opgave 1Uitverkoop
Een schoenenzaak geeft korting op de wintercollectie. Er zijn twee
kortingsacties (I en II) die met behulp van posters in de winkel onder de
aandacht worden gebracht. Zie figuur 1.
figuur 1
kortingsactie I kortingsactie II Winter SALE Winter SALE (alleen op de wintercollectie) (alleen op de wintercollectie) bij aankoop van 2 paar schoenen bij aankoop van elk paar schoenen 2e paar schoenen voor de halve prijs* 20% korting *geldig voor het goedkoopste paar
Twee vriendinnen, Famke en Milla, gaan schoenen kopen.
Famke koopt twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar
van 80 euro. Ze wil gebruikmaken van kortingsactie II.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel procent korting Famke krijgt op haar totale aankoop.
Geef je antwoord in hele procenten.
Milla koopt ook twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar
van 40 euro.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Onderzoek bij welke van de twee kortingsacties Milla de meeste korting
krijgt.
We bekijken het kopen van twee paar schoenen uit de wintercollectie met
korting. In figuur 2 staat langs de verticale as de prijs van het duurste
paar en langs de horizontale as de prijs van het goedkoopste paar
schoenen.
figuur 2
In de figuur zijn twee lijnen getekend waardoor er drie gebieden A, B en C
zijn. Eén van deze drie gebieden geeft combinaties van prijzen van het
duurste en goedkoopste paar schoenen weer, waarbij kortingsactie II
voordeliger is dan kortingsactie I.
33pRedeneren en uitleggen in de context 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Welk gebied is dat? Licht je antwoord toe.
Ondanks de kortingsacties is de wintercollectie na enkele weken nog
steeds niet helemaal verkocht. De schoenenzaak gaat daarom over tot
een nieuwe kortingsactie waarin nog meer korting wordt gegeven: de ‘final
wintersale’. Zie figuur 3.
Deze final wintersale bestaat ook weer uit twee kortingsacties (I en II),
waarover het in de rest van deze opgave gaat.
figuur 3
kortingsactie I kortingsactie II Winter FINAL SALE Winter FINAL SALE (alleen op de wintercollectie) (alleen op de wintercollectie) bij aankoop van 2 paar schoenen bij aankoop van elk paar schoenen 2e paar schoenen voor een kwart van de prijs* 30% korting *geldig voor het goedkoopste paar
De meeste klanten denken nu dat bij de aankoop van twee paar schoenen
kortingsactie II altijd meer korting oplevert dan kortingsactie I. Dit is
echter niet juist.
Stel dat het goedkoopste paar G euro kost en het duurste paar f keer zo
duur is. Dan kunnen we de (totale) korting (in euro) berekenen voor beide
kortingsacties met de onderstaande formules:
Korting bij kortingsactie I: KI = 0,3 ⋅ G + 0,3 ⋅ f ⋅ G
Korting bij kortingsactie II: KII = 0,75 ⋅ G
Als bijvoorbeeld het goedkoopste paar schoenen 30 euro kost en het
duurste paar drie keer zo duur is, dan is de totale korting bij kortingsactie I
gelijk aan 0,3 ⋅ 30 + 0,3 ⋅ 3 ⋅ 30 = 36 euro.
Stel dat het goedkoopste paar 75 euro kost.
43pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel keer zo duur (als het goedkoopste paar) het duurste
paar maximaal mag zijn, zodat kortingsactie II minstens evenveel korting
oplevert als kortingsactie I.
Met behulp van de formule voor KI kunnen we een formule opstellen voor
het bedrag B (in euro) dat de klant uiteindelijk moet betalen bij
kortingsactie I:
B = 0,7 ⋅ G + 0,7 ⋅ f ⋅ G
opgave 2Vlindertellingen
Voor de Vlinderstichting tellen vrijwilligers in heel Nederland vlinders
vanaf maart tot en met september. Deze vlindertellingen vinden al
meerdere jaren plaats. De vrijwilligers tellen dan alle vlinders die ze zien,
één keer per week, op een vaste dag en op vaste routes van ongeveer
een kilometer.
In 1989 telden vrijwilligers vlinders op 69 vaste routes. Sindsdien steeg
het aantal vaste routes waarop vrijwilligers vlinders telden vrijwel lineair
tot 394 routes in 2014.
63pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bereken met behulp van lineair interpoleren het aantal vaste routes in
2002 waarop vrijwilligers vlinders telden.
In figuur 1 zie je per jaar het gemiddeld aantal getelde vlinders per route
weergegeven voor de periode 1990-2014. Zo zie je dat in 1990 gemiddeld
bijna 600 vlinders per route geteld zijn. Het gemiddelde over de hele
periode 1990-2014 is met de horizontale lijn aangegeven. In 1990 is het
gemiddeld aantal getelde vlinders per route lager dan het gemiddelde
over de periode 1990-2014.
figuur 1 gemiddeld aantal getelde vlinders per route
73pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Onderzoek voor de periode 1990-2014 of de mediaan van het gemiddeld
aantal getelde vlinders per route groter of kleiner is dan het gemiddelde
over die hele periode.
