter A en vechter B dezelfde spanwijdte hebben.
122pEvenredigheden en machtsverbanden 2p
Leg uit welke van de twee vechters dan de grootste lichaamslengte heeft.
In het onderzoek kwam ook een vechter voor met een spanwijdte die
2,5 cm langer was dan zijn lichaamslengte. Voor deze vechter geldt dus
S = L + 0,025. De verhouding V die bij de vechter hoort is V = 1,01445.
133pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de lichaamslengte van deze vechter in meter. Geef je antwoord
in twee decimalen.
De UFC, de grootste MMA-organisatie ter wereld, verdeelt de vechters in
acht verschillende gewichtsklassen. In 2018 is per gewichtsklasse
onderzoek gedaan naar de verhouding V van de vechters. In de tabel zijn
de resultaten te zien van een steekproef onder de vechters uit de vier
lichtste gewichtsklassen.
tabel
143pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in de
verhouding V tussen de gewichtsklassen ‘vlieggewicht’ en ‘lichtgewicht’
groot, middelmatig of gering is.
In figuur 2 is voor de vier zwaarste gewichtsklassen de verdeling van de
verhouding V met boxplots weergegeven. Met een zwarte stip is voor elke
gewichtsklasse de waarde van de verhouding V voor de kampioen
aangegeven.
figuur 2
Op basis van figuur 2 worden drie uitspraken gedaan:
I De kampioen in elk van de vier gewichtsklassen behoort tot de
25% vechters met de hoogste waarde van V in die gewichtsklasse.
II De meerderheid van de vechters in elk van de vier gewichtsklassen
heeft een verhouding V met een waarde groter dan 1,025.
III Op basis van de vuistregels op het formuleblad is het verschil tussen
elk tweetal gewichtsklassen gering, als we kijken naar de verdeling
van de verhouding V.
opgave 4Levensduur van apparaten
Een apparaat, zoals een vaatwasser of een stofzuiger, gaat na verloop
van tijd een keer kapot. Het apparaat is dan aan het einde van zijn
levensduur.
Een fabrikant heeft jarenlang onderzoek gedaan naar de levensduur van
twee van zijn vaatwassers: type A en type B. De onderzoeksresultaten
zijn verwerkt in de figuur.
figuur percentage kapotte vaatwassers na t gebruiksjaren
In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat van beide typen vaatwassers
80% nog werkte na ongeveer 5,5 gebruiksjaren.
Het aantal gebruiksjaren t waarbij 25% van de vaatwassers nog werkte, is
voor type A en type B verschillend.
163pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bepaal het verschil in jaren tussen deze twee aantallen gebruiksjaren.
Geef je antwoord in één decimaal en licht je antwoord toe.
Fabrikanten gebruiken formules om het percentage P van de apparaten
dat kapot is na t gebruiksjaren te schatten. Zo’n formule is van de vorm:
Hierin zijn s en v vaste waarden, die horen bij een bepaald apparaat.
Een fabrikant gebruikt formule 1 voor de levensduur van zijn
broodroosters. Bij de broodroosters horen s = 4 en v = 2. Formule 1 is
dan te herleiden tot:
Met P het percentage van de apparaten dat kapot is na t gebruiksjaren.
183pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken hoeveel procent van de broodroosters volgens formule 2
gedurende het derde gebruiksjaar kapot zal gaan. Geef je antwoord in
hele procenten.
Op den duur gaan alle broodroosters een keer kapot.
193pRedeneren en uitleggen in de context 2p · Exponentiële functies en groei 1p
Beredeneer dit met behulp van formule 2, zonder gebruik te maken van
getallenvoorbeelden.
Een fabrikant gebruikt formule 1 voor de levensduur van zijn stofzuigers.
Bij de stofzuigers hoort v = 3. Uit een marktonderzoek is bekend dat 736
van de 920 verkochte stofzuigers kapot waren na zes gebruiksjaren.
opgave 5Eitje koken op vakantie
Richard gaat in de zomer op kampeervakantie, eerst naar
de Zuid-Franse kust op zeeniveau en later naar de
Franse Alpen op 2000 meter boven zeeniveau. Op beide
plaatsen gaat hij dagelijks een ei koken met dezelfde
gasbrander, dezelfde pan en evenveel water met dezelfde
begintemperatuur. Hij vraagt zich af op welke plaats het
bereiden van het ei het langst zal duren.
Om het ei te bereiden, warmt Richard eerst het water van 10 °C op tot de
kooktemperatuur. De opwarming verloopt op beide plaatsen lineair met
een snelheid van 14,5 °C per minuut. Zodra het water kookt, legt hij er
een ei in en laat dit net zo lang in het kokende water liggen tot het
hardgekookt is.
De luchtdruk in de bergen is lager dan op zeeniveau. Zie figuur 1, waarin
het verband is weergegeven tussen de luchtdruk en de hoogte boven
zeeniveau.
figuur 1
Door de lagere luchtdruk in de bergen, kookt water daar bij een lagere
temperatuur dan op zeeniveau. Zie figuur 2, waarin het verband is
weergegeven tussen de luchtdruk en de temperatuur waarbij water kookt.
figuur 2
Het duurt in de bergen dus korter om het water aan de kook te brengen.
Maar door de lagere kooktemperatuur moet een ei op 2000 meter boven
zeeniveau 2 minuten langer in het kokende water liggen dan op zeeniveau
tot het hardgekookt is. De totale tijd die nodig is om water aan de kook te
brengen en om het ei te koken tot het hardgekookt is, noemen we de
bereidingstijd.