Tijdens de vlindertelling zijn in een bepaald gebied drie vlindersoorten
geteld. In figuur 2 zie je van deze drie vlindersoorten de getelde aantallen
in 2020 (zwarte lijn) en de gemiddelde aantallen in de periode
1990-2019 (grijze lijn). De schaalverdeling op de assen is bij elk van de
drie grafieken hetzelfde.
figuur 2
Bij figuur 2 zijn de volgende stellingen geformuleerd:
I Deze vlindersoort wordt in 2020 tijdens een kortere periode
waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019.
II Deze vlindersoort is de meest waargenomen vlinder in 2020.
III In het voorjaar van 2020 wordt deze vlindersoort vaker waargenomen
dan gemiddeld in de periode 1990-2019.
Elke stelling is van toepassing op minstens een van de drie vlindersoorten
in figuur 2.
83pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Geef bij elke stelling een vlindersoort waarop die stelling van toepassing
is. Licht je antwoord toe.
In figuur 3 zie je hoe het aantal getelde argusvlinders in een bepaald
gebied zich in de loop van de tijd ontwikkeld heeft. De aantallen zijn op
een logaritmische schaal weergegeven.
figuur 3 argusvlinders
De rechte lijn in figuur 3 is de trendlijn. Volgens deze trendlijn neemt het
aantal argusvlinders af.
94pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal argusvlinders volgens de
trendlijn afneemt. Geef je antwoord in één decimaal.
Bij de Vlinderstichting worden behalve de gegevens van vlinders ook de
gegevens van andere insectensoorten verwerkt, zoals van libellen. In
figuur 4 zie je hoe het met de verschillende soortgroepen gaat in 2019.
figuur 4 mate van bedreiging per soortgroep 2019
opgave 3Extreme armoede
De Wereldbank stelt dat iemand in extreme armoede leeft wanneer hij of
zij moet leven van minder dan 1,90 Amerikaanse dollar (US$) per dag1).
Dit bedrag wordt de internationale armoedegrens genoemd.
In de tabel staat, voor de periode 1990-2015, uitgaand van de
internationale armoedegrens, hoeveel mensen wereldwijd in extreme
armoede leefden en welk percentage van de wereldbevolking dat was.
tabel aantal mensen wereldwijd in extreme armoede
In 2015 had de Wereldbank de ambitie om het percentage van de
wereldbevolking dat in extreme armoede leeft, uiterlijk in het jaar 2030
onder de 3,0 te krijgen. De Wereldbank rapporteert dat in de periode
1990-2015 dit percentage bij benadering jaarlijks met 1 afnam. Neem aan
dat deze constante daling zich na 2015 op dezelfde wijze voortzet.
113pLineaire functies 3p
Onderzoek of de ambitie van de Wereldbank volgens deze benadering
gehaald zal worden.
We nemen aan dat de wereldbevolking in de periode van 1990-2015
exponentieel groeide en we maken gebruik van de gegevens van 1990 en
2015. Hieruit volgt de volgende formule, die een goede benadering voor
de omvang van de wereldbevolking geeft:
B = 5,28 ⋅1,013t
Hierin is B de wereldbevolking in miljarden en t het aantal jaren na 1990.
125pExponentiële functies en groei 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Laat zien hoe deze formule uit bovenstaande aanname en de genoemde
gegevens volgt.
noot 1 uitgaande van basisjaar 2011
De internationale armoedegrens is voor iedereen in de wereld gelijk, dus
onafhankelijk van het land waarin iemand leeft. Onderzoekers bij de
Wereldbank hebben voorgesteld om bij studies naar extreme armoede
ook te kijken naar een nationale armoedegrens N (in US$ per persoon per
dag2)). Deze grens verschilt per land en ligt hoger naarmate een land
welvarender is. Hoe welvarend een land is, wordt uitgedrukt in de
welvaartsscore W (in US$ per persoon per dag).
In de figuur is van diverse landen het verband weergegeven tussen de
nationale armoedegrens N en de welvaartsscore W. Beide assen in de
figuur hebben een logaritmische schaalverdeling. Er is een lijn getekend
die past bij de losse punten in het rechterdeel van de figuur.
figuur nationale armoedegrens en welvaartsscore
Een land heeft een welvaartsscore van 8.
132pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Bepaal met behulp van de figuur de nationale armoedegrens in dit land.
noot 2 uitgedrukt in US$ ten opzichte van 2011 per persoon per dag (US$ p.p.p.d)
In de figuur is te zien dat de nationale armoedegrens nooit onder de
internationale armoedegrens van 1,9 komt. In de figuur is een lijn
getekend door de punten met W ≥ 10. Bij deze lijn past de formule:
De onderzoekers gebruikten echter in hun rapport een andere formule:
In beide formules is N de nationale armoedegrens van een land en W de
welvaartsscore van dat land, beide in US$ per persoon per dag.
Beide formules zijn geldig voor W ≥ 10.
Formule 2 geeft steeds een grotere uitkomst voor N dan formule 1.
De onderzoekers konden formule 2 toch gebruiken, omdat de uitkomsten
van de twee formules niet veel van elkaar verschillen voor bepaalde
welvaartsscores W.
144pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken tot en met welke welvaartsscore W het verschil tussen de
uitkomsten van beide formules voor N kleiner is dan 1. Geef je antwoord
in één decimaal.
Het gebruik van de nationale armoedegrens in plaats van de
internationale armoedegrens leidt tot een andere kijk op de omvang van
het probleem van extreme armoede in de wereld.
Voor het aantal mensen dat in extreme armoede leeft, gelden bij
benadering de volgende formules:
Hierin is Ai het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft
bij gebruik van de internationale armoedegrens, An het aantal mensen (in
miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de nationale
armoedegrens en t het aantal jaren na 1990.
Er komt een moment waarop er geen mensen meer in extreme armoede
leven, wanneer je uitgaat van de formule van Ai.
opgave 4Eurobankbiljetten
In opdracht van De Nederlandsche Bank is in februari 2023 onderzocht
hoe (volwassen) Nederlanders het uiterlijk van (euro)bankbiljetten
waarderen. Het onderzoek is uitgevoerd door middel van telefonische
interviews. Er zijn daarvoor 20 823 telefoonnummers willekeurig door een
computer bedacht. Daarvan bleek 51% geen gehoor te geven, in gesprek
te zijn of er was sprake van een niet bestaand nummer. De resterende
telefoonnummers leverden 1003 deelnemers op die meegedaan hebben
aan het telefonisch interview.
De 1003 deelnemers vormen op deze manier een steekproef uit de
populatie Nederlanders.
162pData presenteren en beoordelen 2p
Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.
Bij de deelnemers aan het telefonisch interview werd gevraagd naar een
aantal kenmerken (statistische variabelen) zoals
− het geslacht,
− de leeftijd (in jaren),
− het aantal leden van het huishouden,
− het wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten,
− de provincie waarin men woont.
172pData presenteren en beoordelen 2p
Geef aan welke van de hierboven genoemde variabelen nominaal zijn.
In het onderzoek is ook gevraagd naar de waardering van de
bankbiljetten. Zie de figuur voor het resultaat.
figuur
Je kunt met de gegevens in de figuur berekenen hoeveel procent van de
deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven,
de bankbiljetten ‘erg mooi’ of ‘tamelijk mooi’ vindt.
182pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken dit percentage in één decimaal.
Ook in andere jaren is er onderzoek gedaan naar de waardering van
bankbiljetten. In de rest van deze opgave gaan we ervan uit dat alle
onderzoeken naar de waardering van de bankbiljetten representatief zijn
voor Nederlanders.
Om de waardering van de bankbiljetten te meten, gebruikt men de
volgende formule om het percentage ‘mooi’ (Pmooi) te berekenen:
In deze formule staat bijvoorbeeld aantal ‘erg mooi’ voor het aantal
onderzoeksdeelnemers dat aangeeft de bankbiljetten ‘erg mooi’ te vinden.
In 2002 was Pmooi gelijk aan 65. Met de gegevens in de figuur over het
onderzoek onder de 1003 deelnemers in 2023 en de formule kunnen we
nu Pmooi in 2023 en in 2002 vergelijken.
194pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p
Bereken het verschil tussen Pmooi in 2023 en Pmooi in 2002. Geef je
antwoord in hele procenten.
Stel dat een aantal van de onderzoeksdeelnemers die geen waardering
hebben gegeven voor de bankbiljetten, bij een heroverweging toch
beslissen de bankbiljetten ‘tamelijk lelijk’ te vinden, en dat de overige
deelnemers bij hun standpunt blijven. Dan zal de waardering van de
bankbiljetten afnemen.
203pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, dat Pmooi
volgens de formule in dit geval inderdaad afneemt.
De 1003 deelnemers aan het onderzoek in 2023 zijn op basis van het
kenmerk ‘wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten’
onderverdeeld in de groepen A en B. Zie de tabel.
tabel percentage deelnemers groep A en B in 2023
Er blijkt een verschil te bestaan tussen groep A en B: 50% van de
deelnemers in groep A en 61% van de deelnemers in groep B verwacht
dat er over vijf jaar minder met contant geld betaald zal worden.
opgave 5Topinkomens
Er is sprake van een topinkomen als het inkomen van iemand in een jaar
(gemeten op 31 december) 100 000 euro of meer is. Het aantal personen
met zo’n topinkomen in Nederland is vanaf 2011 sterk toegenomen, zie de
figuur.
figuur aantal personen in Nederland met een topinkomen
In 2017 waren er 13,4 miljoen personen in Nederland met een inkomen.
Daarvan hadden er 360 000 een topinkomen. Dat waren 120 000
personen meer dan in 2011.
Het aantal vrouwen met een topinkomen groeide in de periode 2011-2017
relatief sterker dan het aantal mannen met een topinkomen. In 2011
waren er zeven keer zoveel mannen als vrouwen met een topinkomen. In
2017 was dat nog maar vijf keer zoveel.
Neem aan dat zowel het aantal mannen met een topinkomen als het
aantal vrouwen met een topinkomen groeide met een vast percentage per
jaar in de periode 2011-2017 en dat deze groei zich voortzet in de jaren
na 2017.
